Вернуться 2. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ Дальше

Кинематика — раздел механики, в котором изучается движение тел в пространстве без учёта взаимодействия между ними. Законы кинематики описывают движение тел, но не отражают причин возникновения или изменения движения.

Механическим движением тела называется изменение его по-

ложения в пространстве с течением времени.

Положение тела может быть определено только по отношению к каким-либо другим телам. Таким образом, механическое движение всегда относительно. Тела, относительно которых рассматривается движение других тел, называются телами отсчёта.

Однако в механике используют понятие не тела отсчёта, а системы отсчёта. Системой отсчёта называют тело отсчёта вместе со скреплённой с ним системой координат.

Выбор вида системы координат определяется условиями механической задачи. В общем случае наиболее удобна декартова прямоугольная система координат, поскольку в ней все три координаты равноправны.

Чтобы описать движение тела, нужно знать движение каждой его точки, т. к. различные точки протяжённого тела могут двигаться по-разному. Поэтому, прежде чем переходить к описанию движения тела, нужно установить способы описания движения отдельной точки. Более того, иногда прирассмотрении движения протяжённых тел можно пренебречь их размерами. Это делается в тех случаях, когда размеры тела вомного раз меньше размеров, скоторыми приходится иметь дело в условиях данной задачи.

Подматериальнойточкой понимается физический объект, вгеометрическом смысле эквивалентный математической точке, но обладающий массой.

2.1.Описание движения в координатной

ивекторной формах

Описать движение точки — значит указать её положение в любой момент времени. При своём движении она проходит непрерывную последовательность точек системы отсчёта, называемую тра-

екторией движения.

10

Пусть точка движется в декартовой системе отсчёта. Положение
точки в этом случае определяется тремя координатами x, y, z или
радиус-вектором r .
Если точка движется, то каждому последующему моменту вре-
мени соответствуют новые значения всех трёх координат, т. е. коор-
динаты движущейся точки являются функциями времени:
		x = x(t);
		y = y(t);
		z = z(t)
или в бескоординатной форме — r = r (t) . Эти уравнения задают
кинематический закон движения точки.
2.2. Перемещение. Скорость
Пусть М1 — начальное положение точки,М2 — конечное положе-
ниеточки, ∆r — вектор перемещения, M1M2 — путь точки (рис. 7).
			Путь — расстоя-
			ние, которое проходит
1			точка при своём дви-
			жении вдоль траекто-
			рии, это скалярная ве-
			личина.
		2	Путь (S) и переме-
1			щение не всегда совпа-
	2		дают даже при прямо-
			линейном движении.
			Пусть точка двига-
			лась из точки О до М2
			(рис. 8), а затем верну-
			лась в точку М1.
			Тогда ∆r = ОМ1,
Рис. 7. Путь иперемещение точки			путь = ОМ2 + М2М1.
			Если движение пря-
1	2	молинейное и однонаправленное, то
		очевидно, что численное значение век-
Рис. 8. К понятию пути		тора перемещения равно пройденному
		пути ∆r = ∆S .
			11

∆r

=

dr

=1 , т. е.

В общем случае

∆r

≠ ∆S , но

lim

dr = dS .

∆S→0

∆S

dS

Тогда

dr

∆r

= lim

= τ,

dS

∆S

∆S→0

где τ — единичный вектор, касательный к траектории.

Отсюда

dr = τdS.

Скорость определяет

быстроту движения и его

направление

в

данный

момент времени. Средней

скоростью за промежуток

времени

t называют век-

ней

∆r

ср

. Вектор сред-

тор

vñð =

∆t

скорости совпадает по

направлению с вектором

перемещения.

Пусть точка соверша-

ет

перемещение

M1M2

Рис. 9. К понятию скорости

(рис. 9). При

t → 0 мы

получим вектор истинной

или мгновенной скорости (скорость в данный момент времени)

v = lim

∆r = dr.

∆t →0

∆t

dt

При t → 0 имеем М2 → М1, следовательно в пределе вектор скорости будет направлен по касательной к траектории. Попробуем

выразить вектор скорости через пройденный путь: v = drdt = τ dSdt = τv .

Как и любой вектор, вектор скорости можно представить в виде v = vxi + vy j + vz k.

С другой стороны,

v = drdt = dtd (xi + y j + zk )= dxdt i + dydt j + dzdt k.

Видим, что проекции скорости задаются формулами

12

vx = dxdt = x;

v = dy = y;y dt

vz = dzdt = z.

Модуль вектора скорости равен

v = v = vx2 +vy2 + vz2 .

Итак, если известен закон движения, т. е. зависимость координат точки от времени, то проекции скорости движения точки находятся простым дифференцированием, а затем определяется и модуль скорости v.

Если при движении точки направление её скорости неизменно, то движение будет прямолинейным. Если направление скорости изменяется, то движение будеткриволинейным. Есливеличинаскорости неизменна, то движение является равномерным. Если величина скорости изменяется, то движение будет переменным.

Несколькосложнеерешаетсяобратнаязадача—нахождениезако-

на движения позаданной зависимости вектора скорости отвремени: vx (t) = dxdt .

Отсюда последовательно

t

dx = vx (t)dt, x(t) = ∫vx (t)dt.

0

Остальные координаты как функции времени находятся аналогично.

2.3. Ускорение

Допустим, что материальная точка движется по произвольной траектории (рис. 10). Пусть вначальный момент времени она занимала положение М1 и имела скорость v1 , а через промежуток времени t она пришла в положение М2 иимеет скорость v2 . Пустьv2 > v1.

Найдём изменение скорости запромежуток времени t. Для этого перенесём вектор v2 параллельно самому себе в точку М1. Тогда ∆v — искомое изменение скорости.

13

Рис. 10. К понятию ускорения

Средним ускорением движущейся точки за промежуток времени

=

∆v

. Мгновеннымускорениемназывается

t называется вектор a

ñð

вектор

ср

∆t

dv

d 2r

∆v

=

dv

=

.

a = lim

∆t

dt

или a =

dt

dt

∆t→0

Проекции вектора ускорения на оси координат будут

= d

2

ax

2x

= x ;

dt

2

2y

= y ;

ay = d

dt

= d

2

z

= z.

a

z

dt2

На векторе v2 отложим от точки М1 вектор v1 иконец вектора соединимс полученнойточкой В. Обозначим AB = ∆vn , а v2 −v1 = ∆vτ. Тогда изменение скорости ∆v можно разбить на две части: на вектор ∆vτ, который характеризует изменение скорости по величине, и на вектор ∆vn, который характеризует изменение скорости по направлению ∆v = ∆vτ + ∆vn .

14

По определению

		∆v		∆v	∆v	dv	dv
a = lim			= lim	τ + lim	n =	τ +	n	= a	+ a .
	∆t→0 ∆t		∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t			dt	dt	τ	n

Так как ∆vτ направлен вдоль вектора скорости, а скорость в любой точке траектории направлена покасательной к ней, то вектор aτ направлен по касательной и называется тангенциальным ускорением:

		dv		.
	aτ = τ		dt
r2	Вновь посмотрим на рис. 10. При r → 0 r2 → r1				и в пределе
	= r 1. Треугольник ОМ1М2 равнобедренный, а траектория есть
часть окружности радиуса R = r2 = r1. При этом углы α и γ равны
друг другу, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами,
а М1АВ — равнобедренный треугольник.
	Следовательно, β = π−α при		r → 0, α → 0 и β →		π .
	2				2

В пределе ∆vn v , т. е. направлен по нормали к центру кривиз-

ны траектории. Поэтому an называется нормальным ускорением.

Равнобедренныетреугольники

ОМ М и

М АВподобны,т.к.α=γ.

1 2

∆v 1

∆r

, следовательно

Из подобия треугольников следует

v

n =

R

∆v = v∆r .

n

R

∆vn =

v

lim ∆r

= v

2

Но

a

= lim

n,

n

∆t→0

∆t R ∆t→0 ∆t

R

где n — единичный вектор в направлении главной нормали.

				v2
Итак,		а a	= n .
		n		R

Полное ускорение равно a = aτ + an (рис. 11), а модуль полного

ускорения — a = an2 + aτ2 .

Для движения точки по ок­

ружности нормальное ускорение

называется центростремитель-

ным, поскольку центр кривизны для всех точек один и тот же и совпадает с центром окруж­ ности.

Рис. 11. К понятию полного ускорения

15

Вернуться	3. КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА		Дальше
	3.1. Степени свободы твёрдого тела
Твёрдым телом называется совокупность материальных точек,
расстояние между которыми неизменно.
Чтобы описать движение материальной точки, необходимо за-
дать три функции, характеризующие зависимость её координат
от времени.
Для описания системы N материальных точек, движущихся не-
зависимо друг от друга, необходимо задать 3N функций,характери-
зующих зависимость координат этих точек от времени.
Число i независимых функций (параметров), которыми описы-
вается движение системы материальных точек, называется числом
её степеней свободы.
Материальная точка имеет три степени свободы (i = 3), а систе-
ма из двух независимых материальных точек имеет шесть степеней
свободы (i = 6).
Если же эти две материальные точки жёстко связаны между со-
бой некоторым стержнем длины l (рис. 12), то шесть координат двух
точек уже не являются независимыми координатами, т. к. между
ними имеется соотношение l2 = (x2		− x1 )2 +(y2 − y1 )2 +(z2 − z1 )2 .
		С помощью этого равен-
		ства одну изэтих шести коор-
		динат можно выразить через
		величину l и оставшиеся пять
		координат. Таким образом,
		остаётся лишь пять независи-
		мых параметров дляописания
		движения двух жёстко скреп-
		лённых материальных точек.
		Следовательно, такая система
		имеет пять степеней свободы
		(i = 5).
		Чтобы указать положение
Рис. 12. Две жёстко связанные точки		твёрдого тела в пространстве,
		необходимо зафиксировать ка-
ким-либо образом три точки этого тела, не лежащие на одной
прямой. Эти три точки описываются девятью координатами, между
16

которыми имеются три соотношения, выражающие постоянство расстояний между точками твёрдого тела. Следовательно, положение твёрдоготелахарактеризуетсяшестьюнезависимымипараметрами.

Эти шесть параметров можно задавать различными способами

взависимости от обстоятельств.

1.Пусть твёрдое тело закреплено в одной точке. Одной из трёх

точек, определяющих положение тела, может быть точка его закрепления. Тогда из девяти координат три будут фиксированы, а шесть остальныхсвязанытремяуравнениями,выражающимирасстояние между тремя данными точками. В результате независимыми остаются три координаты (i = 3).

2.Пусть твёрдое тело закреплено в двух точках. В этом случае две из трёх точек, определяющих положение тела, закреплены, так что из девяти координат зафиксированными оказываются шесть. Остальные три координаты третьей точки связаны двумя уравнениями, выражающими расстояние от данной точки до точек закрепления тела. В результате независимой остаётся только одна координата (i = 1).

3.Наконец, тело, закреплённое втрёх точках, нележащих наодной прямой, будет неподвижным, следовательно, не будет иметь ни одной степени свободы (i = 0).

Из всех возможных движений твёрдого тела рассмотрим только два основных и важнейших вида — поступательное и вращательное, т. к. к ним могут быть сведены все остальные виды движения.

3.2. Поступательное движение твёрдого тела

Поступательным называется такое движение твёрдого тела, при котором любая прямая, проведённая в теле и неизменно с ним связанная, перемещается параллельно самой себе. Поступательное движение не обязательно является прямолинейным (рис. 13).

Докажем, что при поступательном движении твёрдого тела все его точки описывают одинаковые траектории и в каждый данный момент времени имеют равные скорости и ускорения.

Пусть мы имеет твёрдое тело, движущееся поступательно впространстве (рис. 14). Отметим в нём две точки А и В, через которые проведём прямую. Положение точки А можно охарактеризовать

17

	Рис. 13. Поступательное		Рис. 14. Поступательное движение
	криволинейное движение
	радиусом­	-вектором rA , а положение точки В — радиусом-векто-
	ром rB . Очевидно rA = rB + BA .

Продифференцировав по времени полученное равенство, мы найдём скорости точек А и В. Вектор BA при дифференцировании

даёт нуль, т. к. он есть постоянная величина. Значит, vA = vB . Про-

дифференцировав это равенство по времени, получим aA = aB . Поскольку все рассуждения проводились относительно произ-

вольно выбранных точек, то они окажутся справедливыми для любых точек твёрдого тела. Поэтому для изучения поступательного движения твёрдого тела нам достаточно изучить движение лишь одной точки этого тела.

3.3. Вращательное движение

Вращательным называется такое движение твёрдого тела, при котором все его точки описывают концентрические окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, называемой осью вращения. Отметим, что ось вращения может находиться и вне тела.

Вращательное движение тела считается известным, если известны три параметра: 1) положение оси вращения; 2) направление вращения; 3) скорости всех точек вращающегося тела.

18

Рис. 16. Угловой путь как вектор

Рис. 15. Вращательное движение

Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси обладает лишь одной степенью свободы (i = 1), поэтому для полного определения положения вращающегося тела в тот или иной момент времени достаточно знать одну какую-то его координату как функцию времени.

В качестве независимой координаты удобно считать угол φ (рис. 15), накоторый поворачивается подвижный радиус, проведённый от оси вращения к какой-либо точке тела, за время t после начала движения.

Зная угол φ как функцию времени, можно найти положение любой точки вращающегося тела, находящейся на расстоянии R от оси вращения, в любой момент времени t.

Действительно, путь, пройденный данной точкой за время t, равен ∆S = R∆ϕ (φ в радианах). Отложив эту длинупути S вдоль дуги окружности радиуса R от начального положения точки М1, определим положение данной точки в момент времени t.

Элементарное угловое перемещениеdφ характеризуется нетолько своим значением, но и плоскостью, в которой оно происходит.

Чтобы фиксировать эту плоскость, следует dϕ рассматривать как вектор, перпендикулярный этой плоскости (рис. 16).

Его направление находится по правилу буравчика.

Важно иметь в виду слово «элементарное», т. к. перемещения на конечный угол не обладают свойством вектора, ибо они уже не могут складываться как век-

торы.

3.4. Угловая скорость

Пусть М1 — начальное положение точки. За малое время t тело повернулось на ∆ϕ и точка пришла в положение М2 (рис. 17).

19

Введёмвеличину,характеризующую быстроту изменения углаΔφ стечением времени. Эту величину назовём средней

		угловой скоростью				∆ϕ			.
			ω =			∆t
		Найдём мгновенную угловую ско-
		рость	∆ϕ		dϕ
				=				.
		ω= lim	∆t			dt
		∆t→0
		Из полученного равенства следу-
Рис. 17. К понятию		ет, что направление векторов ω и dϕ
угловой скорости		совпадает, следовательно,					направление

мгновенной угловой скорости можно найти по правилу буравчика. Очевидно, что угловая скорость всех частей твёрдого тела одинакова и является характеристикой его вращательного движения,

т. к., зная ω, мы знаем величину скорости, положение оси вращения в пространстве и направление вращения.

УгловаяскоростьωсвязанаспериодомрадвращенияТ соотношением

ω= 2Tπ, [ω]= ðàäсñ .

Свяжем характеристику движения отдельно взятой точки твёрдого тела (линейную скорость v) схарактеристикой движения твёрдого тела (угловой скоростью ω ).

Пусть некоторое твёрдое тело вращается с угловой скоростью ω (рис.18). В некоторый момент времени точкаМимеетлинейную скорость v, находясь на расстоянии R от оси вращения. Положение точки М зафиксируем радиусом-век-

		тором r, проведённым из точки О,
		как из полюса.
		Видно,		что тройка векторов v,
		ω, r образует правовинтовую сис­
		тему. Следовательно, связь между
		векторами линейной и угловой ско-
		ростей будет следующей:
				v =[ω, r ]
		или	v	= ωr sin α =	ω, R		,
Рис. 18. К связи линейной
				R
иугловой скоростей		гдеα—уголмеждувекторами ω и r .

20

Тем самым установлена связь между v и ω. Следовательно, линейные скорости v различных точек тела по величине пропорциональны расстоянию R до оси их вращения.

3.5. Угловое ускорение

Если вращательное движение неравномерное, то его угловая скорость с течением времени изменяется. О том, насколько быстро она изменяется, свидетельствует угловое ускорение.

Среднее угловое ускорение определяется следующим образом:

εсрñð = ∆ω∆t .

Мгновенное угловое ускорение определяется по формуле

ε = lim	∆ω	= dω.
∆t→0	∆t	dt

Вектор углового ускорения направлен по оси вращения в ту же

сторону, куда направлен вектор элементарного приращения угловой скорости.

Иначе говоря, при неизменном положении оси вращения вектор углового ускорения направлен параллельно угловой скорости, если вращение ускоренное. Если же вращение является замедленным, то векторы углового ускорения и угловой скорости антипараллельны.

Найдём связь между линейным ускорением a и угловым уско-

рением ε :

dv

,

v =

ω, R

,

a =

dt

d

dω

dR

поэтому a =

ω, R

=

, R

+

ω,

= ε, R

+ ω, v .

dt

dt

dt

ε

v

			Это соотношение выражает извест-
			ное нам соотношение					a = aτ + an ,			сле-
			довательно,	a	=	ε, R ,		a	= ω, v .		Так
				τ				n
			как v = ωR,	то	a	= ω2 R		= v2	, an = −ω2 R.
					n			R
			Минус взят потому, что ускорение an на-
			правлено коси вращения, арадиус-вектор
	Рис. 19. К понятию
			R направлен от оси вращения (рис. 19).
	нормальногоускорения

21