3.2. Властивості нескінченно малих, їх зв’язок з

нескінченно великими

Нехай при , тобто є н.м. функціями. Що можна сказати про їх суму

при ?

Теорема 1. Сума двох нескінченно малих функцій (послідовностей) є величиною нескінченно малою, тобто

(8)

аналогічно для послідовностей

(9)

Доведення здійснимо на прикладі послідовностей. Дійсно, із при маємо, що для можна знайти номер такий, що з нерівності . Аналгічно для того ж знайдеться номер такий, що із нерівності . Тепер для даного і номера із нерівності .

Отже, н.м.

Аналогічними міркуваннями доводиться теорема для н.м. функцій.

Наслідок. Сума скінченного числа нескінченно малих функцій (послідовностей) є величиною н.м.

.

Зауваження. Вимога скінченної кількості доданків в наслідку є суттєвою. Це видно із наступних прикладів.

Нехай і . Розглянемо випадки.

1. стала величина.

2. н.м. величина.

3. н. велика величина.

Отже, якщо кількість доданків необмежено зростає то, результат додавання н.м. може бути неоднозначним. Такі випадки вивчаються в математичному аналізі в розділі “Ряди”.

Означення. Функція називається обмеженою в області , якщо існує число таке, що для всіх виконується нерівність

.

Аналогічно, послідовність – називається обмеженою, якщо існує число таке, що для всіх натуральних виконується

нерівність .

Теорема 2. Добуток нескінченно малої величини на обмежену є нескінченно малою, тобто

(10)

і для послідовностей

(11)

Доведення на прикладі послідовностей. Для довільного як завгодно малого можна вибрати номер такий, що для натуральних буде виконуватись нерівність бо при , де число вибране із умови . Отже, тоді .

Теорема 3. Величина обернена до нескінченно великої є нескінченно малою. Навпаки, величина обернена до нескінченно малої є нескінченно великою, напр., для послідовностей

(12)

(13)

Аналогічні співвідношення між н.м. і н.в. функціями.

Приклади.

1. Якщо при , то при .

2. Якщо при , то при .

3.3 Границя послідовності. Границя функції

Нагадаємо, що закон, за яким кожному натуральному числу ставиться у відповідність число , визначає функцію натурального аргумента або послідовність чисел .

Означення 1. Число називається границею послідовності при (позначається ), якщо для довільного існує номер , що залежить від , такий, що для всіх наступних номерів виконується нерівність

,

або скорочено:

(14)

Якщо число є границею послідовнсті при , то ще прийнято говорити, що послідовність збігається до числа .

Наприклад, послідовність має своєю границею число , тобто .

Справді, розглянемо різницю

Тепер для як завгодно малого , наприклад, , можна підібрати номер , що залежить від , розв’язавши в даному випадку нерівність . Отже, якщо взяти , то тепер для всіх номерів маємо

Оскільки можна вибирати як завгодно малим, то число є границею послідовності при , або ж послідовність при збігається до числа .

Означення границі для послідовності, як для функції натурального (дискретного) аргумента, легко перенести і на функцію неперервного аргумента.

Означення 2. Число називається границею функції в точці , якщо ця функція визначена в деякому околі точки , за винятком, можливо, самої точки , і якщо границя послідовності існує і дорівнює , яка б не була послідовність , збіжна до і така, що для всіх . Таким чином,

.

Ця границя повинна бути однаковою для всіх таких послідовностей, вона і є границею .

Границю функції можна означити безпосередньо, не користуючись границею послідовності.

Означення 3. Число називається границею функції при , якщо визначена в деякому околі точки , за винятком , можливо, самої точки , і якщо для довільного існує число , що залежить від , таке, що із нерівності випливає нерівність , позначається

,

тобто

(15)

Означення 3 границі функції можна замінити більш спрощеним, яке на перших порах легше запам’ятовується.

Означення 4. Число називаєтьсяграницею функції при, якщо визначена в деякому околі точки, за винятком, можливо, самої точки, і якщо із того, що різницянескінченно мала випливає, що різницятеж нескінченно мала, тобто

(16)

Вияснимо геометричний зміст означення 3, скориставшись графіком функції (див. рис.21)

Рис. 21

Припустимо, що при прямуючому до , функція прямує до границі , тобто . Згідно означення 3 це значить, що для як завгодно малого можна знайти число таке, що із нерівності нерівність . Це означає, що для всіх , що знаходяться від точки не дальше ніж на , відповідні точки графіка функції попадають в середину смуги шириною , обмежену прямими і .

Можна довести, що означення 2 і 3 є еквівалентними.

Означення 2 зручно застосовувати для функцій, границя яких в даному процесі не існує. Розглянемо, наприклад, функцію при . Ця функція визначена для всіх значень , є парною, її графік симетричний відносно осі . Вияснимо поведінку функції для конкретних трьох послідовностей збіжних до при :

а) тоді для

б) тоді для

в) тоді для .

Отже, для наведених збіжних до нуля послідовностей функція не прямує ні до якої границі, тобто

не існує (див. частину графіка на рис. 22)

Рис. 22

Графік функції має вигляд нерівномірно стиснутої пружини: чим ближче до початку координат тим щільніше розміщуються окремі ланки пружини.

Означення 5. Число називається границею функції при або , якщо для як завгодно малого знайдеться число таке, що із нерівності випливає нерівність , при цьому пишуть

, або , або .

Таким чином співвідношення

залишається правильним і в тому випадку, коли або.