Распределение количества стоячих волн (фотонов) по частоте (без учета поляризации), здесьυ – скорость.

Гипотеза Планка: излучение испускается телами не непрерывно, а в виде отдельных порций. Энергия каждой такой порции – кванта излучения (фотона) – пропорциональна его частоте .– постоянная Планка. Или, гдеω – циклическая частота, ħ = 1,05·10^-34Дж с.

Формула Планка определяет вид функции Кирхгофа:

.

Фотоэффект – явление вырывания электронов с поверхности металла под действием света. Законы Столетова:

1. Фототок насыщения Is (максимальное число электронов, высвобождающихся светом за 1 с) прямо пропорционален световому потоку, падающему на катод.

2. Максимальная начальная скорость фотоэлектронов определяется частотой падающего света и не зависит от его интенсивности.

3. Для каждого металла существует своя минимальная частота, ниже которой свет любой интенсивности фотоэффекта не вызывает (красная граница фотоэффекта).

Формула Эйнштейна для фотоэффекта , где– энергия падающего на металл фотона, – работа выхода электрона из металла (табличная величина) ;– красная граница фотоэффекта – максимальная длина волны при которой еще наблюдается фотоэффект. Кинетическая энергия фотоэлектрона определяется по работе задерживающего электрического поля:

.

Эффект Комптона: при рассеянии рентгеновских лучей некоторыми веществами (валентные электроны которых слабо связаны с ядром) происходит заметное изменение длины волны Δλ излучения в зависимости от угла рассеяния θ :

.

Световое давление: , гдеρ – коэффициент отражения, w – объёмная плотность энергии излучения. – энергия всех фотонов, с – скорость света.

Задания по теме.

Ситуация 1. Электрическая лампа, рассчитанная на мощность 100 Вт, включена в электрическую цепь. Считая, что спираль лампы является цилиндром диаметром 1 мм и длиной 4 см и сделана она из вольфрама, степень черноты которого k = 0,7 , определить:

1. Энергетическую светимость (излучательность) лампы.

2. Температуру спирали.

3. Длину волны, на которую приходится максимум энергетической светимости.

Считая, что при выключении тока лампа остывает по закону

а) б) определить :

4. Закон изменения длины волны, на которую приходится максимум излучательной способности.

5. Определить время, через которое увеличится вдвое.

6. Какое количество энергии выделится в окружающее пространство в процессе остывания. (За время остывания принять t = 5τ, где τ – время релаксации).

Ситуация 2. Поверхность а) калия; б) лития; в) натрия облучается светом длиной волны λ = 350 нм.

Найти:

1. Красную границу фотоэффекта для данного металла.

2. Кинетическую энергию электронов, вырванных с поверхности металла.

3. Максимальную скорость фотоэлектронов.

4. Задерживающую разность потенциалов.

5. Во сколько раз изменится задерживающая разность потенциалов, если длина волны излучения, падающего на поверхность, уменьшится на 50 нм.

6. Во сколько раз изменится ток насыщения, если интенсивность света и длину волны падающего излучения увеличить вдвое?

Ситуация 3. На пластину из парафина падает рентгеновское излучение длиной волны λ= 60 пм.

Определить:

1. Энергию и импульс падающих на парафин фотонов.

2. На сколько изменится длина волны излучения при рассеянии излучения на θ = 60°, 90°, 120°.

3. Энергию рассеянного фотона.

4. Кинетическую энергию электрона отдачи.

5. Импульс электрона отдачи и его направление.

6. Какая часть энергии фотона перешла к электрону отдачи?

Таблица вариантов УИРС по модулю 7

«Квантовая оптика»

вариант	сит.1	сит.2	сит.3
1	а) 1-4,5	а) 1-4,5	θ = 60°; п.1-4,5
2	а) 1-4,6	а) 1-4,6	θ = 90°; п.1-4,6
3	б) 1-4,5	б) 1-4,5	θ = 120°; п.1-4,5
4	б) 1-4,6	б) 1-4,6	θ = 30°; п.1-4,6
5	а) 1-4,5	в) 1-4,5	θ = 60°; п.1-4,6
6	а) 1-4,6	в) 1-4,6	θ = 90°; п.1-4,5
7	б) 1-4,5	а) 1-4,5	θ = 120°; п.1-4,6
8	б) 1-4,6	а) 1-4,6	θ = 30°; п.1-4,5
9	а) 1-4,5	б) 1-4,5	θ = 60°; п.1-4,6
10	а) 1-4,6	б) 1-4,6	θ = 90°; п.1-4,5
11	б) 1-4,5	в) 1-4,5	θ = 120°; п.1-4,5
12	б) 1-4,6	в) 1-4,6	θ = 30°; п.1-4,6
13	а) 1-4,5	а) 1-4,5	θ = 60°; п.1-4,5
14	а) 1-4,6	а) 1-4,6	θ = 90°; п.1-4,6
15	б) 1-4,5	б) 1-4,5	θ = 120°; п.1-4,5
16	б) 1-4,6	б) 1-4,6	θ = 30°; п.1-4,6
17	а) 1-4,5	в) 1-4,5	θ = 60°; п.1-4,5
18	а) 1-4,6	в) 1-4,6	θ = 90°; п.1-4,6
19	б) 1-4,5	а) 1-4,6	θ = 120°; п.1-4,5
20	б) 1-4,6	б) 1-4,5	θ = 30°; п.1-4,6

Тема 16: Квантовая механика. Простейшие случаи движения микрочастиц.

Гипотеза де Бройля: частицы вещества, обладающие энергией Е и импульсом р, наряду с корпускулярными свойствами имеют и волновые свойства, характеризующиеся параметром: длина волны до Бройля

(в классическом приближении);

или (в релятивистском).

Принцип неопределенностей Гейзенберга: в квантовой механике существуют пары величин (сопряженных) точность определения одной из которых, определяет точность определения другой. Например, при уменьшении области локализации частицы в пространстве увеличивается неопределенность в значении её импульса ; или: определение энергии частицы с точностью дозанимает временной интервал.

Волновая функция (пси-функция) – описывает волновые свойства микрочастицы (амплитуда вероятности). Физический смысл имеет – плотность вероятности нахождения электрона в определенной области пространства. Вероятность обнаружить частицу в объёме V .

Условие нормированной пси-функции .

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний .

Решение данного уравнения для частицы, находящейся в одномерной потенциальной яме шириной l и бесконечно высокими стенками (потенциальная энергия на стенках ямы бесконечно большая) имеет вид и существует только при условии квантования энергии электрона :.

Коэффициент преломления волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера бесконечной ширины : , где волновые числаи.

Коэффициент отражения ρ и пропускания τ волн де Бройля через низкий потенциальный барьер бесконечной ширины .

Коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера конечной ширины d (вероятность прохождения через барьер) .

Задания по теме.

Ситуация 1. Электрон находится в одномерной потенциальной яме шириной l = 0,5 нм и с бесконечно высокими стенками.

1. Используя соотношение неопределенностей найти выражение, позволяющее оценить минимальную энергию электрона.

2. Вывести формулу зависимости длины волны де Бройля от номера энергетического уровня, на котором находится электрон.

3. Изобразить на графике вид первых трех собственных функций , описывающих состояние электрона,

а также вид .

4. В каких точках внутри ямы плотность вероятности нахождения частицы максимальна (минимальна) если электрон находится на п = 2 ( 3 или 4 ) энергетическом уровне?

5. В каких точках плотность вероятности электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояснить графически.

6. Какова вероятность нахождения частицы: а) в средней трети ямы; б) в крайней трети ямы; в) в крайней четверти ямы; г) в интервале ¼ l, равноудаленном от стенок ямы; если она находится а) в основном состоянии; б) в первом возбужденном.

7. Определить наименьшую разность ΔΕ_n,n+1 энергетических уровней.

8. Найти выражение для отношения разности соседних энергетических уровней ΔΕ_n,n+1 к энергии частицы E_n. *Провести анализ : существенно ли квантование энергетических уровней для данного электрона (при каких п квантованием можно пренебречь, если считать, что отношение должно быть хотя бы порядка 0,01? реализуется ли такое состояние?). Провести аналогичный анализ для молекулы кислорода при нормальных условиях, если l ~10 см.

Ситуация 2. Электрон с энергией Е = 25 эВ встречает на своем пути потенциальный барьер бесконечной ширины высотой U = 9 эВ.

Определить:

1. Длину волны де Бройля электрона в области I и II.

2. Коэффициент преломления п волн де Бройля на границе потенциальной ступени.

3. Коэффициент отражения ρ (вероятность отражения электрона от потенциальной ступени).

4. Коэффициент прохождения τ (вероятность прохождения над ступенью).

5. Вывести формулу, связывающую коэффициент прохождения τ через потенциальный барьер и коэффициент преломления п волн де Бройля.

6. Определить для данной энергии Е значение потенциальной энергии U₁, при которой коэффициент отражения ρ равен коэффициенту прохождения τ.

Ситуация 3. Электрон движется со скоростью υ = 5·10⁶ м/с и попадает на потенциальный барьер высотой U = 75эВ и шириной 1нм. Найти:

1. Энергию электрона.

2. Вероятность прохождения электрона через потенциальный барьер.

3. Во сколько раз изменится вероятность прохождения через потенциальный барьер, если скорость электрона увеличить в 2 раза?

4. Во сколько раз изменится вероятность прохождения через потенциальный барьер, если высота потенциального барьера уменьшится на 1 эВ?

Пример решения ситуация 1 п.6.

Определить плотность вероятности электрона в потенциальной яме шириной в интервале ¼ l. Электрон находится в первом возбужденном состоянии.

По определению . Пси-функция электрона в потенциальной яме, где для возбужденного состоянияn = 2. Таким образом .

Преобразуем и возьмем интеграл:

.

Схематически данный ответ является заштрихованной площадью на рисункеплотности вероятности нахождения электрона в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Ответ: W = 0,25.