§5. Базисный минор матрицы. Ранг матрицы.

Рассмотрим прямоугольную матрицуA_mn=(13.1)

Выделим в ней sпроизвольных строк иsпроизвольных столбцов.

Определение.Минором s–го порядка матрицы (13.1) называется определительs-го порядка, составленный из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранныхsстрок иsстолбцов. Обозначение:M_s.

Очевидно, что миноровs-го порядка может быть несколько. При этом максимальный порядок миноров равенmin(m,n):maxs=min(m,n). Из всех возможных миноров матрицыA_mnвыделим те, которые не равны 0.

Определение.Рангом матрицы называется наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля. Обозначение: r(А)

Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Определение.Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называютсяэквивалентными.

Замечание:равныематрицы иэвивалентныематрицы - понятия совершенно различные.

Теорема.Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.

Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.

Примеры.Определить ранг матрицы.

1) А=,r(A) = 0.M₁=0,M₂=.

2) А=. Очевидно, чтоa₁₂= 30 =M₁, все миноры М₂=0, следовательно,r(A) = 1.

3) А= , r(A)= 2.

4) A=, Следовательно,r(A) = 2.

Определение.Всякийненулевой минор матрицы А, порядок которого равен рангу матрицы называетсябазисным минором.

В последнем 4-м примере - базисные, т.к.0 иs=r(A)=2. Минор=0 не является базисным.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называютсябазисными.

В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

В курсе алгебры важную роль играет теорема о базисном миноре, которую мы приведем без доказательства:

Теорема о базисном миноре.

Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией ее базисных столбцов (строк).

Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.

Если А- квадратная матрица и (A) = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.

Глава 3. Системы линейных уравнений.

§1. Основные понятия и определения.

Система mлинейных уравнений сnнеизвестными имеет вид:

(1.1),

гдеa_ij,b_i– произвольные числа, называемые соответственнокоэффициентамиисвободными членамиуравнений.

В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде:

(1.2).

Решением системыявляютсяnчисел (х₁=₁,х₂=₂… х_n=_n), при подстановке которых в систему каждое ее уравнение обращается в тождество.

Определение.Если система имеет хотя бы одно решение, то она называетсясовместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называетсянесовместной.

Определение.Система называетсяопределенной, если она имеет только одно решение инеопределенной, если более одного.

Определение.Для системы линейных уравнений матрица

А = называется матрицей системы, а матрица

А^*= называется расширенной матрицей системы.

Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений. С помощью элементарных преобразований системы уравнений, рассмотренных в гл.2 применительно к матрицам (например, умножение обеих частей уравнений на числа, не равные нулю; сложение уравнений системы), получается система, равносильная данной.

Систему (1.1) можно записать в матричной форме:

А=, Х = , В=, где А – матрица коэффициентов при переменных (матрица системы); Х – матрица-столбец переменных; В- матрица-столбец свободных членов. Тогда систему (1.1) можно записать в виде:АХ = В.