11. Бағалар. Бағалардың сұрыптамасы (ығыстырылымағындық, тиянақтылық, эффективтілік).

- үлестірім функциялар жиынтығы, мұндағы

- белгісіз параметр деп аталады, ал - белгісіз параметрлер жиыны

Есептің қойылуы: Қандайда бір үшін сәйкесүлестірім функциясы- дің үлестірім функциясы болып табылады, яғни.

Мәселе – сол -ді таңдамадан пайдаланып жуықтап табу керек .

Қойылған есепті шешу үшін -ден алынғантаңдаманы пайдаланамыз.- белгісіз параметрінің мағынасына қарай ( ол әртүрлі мысалдарда әрқалай болады)

функциясын құрады және ол арқылы мына функцияға келеді

.

Бұл функция - белгісіз параметрініңбағасы деп аталады.

- ге келесі талаптар қойылады:

1. Егер үшінболса, онда- бағасыығыспаған баға деп аталады.

2. Егер үшінболса, онда- бағалар тізбегітиянақты деп аталады.

3. Егер - бағасы

теңдігін қанағаттандырса, онда - бағасыэффективті деп аталады.

Математикалық күтімнің бағасы – таңдамалық орта

- бақыланатын кездейсоқ шамасы берілген. Оның үлестірімі параметрімен бірмәнді анықталғаны белгілі болсын (мысалы, бинамиамды үлестірім: белгісіз параметрлер ретінде; көрсеткішті үлестірім :; қалыпты үлестірім :; т.с.с.).

Мақсат: параметрлері үшін баға құру.

Ол үшін таңдама керек:

- -ден алынған таңдама.

Баға ретінде: (36.1)

таңдамалық орта деп аталатын кездейсоқ шама алынады. Бағаны бұлай алуға себеп болатын математикалық күтімнің практикалық мағынасы және үлкен сандар заңы.

Бұл баға ығыспаған және тиянақты болатынын көрсетейік:

1)

2) берілсін,екені белгілі болсын. Онда

Демек бұл баға математикалық күтім үшін тиянақты баға болады.

Белгісіз дисперсия үшін баға – таңдамалық дисперсия

- бақыланатын кездейсоқ шама болсын, оның дисперсиясы белгісіз болсын.

- таңдама

Мақсат: - қа баға құру

Ол үшін дисперсияның анықтамасын еске түсірейік:

Бұдан баға

(37.1)

болуы мүмкін деген ойға келеміз.

- ығыспаған баға . Бұдан бұл баға үшін ығыспаған болмайтындығы көрініп тұр. Ығыспаған баға алу үшін бұл теңдіктің екі жағында- ге көбейтеміз. Сонда

Бұдан бұны деп белгілейік:

(37.2)

(37.1) – дисперсияның ығысқан бағасы деп аталады

(37.2) – дисперсияның ығыспаған бағасы деп аталады.

12. Нормаль үлестірім параметрлері үшін сенімділік интервалдары.

Параметрлері және болатын нормаль ( гаустік, қалыпты ) үлестірім:

Мұндай қалыпты шаманы қысқаша түрінде жазатын боламыз. Параметрлері болатын нормаль үлестірім стандартты нормаль үлестірім деп аталады.

Нормальді үлестірімдердің композициясы нормальді үлестірілген болады. Осылай егер Х пен У – тәуелсіз нормальді үлестірілген кездейсоқ шамалар болса, яғни

Z болса онда кездейсоқ шамасы да нормаль үлестірілген болады. Z Х пен У тәуелді болса, (корреляция коэффициенті ρ≠0), онда Z=X+Y нормальді үлестірілген болып қалады, параметрлері ( Ω,ℱ, Р) ықтималдық кеңістігінде өзара тәуелсіз және үлестірімдері бірдей

ξ₁(ω)...ξ_n(ω) M(ξ_k)=a D(ξ_k)=δ²<+∞ онда

P(ω:( ξ₁(ω)+..+ ξ_n(ω)-M(ξ₁(ω),..,ξ_n(ω)/≤x)→1/

Муавр-Лаплас Ф_0,1 (х) стандарт нормаль үлестірім эквивалентті N(0;1)

Егер Х кездейсоқ шамасы бас жиында нормал үлестірілген болса, параметрін интервалдық бағалауды көрсету үшін пайдалануға болады. а параметрін сенімділікпен қамтитын сенімділік интервалын табу керек болсын. Егер кездейсоқ шама Х нормаль үлестірілген болса, онда тәуелсіз бақылау арқылы табылған таңдама орта нормальді үлестірілген болады.үлестіруінің параметрлері

болады.

Енді теңдігі орындалсын дейік, мұндағыберілген сенімділік

формуласын пайдаланайық, ол үшін Х-ті мен-нымен ауыстырайық, сонда

болады, мұндағы ;

Соңғы теңдіктен болады.

Сонда болады.

Бұдан

;

Алдыңғы қатынастың мағынасы төмендегідей:

Сенімділік интервалы белгісіз параметра ны сенімділікпен қамтитынын бекітуге мүмкін болады. Бағалау дәлдігі.

саны теңдігінен анықталады, бұдан; 2-ші қосымшадағы Лаплас функциясының кестесі бойынша аргумент-ны табамыз.

Мысал. Кездейсоқ шама Х орташа квадраттық ауытқуы ке тең екендігі белгілі нормаль үлестірілген болсын.

Бас жиынның белгісіз математикалық күтімі а-ны таңдама ортасы арқылы бағалаудың сенімділік интервалын табыңдар, егер таңдама көлеміжәне сенімділігіболса.

Шешуі: -ны табамыз.болғандықтан; 2-ші қосымшаданекенін табамыз.

Дәлдік бағаны табамыз. ; Сонда сенімділік интервалыболады. Мысалы, егерболса, онда сенімділік шекарасы

болады. Олай болса бас жиынның белгісіз параметрі а теңсіздігін қанағаттандырады.

Квадраттық ауытқу (таңдама көлеміболса) белгісіз болса, сенімділік интервалболады, мұндағы-түзетілген орташа квадраттық ауытқу,-ны берілгенжәнебойынша кестеден (3-қосымша) табады.