1.1.6. Экономические приме­ры производственной деятельности фирм.

Пусть z – количество продукции, выпущенной некоторой фир­мой; х, у – затраты ресурсов двух видов; z=Q(x,у) – дифферен­цируемая функция, устанавливающая связь х, у и z. Предполо­жим, что величины х, у, z заданы в натуральных единицах, и р_x, р_y, р_z – соответствующие этим единицам постоянные цены. Тогда выручка (валовой доход) будет R(x, у) =р_zQ(x, у), а функция при­были запишется следующим образом:

(x,y)= R(x, у) – р_x x – р_y y. (1.1.15)

Пусть z* – оптимальный (с точки зрения прибыли) выпуск продукции; х*, у* – соответствующие этому оптимальному количеству затраты ресурсов. Тогда точка М(х*,у*) является точкой локального максимума функ­ции (х, у). Согласно необходимому признаку локального экстремума, в точке М обращаются в нуль частные производные первого порядка:

_x(М)= R_x(М) – р_x = 0, _у(М) = R_у(М) – р_у = 0,

или R_x(М) = р_x, R_x(М) = р_x.

Вывод: в точке локального максимума прибыли предель­ная выручка от каждого ресурса совпадает с его ценой. Этот вывод сохраняется и в более общем случае, когда цена р_z зависит от объема выручки: р_z=р_z(Q).

Рассмотрим теперь фирму-монополию, которая продает свою продукцию на двух независимых рынках. Пусть р_i, q_i – соответ­ственно цена и количество продукции, проданной монополией на i-м рынке (i =1, 2). Из независимости рынков вытекает, что цена р₁ не зависит от q₂, т.е. р₁ = р₁(q₁). Аналогично р₂=p₂(q₂). Пусть С(q) – дифференцируемая функция издержек. Тогда функция при­были имеет вид: = р₁q₁ + р₂q₂ –С(q₁+ q₂).

В точке локального максимума прибыли имеем

Отсюда получаем отношения цен:

(1.1.16)

Так как рынки по предложению независимы, то, исполь­зуя свойства эластичности функции одной переменной, имеем

Пример 1.1.9. На сколько процентов цена на втором из двух независимых рынков выше, если эластичность спроса на первом рынке (–2), а на втором – (–1,5)?

Решение. Используя формулу (1.1.16), находим

Следовательно, на втором рынке цена на 50% больше.

1.1.7. Практический блок

Пример 1. Пусть в результате корреляционно-регрессионного анализа (см. дисциплину «Эконометрика») получены следующие зависимости себестоимости продукции (у) от определяющих факторов (табл. 1.1.1.):

Таблица 1.1.1.

Объем производства (х1)	у(х1)=0,62+58,74∙(1/х1) (гипербола)	2,64
Трудоемкость единицы продукции (х2)	у(х2)=9,3+9,83∙х2 (линейная функция)	1,38
Оптовая цена за 1т. энергоносителя (х3)	у(х3)=11,75+х3^1,6281 (степенная функция)	1,503
Доля прибыли, изымаемая государством (х4)	у(х4)=14,87∙1,016^х^4 (показательная функция)	26,3

Тогда получаем:

1. для гиперболы у=b+a/x

2. для линейной функции у=b+ax

3. для степенной функции у=bx^а

4. для показательной функции у=bа^х

Из примера видно, что в наибольшей степени себестоимость зависит от оптовой цены за 1т. энергоносителя (1.63), затем от объемов производства (-0.973, т.е. с ростом объемов производства на 1% себестоимость падает почти на 1%).

Пример 2. При заданном бюджете М и ценах факторов производства r_L и r_K фирма работает по технологии, отображаемой функцией Q = L^αK^β.

1. При каких объемах труда и капитала объем выпуска фирмы будет максимальным?

2. Как изменится капиталовооруженность труда, если:

а – бюджет фирмы возрастет в 1,5 раза;

б – цена труда возрастет в 1,5 раза?

Решение.

1. Из условия равновесия фирмы следует, что

В соответствии с бюджетным ограничением

М= r_LL+ r_KK=r_LL+ r_K

Отсюда максимальныe объемы труда и капитала будут:

2а. Из условия равновесия фирмы следует, что капиталовооруженность труда не зависит от бюджета фирмы.

2б. Капиталовооруженность труда возрастет в 1,5 раза.

Пример 3. Продукция производится по технологии, отображаемой функцией Q = L^0,25 K^0,5. Цены факторов производства равны: r_L = 1; r_K = 3.

Определить минимум средних затрат в коротком периоде при использовании следующих объемов капитала: K = 10; 15; 20. Построить функции АС для каждого из указанных объемов капитала.

Решение.

При заданной технологии L =Q⁴/K². Поэтому суммарные издержки TC=1∙Q⁴/K² +3K, откуда следует, что средние затраты будут равны

AC= Q³/K² +3K/Q.

Минимум АС определяется из условия

AC'=

При K=10 АС_min =7,11; при K=15 АС_min=7,87; при K = 20 АС_min = 8,46.

Функции АС для каждого из указанных объемов капитала определяются по формулам:

АС₁₀ = Q³/100 +3K/10, АС₁₅ = Q³/225 +K/5, АС₂₀ = Q³/400 +3K/20.

Графики этих функций предлагается построить самостоятельно.

Пример 4. Бюджет потребителя 120 ден. ед., а его функция полезности

U= .

Продукт А производится по технологии, отображаемой функцией Q_A=, а продукт В– Q_B=. Факторы производства фирмы покупают по неизменным ценам r_L = 2; r_K = 8.

Какую максимальную полезность в этих условиях может достичь потребитель?

Решение.

Воспользуемся вторым законом Госсена (1.1.9). При заданной функции полезности получим =0.5U/Q_A, =0.25U/Q_B и 0.5Q_B/0,25Q_A= P_A /P_В, бюджетное ограничение Q_A∙P_A + Q_В∙P_В =120. Откуда функции спроса индивида на блага получают следующий вид: =80/P_A; =40/P_B.

При заданной технологии и ценах факторов производства фирма А имеет а в соответствии с условием равновесия фирмы 8K_A = 2L_A → K_A = 0,25L_A.

Из этих двух уравнений находим, что для производства продукции с минимальными затратами фирма А должна использовать L_A = 2и K_A = 0,5. При этом общие затраты равны TC_A = 2∙2+ 8∙0,5= 8; предельные затратыMC_A = 16Q_A = P_A, откуда =P_A/16, а фирма В имеет:

также K_В = 0,25L_В. Из этих двух уравнений находим, что для производства продукции с минимальными затратами фирма В должна использовать L_В = 2и K_В = 0,5. При этом общие затраты равны TC_В = 2∙2+ 8∙0,5= 8Q_B; предельные затраты MC_B = 8 = P_B.

Равновесие объемов спроса и предложения блага А достигается при

80/P_A=P_A/16 →P_A =35,78; Q_A =2,236.

Благо В предлагается по неизменной цене Р_В = 8, в этом случае индивид купит Q_В = 40/8 = 5. Следовательно, потребитель может достичь максимальной полезности U = 2,236^0,5 ∙5^0,25 = 2,236.