Задача №3.
Визначити за результатами аналітичного групування (використати дані 1 та 2 графи) задачі №2:
середнє значення факторної ознаки x та дисперсію x2, середнє квадратичне відхилення x, квадратичний коефіцієнт варіації V, довірчі межі для генеральної середньої
та частки
підприємствP,
що мають найбільшу виробничу потужність;моду М0 та медіану Ме.
Розв’язання.
Складемо розрахункову таблицю:
|
Групи підприємств за вартістю ОФ |
Кількість підприємств
|
Середина групи
|
|
|
|
0,7 – 2,6 |
2 |
1,65 |
3,30 |
5,45 |
|
2,6 – 4,5 |
3 |
3,55 |
10,65 |
37,81 |
|
4,5 – 6,4 |
6 |
5,45 |
32,70 |
178,22 |
|
6,4 – 8,3 |
10 |
7,35 |
73,50 |
540,23 |
|
8,3 – 10,2 |
4 |
9,25 |
37,00 |
342,25 |
|
Усього: |
25 |
– |
157,15 |
1103,96 |
Обчислимо
середнє значення
,
дисперсіюx2,
середнє квадратичне відхилення x,
квадратичний коефіцієнт варіації V.
Сукупність є однорідною, оскільки коефіцієнт варіації не перевищує 33%.
Обчислимо довірчий інтервал для генеральної середньої:
.
Величина
є
граничною помилкою вибіркової середньої;
– об'єм вибірки;N
=
100 – обсяг генеральної сукупності; t
= 1,96 при надійності 0,95. Маємо:
.
.
Обчислимо довірчий інтервал для частки Р підприємств, що мають найбільшу виробничу потужність:
.
Величина
є граничною помилкою вибіркової частки;
–вибіркова
частка підприємств, що мають найбільшу
виробничу потужність (група 4, для якої
фондовіддача найбільша; першу групу
відкидаємо як недостовірну);
– об'єм вибірки;N
=
100 – обсяг генеральної сукупності; t
= 1,96 при надійності 0,95. Маємо:
.
Тоді:
.
Обчислимо
моду
і медіану
.
Для інтервального ряду найбільша частота вказує на інтервал, що містить моду. У нашому випадку – це 4-й інтервал 6,4 – 8,3. Мода обчислюється по формулі:
де
–
початок модального інтервалу;
– відповідно число підприємств у
модальному, домодальному, післямодальному
інтервалі;
– довжина інтервалу.
Провівши обчислення, одержимо:
Обчислимо медіану по формулі:
де
– початок медіанного інтервалу;
– число підприємств у медіанному
інтервалі;
–
число підприємств до медіанного
інтервалу.
Тоді одержуємо:
Задача №4.
За результатами аналітичного групування задачі 2 охарактеризувати вплив факторної ознаки x на результативну ознаку y, використавши метод аналітичного групування. Оцінити тісноту зв’язку та перевірити його істотність. Зробити відповідні висновки. Як вихідні дані для розрахунків використовувати ряд розподілу задачі 2.
На основі первинних даних задачі 2 сформувати вибірку із перших 15 підприємств та оцінити лінію регресії, що відображає залежність обсягу виробництва продукції від вартості основних фондів за допомогою методу кореляційно-регресійного аналізу. Побудувати графік кореляційного поля та лінію регресії. Зробити відповідні висновки.
Розв’язання.
Із задачі 2 маємо аналітичне групування:
|
№ групи |
Групи підприємств за середньорічною вартістю основних фондів |
Кількість підприємств
|
Середньорічна вартість основних виробничих фондів на один завод, млн.грн.
|
|
Обсяг випущеної продукції на один завод; млн. грн.
|
|
|
|
1 |
0,7 – 2,6 |
2 |
1,6 |
--- |
3,5 |
--- |
--- |
|
2 |
2,6 – 4,5 |
3 |
3,6 |
2,0 |
4,1 |
0,6 |
0,30 |
|
3 |
4,5 – 6,4 |
6 |
5,6 |
2,0 |
6,8 |
2,7 |
1,35 |
|
4 |
6,4 – 8,3 |
10 |
7,1 |
1,5 |
9,1 |
2,3 |
1,53 |
|
5 |
8,3 – 10,2 |
4 |
9,2 |
2,1 |
11,7 |
2,6 |
1,24 |
З таблиці видно, що із зростанням факторної ознаки (середньорічної вартості основних виробничих фондів) групові результативної ознаки (обсяг випущеної продукції) змінюються (зростають з 1-ї до 4-ї групи, а потім спадає). Можна передбачити наявність взаємозв’язку між ними.
Значення співвідношень показує, на скільки одиниць власного виміру зростає в середньому результативна ознака у при зростанні факторної ознаки х на одиницю її власного виміру
Виконаємо
вимірювання кореляційного зв’язку,
яке ґрунтується на правилі складання
дисперсій. Загальна дисперсія
розпадається на міжгрупову
та середню з групових
:
.
Вона обчислюється за індивідуальними значеннями результативної ознаки y за формулою:
,
де yi – індивідуальні значення результативної ознаки.
Міжгрупова дисперсія – це середньозважена з квадратів відхилень групових середніх результативної ознаки y від загальної середньої по сукупності:
,
де
– середні групові результативної ознаки
y;
fi
– кількість
елементів в кожній групі (частота).
Середню з групових дисперсій можна обчислити за формулою:
.
Розрахунок загальної дисперсії оформимо у вигляді таблиці:
|
Підприємства |
x |
y |
y2 |
|
20 |
4,0 |
5,0 |
25,00 |
|
21 |
7,1 |
9,4 |
88,36 |
|
22 |
9,5 |
11,2 |
125,44 |
|
23 |
5,5 |
7,3 |
53,29 |
|
24 |
7,2 |
9,5 |
90,25 |
|
25 |
7,6 |
10,7 |
114,49 |
|
26 |
5,3 |
6,4 |
40,96 |
|
27 |
7,1 |
8,7 |
75,69 |
|
28 |
8,3 |
9,2 |
84,64 |
|
29 |
6,7 |
7,0 |
49,00 |
|
30 |
7,2 |
9,3 |
86,49 |
|
31 |
6,6 |
7,0 |
49,00 |
|
32 |
6,3 |
7,4 |
54,76 |
|
33 |
7,3 |
9,4 |
88,36 |
|
34 |
6,2 |
6,6 |
43,56 |
|
51 |
6,9 |
10,0 |
100,00 |
|
52 |
8,9 |
12,3 |
151,29 |
|
53 |
3,0 |
3,5 |
12,25 |
|
54 |
0,7 |
4,4 |
19,36 |
|
55 |
3,7 |
3,8 |
14,44 |
|
56 |
5,6 |
8,8 |
77,44 |
|
57 |
4,5 |
4,5 |
20,25 |
|
58 |
2,5 |
2,6 |
6,76 |
|
59 |
10,0 |
13,9 |
193,21 |
|
60 |
7,1 |
9,6 |
92,16 |
|
Всього |
154,8 |
197,5 |
1756,45 |
Розрахунок
міжгрупової дисперсії також оформимо
у вигляді таблиці, врахувавши,
що
(із задачі 2):
|
№ групи |
Групи підприємств за середньорічною вартістю основних фондів |
Кількість підприємств
|
Обсяг випущеної продукції на один завод; млн. грн.
|
|
|
|
|
1 |
0,7 – 2,6 |
2 |
3,5 |
-4,40 |
19,36 |
38,72 |
|
2 |
2,6 – 4,5 |
3 |
4,1 |
-3,80 |
14,44 |
43,32 |
|
3 |
4,5 – 6,4 |
6 |
6,8 |
-1,10 |
1,21 |
7,26 |
|
4 |
6,4 – 8,3 |
10 |
9,1 |
1,20 |
1,44 |
14,40 |
|
5 |
8,3 – 10,2 |
4 |
11,7 |
3,80 |
14,44 |
57,76 |
|
Всього |
25 |
--- |
-4,30 |
50,89 |
161,46 | |
Середня з групових дисперсій дорівнює:
.
Розрахуємо кореляційне відношення, яке характеризує тісноту кореляційного зв’язку і дорівнює відношенню між групової факторної дисперсії до загальної:
.
Обчислимо фактичне значення критерію Фішера (F-критерію):
,
де К1 = m – 1 = 5 – 1 = 4; K2 = n – m = 25 – 5 = 20 – відповідно ступені вільності між групової і середньої з групових дисперсій.
.
За довідковими таблицями знаходимо критичні значення кореляційного відношення і F-критерію:
.
Оскільки
і
,
то зв’язок
міжy
та x
вважається істотним.
На основі первинних даних задачі 2 сформуємо вибірку із перших 15 підприємств та оцінимо лінію регресії, що відображає залежність обсягу виробництва продукції від вартості основних фондів за допомогою методу кореляційно-регресійного аналізу. Розглянемо лінійну функцію. Рівняння регресії y на x має вигляд:
,
–коефіцієнт
кореляції.
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4,0 |
5,0 |
20,00 |
16,00 |
25,00 |
|
2 |
7,1 |
9,4 |
66,74 |
50,41 |
88,36 |
|
3 |
9,5 |
11,2 |
106,40 |
90,25 |
125,44 |
|
4 |
5,5 |
7,3 |
40,15 |
30,25 |
53,29 |
|
5 |
7,2 |
9,5 |
68,40 |
51,84 |
90,25 |
|
6 |
7,6 |
10,7 |
81,32 |
57,76 |
114,49 |
|
7 |
5,3 |
6,4 |
33,92 |
28,09 |
40,96 |
|
8 |
7,1 |
8,7 |
61,77 |
50,41 |
75,69 |
|
9 |
8,3 |
9,2 |
76,36 |
68,89 |
84,64 |
|
10 |
6,7 |
7,0 |
46,90 |
44,89 |
49,00 |
|
11 |
7,2 |
9,3 |
66,96 |
51,84 |
86,49 |
|
12 |
6,6 |
7,0 |
46,20 |
43,56 |
49,00 |
|
13 |
6,3 |
7,4 |
46,62 |
39,69 |
54,76 |
|
14 |
7,3 |
9,4 |
68,62 |
53,29 |
88,36 |
|
15 |
6,2 |
6,6 |
40,92 |
38,44 |
43,56 |
|
|
101,9 |
124,1 |
871,28 |
715,61 |
1069,29 |
|
Середнє |
6,79 |
8,27 |
58,09 |
47,71 |
71,29 |
Виконаємо обчислення:
Оскільки
коефіцієнт кореляції досить близький
до одиниці, то залежність між величинами
й
можна
вважати лінійною.
Знайдемо математичне рівняння лінії регресії:
Побудуємо графік кореляційного поля та лінію регресії
З
отриманих розрахунків і з побудованого
графіка можна зробити висновок, що
рівняння регресії 
відбиває лінійний взаємозв’язок між
ознаками.