Ильинков, В. А. Моделир_систем_телеком_лаб_практ_Ч_1_
.pdfЛабораторная работа № 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ СИСТЕМ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ РЯДОМ КОТЕЛЬНИКОВА
2.1 Цель работы
Изучение основных закономерностей моделирования телекоммуникационных сигналов рядом Котельникова, особенностей представления рядом гармонических и импульсных сигналов.
2.2 Краткие теоретические сведения
Описание сигналов рядом Котельникова лежит в основе одноименной теоремы об их дискретном представлении. Функции
n(t) |
sin m(t n t) |
|
|
|
|
|
|
, t m , n , , |
(2.1) |
||||||
m(t n t) |
|||||||
|
|
|
Р |
|
|||
образующие ряд, обладают важными отличительными свойствами [1, 3]: |
|
||||||
по сравнению с функциями всех других ортогональныхИсистем имеют |
|||||||
|
|
У |
|
|
|
||
одинаковую форму и отличаются друг от друга только расположением на оси |
|||||||
абсцисс (времени); |
|
|
|
|
|
||
являются четными относительно точки t Гn t и принимают нулевые зна- |
чения через равные интервалы t времени, благодаря чему широко используются |
|||||||||||||||||||||||||||||
при синтезе устройств коррекции формы телекоммуникационныхБ |
сигналов; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
имеют модуль |
|
S ( ) |
|
|
спе тр льной |
плотности, равный 1 2 fm при |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
m и нулю при |
|
|
|
|
m, т. харак. теризуются равномерным и ограничен- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ным по частоте амплитудным сп ктром, что позволяет построить на их основе |
|||||||||||||||||||||||||||||
эффективные измери ельные сигналы; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) является ор- |
||||
|
|
|
|
система функций n(t ) |
на бесконечном интервале ( ; |
||||||||||||||||||||||||
тогональной с |
чным весом, при этом |
|
|
|
n(t ) |
|
|
|
2 t. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
С учетом зложенных свойств сигнал, ограниченный по спектру верхней |
|||||||||||||||||||||||||
граничной частотойедини fm, в любой точке t , представляется рядом Ко- |
|||||||||||||||||||||||||||||
тельникова [1]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin m t n t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
б |
f t |
Cn |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
(2.2) |
|||||||||
|
|
|
|
m t n t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
где Cn f(n t ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(финитный сиг- |
|||
Б |
Очевидно, сигнал, имеющий конечную длительность с |
нал), представляется конечной суммой ряда Котельникова, так как за предела-
ми отрезка его существования отсчетные значения |
f(n t ) равны нулю. С уче- |
|
том этого можно определить энергию |
|
|
с |
N |
|
Э f |
2 t dt t f 2(n t) |
(2.3) |
0 |
n 0 |
|
11
и среднюю на отрезке мощность
P |
Э |
с |
|
1 |
с f |
2 t dt |
1 |
N f 2 |
(n t) |
(2.4) |
|
|
|||||||||
cp |
|
с |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
N n 0 |
|
|
|||
континуального финитного сигнала, |
где 0, c совмещенный левой границей |
|||||||||
с началом координат отрезок существования; |
N с |
t 2 с fm так называе- |
мое число степеней свободы или база сигнала. Формула (2.4) показывает, что
средняя мощность численно |
равна среднему квадрату отсчетных |
значений |
f(n t ). |
|
Р |
2.3 Порядок выполнения работы |
||
2.3.1 Математическое |
и физическое моделирование базового |
сигнала |
0(t) |
И |
|
|
||
2.3.1.1 Изучить необходимые теоретические сведения. Проанализировать |
математическую модель 0(t) n t n 0 (см. формулу (2.1)) исследуемого бес- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
конечно протяженного непериодического сигнала, представить его графически. |
|||||||||||||||
2.3.1.2 В системе MathCAD запрограммировать модель 0(t), на отрезке |
|||||||||||||||
T |
T |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
4 |
|
|||
времени |
|
2, 2 при значениях параметров T = 0,5Бмс и fm= 10 |
Гц с шагом |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
t 0,001T |
рассчитать отсчетные значения фун |
ции 0(t) (соответствующие |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
0T |
|
|
|
|
|
финитному сигналу |
0T |
t |
|
0 |
|
|
|
|
, создать файл с массивом |
||||||
|
|
|
|
0, , 0,5Tк, 0,5T, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отсчетных значений, построи ь график функции |
|
t , сравнить его с графи- |
|||||||||||||
ком по п. 2.3.1.1. |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
и |
|
сче ных значений, с помощью подсистемы ге- |
||||||||||
2.3.1.3 Используя файл |
|
||||||||||||||
нерирования |
программно-аппаратнтго комплекса сформировать в реальном |
||||||||||||||
|
|
л |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
на отрезке |
||
масштабе времени пер од ческий сигнал 0 |
( 0 |
t 0T t |
|
||||||||||||
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5T,0,5T ), подать его на входы осциллографа и анализатора спектра. С по- |
мощью осциллографа измерить амплитуду и длительность 0.0 (на нулевом уровне) основного лепестка, количество, амплитуды и длительность боковых лепестков с гнала 0 t , укладывающихся на периоде T повторения. Проана-
лизировать |
зарисовать структуру амплитудного спектра, наблюдаемого на эк- |
и |
|
ране анализатора спектра. |
|
2.3.1.4 Повторить п. 2.3.1.3 для значений параметра T , равных 1, 2, 4 и 8 |
|
Б |
|
мс. Объяснить наблюдаемые изменения амплитудного спектра. |
|
2.3.2 |
Математическое и физическое моделирование финитных |
f1T (t) f4T (t) и периодических f1(t) f4(t) сигналов
12
2.3.2.1 Проанализировать математическую модель финитного сигнала
f |
f t , 0,T |
|
, где |
f t – модель из таблицы 1.1, представить его |
||
t |
1 |
|
|
|||
1T |
|
0, ,0 |
, T, |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
графически.
2.3.2.2 В системе MathCAD запрограммировать модель f1T t , при значениях параметров выполняемого варианта (см. табл. 1.2) на отрезке времениT,2T с шагом t 0,001T рассчитать отсчетные значения функции f1T t , построить ее график, сравнить его с графическим представлением по п. 2.3.2.1.
|
m |
|
2.3.2.3 |
Построить модель аппроксимирующей (сигнал |
Р |
функции |
||||
f |
|
t в форме конечной суммы ряда (2.2) Котельникова, запрограммировать ее |
||||||||
1T |
|
|
|
|
|
|
И |
|
||
в |
системе MathCAD. При |
|
|
|||||||
значениях параметров выполняемого варианта и |
||||||||||
f |
|
5 T |
на отрезке T,2T с шагом t 0,001T рассчитать отсчетные значения |
|||||||
функции |
f |
|
|
|
У |
|
|
|||
t , построить ее график, сравнить с графиком по п. 2.3.2.2. |
||||||||||
|
|
|
|
1T |
|
|
|
|
fm, равных 10 T , |
|
|
|
|
2.3.2.4 Повторить п. 2.3.2.3 при значениях параметра |
|||||||
20 T, |
40 T |
|
|
Б |
|
|
|
|||
и 80 T . Оценить степень приближения аппроксимирующей функ- |
||||||||||
ции f |
t к |
исходной f |
t (на отрезках 0, Г, T,0 , ,2T ) в зависимости от |
|||||||
|
|
1T |
|
|
1T |
|
|
|
с шагом |
|
ниях |
параметров |
выполня мого варианта на отрезке T,2T |
||||||||
выбора параметра |
fm. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2.3.2.5 |
Проанализирвать матем тическую модель f1 t периодического |
сигнала (см. табл. 1.1), запрограммиров ть ее в системе MathCAD. При значе- |
||||
ровать модель f1 t |
|
тные |
||
всистеме |
MathCAD, при значениях параметров выпол- |
|||
t 0,001T рассчитать отсч |
|
кзначения функции f1 t , построить ее график. |
||
2.3.2.6 Построи ь модель |
f t в форме конечной суммы ряда (2.2) Ко- |
|||
|
оm |
|
1 |
|
тельникова, аппр ксимирующей сигнал f1 t на отрезке T,2T . Запрограмми- |
||||
отсчетные значенияфункции f1 t , построить ее график, сравнить с графиком |
||||
л |
f |
5 T |
на отрезке T,2T с шагом t 0,001T рассчитать |
|
няемого вар анта |
||||
б |
|
|
|
|
по п. 2.3.2.5. Создать файл с массивом отсчетных значений, соответствующих |
||||
и |
|
|
|
|
отрезку времени 0,T . |
|
|
2.3.2.7 Используя файл отсчетных значений, с помощью подсистемы генер рования сформировать в реальном масштабе времени периодический сиг-
нал f1 t , подать его на входы осциллографа и анализатора спектра. С помо-
щью осциллографа измерить амплитуду A, длительность |
0.5 |
и период T по- |
Б |
|
вторения импульсов. Проанализировать и зарисовать структуру амплитудного спектра, воспроизводимого на экране анализатора спектра.
2.3.2.8 Повторить п.2.3.2.6 и 2.3.2.7 при значениях параметра fm, равных 10 T , 20 T, 40 T и 80 T . Оценить степень отличия по форме наблюдаемого
13
f1 t и исходного f1 t сигналов (на отрезках 0, , ,T ) в зависимости от выбора параметра fm.
2.3.2.9Повторить п. 2.3.2.1 – 2.3.2.8 применительно к сигналам f2 t и f3 t (см. табл. 1.1, 1.2).
2.3.2.10Повторить п. 2.3.2.1 – 2.3.2.8 применительно к сигналу f4 t при начальной фазе 0 (см. табл. 1.1, 1.2), используя в качестве fm значения
3kf11,5kf11,7kf11,10kf11 и 20kf11. |
|
|
|
|
Р |
||||||
2.4 Содержание отчета |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
И |
|
|||||||
1. |
Цель работы. |
|
|
t , |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
Математические модели и графики исходных |
f (t) f |
4T |
(t), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
У |
|
|
||
f1(t) f4(t) |
и |
аппроксимирующих (при различных значениях |
|
fm) |
|||||||
|
|
|
|
(t) сигналов. |
Г |
|
|
|
|
||
f1T (t) f4T |
(t), f1 |
(t) f4 |
Б |
|
|
|
|
|
|||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Результаты измерений и структуры амплитудных спектров по п. 2.3.1.3, |
|||||||||||
2.3.1.4, 2.3.2.7 – 2.3.2.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Выводы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5 Контрольные вопросы и задания |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Условие ортогональности бесконечной системы комплекснозначных |
||||||||||
функций. |
|
|
неполных |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Условие минимальности ср дн йкквадратической погнешности пред- |
сталения сигнала конечной суммой обобщ нного ряда Фурье.
иортогональных систем.
4.Сформулировать рекполныхмендации по выбору подходящей ортогональной системы функций. и
5.Объяснить, с как й целью при представлении сигнала рядом (2.2) Котельникова вводитсялогран чен е по спектру верхней граничной частотой fm.
6.Проверитьбразмерности энергии (2.3) и среденй мощности (2.4). Объяснить расхождения.
7.Предложите наиболее эффективный измерительный сигнал для измерения и контроля частотно-временных свойств канала передачи с верхней граничнойБчастотой fm = 6 МГц.
8.Сформулировать принципиальные отличия амплитудных спектров сиг--т
налов 0T t и 0 t в зависимости от изменения параметра T .
9. Дать |
сравнительную оценку точности представления сигналов |
f1T (t) f4T (t) |
конечной суммой ряда Котельникова. Аргументацию подтвер- |
дить результатами математического моделирования.
14
10. Дать сравнительную оценку точности представления сигналов f1(t) f4(t)рядом Котельникова. Аргументацию подтвердить результатами математического и физического моделирования.
11. Какой из сигналов f1T (t) f4T (t) и f1(t) f4(t) и при каких условиях может быть точно представлен рядом (2.2) Котельникова. Аргументацию подтвердить результатами математического и физического моделирования.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
Лабораторная работа № 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ СИСТЕМ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ НА ОСНОВЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
3.1 Цель работы
Изучение основных закономерностей моделирования телекоммуникационных сигналов на основе преобразования Фурье, особенностей представления им непериодических и периодических сигналов.
3.2 Краткие теоретические сведения |
Р |
|
И |
Помимо описания сигналов во временной области (ортогональными сис- |
темами базовых функций), при моделирования СТК также широко применяют их представление в частотной области и на комплексной плоскости с помощью преобразований соответственно Фурье и Лапласа. Большинство современных программ математического моделирования линейных свойств сигналов реали-
зуют классическое (непрерывное) преобразование Фурье или его последующее |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
развитие в вариантах дискретного и быстрого преобразований. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
Прямое преобразование Фурье ставит во взаимно однозначное соответст- |
|||||||||||
вие f(t ) S( ) исходному сигналу f(t ) |
– функции времени – спектральную |
||||||||||
плотность (спектральную характеристику) |
|
Б |
|
|
|||||||
а |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
S( ) |
f(t )e j tdt, |
|
|
(3.1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
которая в общем случае является компл кснозначной функцией частоты . |
|||||||||||
Обратный переход от спектральной плоености S( ) к сигналу f(t ) |
выполня- |
||||||||||
ется с помощью обратного пре браз вания Фурье |
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
j t |
|
|
|
|
|
|
|
f(t ) |
|
|
S(т)e |
d . |
|
|
(3.2) |
|||
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
||
Известно [1, 3]: д я представления интегралом (3.1) Фурье функция (сиг- |
|||||||||||
нал) f(t ) |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
должна удов етворять на бесконечном интервале , тем же |
|||||||||||
условиям |
ли а солютной интегрируемости, что и в случае ряда Фурье. |
б Важно отметДирихлеть, что условию абсолютной интегрируемости отвечают все не-
периодическБе ф нитные сигналы, а также непериодические бесконечно протяженные, описываемые функциями f(t ) с быстро спадающими “хвостами”.
Аналогично спектральным коэффициентам Cn ряда Фурье (см. (1.1)) спектральную плотность S( ) представляют в виде
S( ) |
|
f(t )cos tdt j f(t )sin tdt A( ) jB( ) |
|
S( ) |
|
ej ( ), (3.3) |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
; ( ) arctg |
B( ) |
. |
||||
где |
|
S( ) |
|
|
A2( ) B2( ) |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A( ) |
|||||
|
|
|
|
|
16
Модуль S( ) (аргумент ( )) спектральной плотности является четной
(нечетной) функциями частоты и описывает непрерывный математический амплитудный (фазовый) спектр непериодического сигнала.
Основываясь на соотношении (3.3), обратное преобразование (3.2) представляют также в форме
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
f(t ) |
|
|
S( ) |
|
ej ( )ej td |
|
|
S( ) |
|
cos( t ( ))d . (3.4) |
|||
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Она широко применяется в практике моделирования СТК, особенно при использовании численных методов.
Сравнивая математические модели спектральной плотности S( ) (3.1) и |
||
спектральных коэффициентов Cn (1.1) ряда Фурье, можно установить: |
|
|
S(n 1 )/T Cn . |
Р |
(3.5) |
Это значит, что непрерывный спектр непериодического сигнала и огибающая |
||||||||||||||||||||||||||||||||
дискретного спектра соответствующего ему периодическогоИсигнала совпадают |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
по форме. Соотношение (3.5) позволяет, зная выражение для спектральных ко- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
эффициентов, сразу перейти к выражению для спектральной плотности и, на- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
оборот, от спектральной плотности к спектральнымГкоэффициентам. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
В практике моделирования СТК широко применяют следующие свойства |
|||||||||||||||||||||||||||||
преобразования Фурье [1]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1.Свойство |
|
|
линейности. |
|
Если |
fi(t ) Si( ) (i |
1, N |
), |
то |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
N |
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
i |
iкi |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f |
(t) |
|
|
(t) S( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
A f |
|
|
|
|
A S ( ) |
( A – постоянные коэффициенты), т.е. ли- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
нейной суперпозиции сигналовесоответствует линейная суперпозиция их спек- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тральных плотн стей. |
|
|
|
|
|
|
|
по |
|
времени. |
Если |
f1(t ) S1( ), |
то |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2.Свойство |
|
|
сдвига |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
f |
|
(t ) f |
|
(t t |
|
) S |
|
( ) S ( )e j t0 , |
т.е. |
запаздывающий (опережающий) |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
л |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сдвиг по времени |
|
сходного сигнала f1(t ) изменяет только фазовый спектр. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f1(t ) S1( ), |
то |
||||||
|
|
|
3.Свойство изменения масштаба по времени. Если |
|||||||||||||||||||||||||||||
тие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f |
|
(t ) f |
|
(nt ) S |
|
( ) |
|
|
S |
|
|
, |
т.е. растяжению (n 1) или сжатию (n 1) |
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
сходного сигнала по времени в n раз соответствует такое же по величине сжа- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(растяжение) его спектральной плотности по частоте при одновременном |
|||||||||||||||||||||||||||||
увеличении (уменьшении) амплитуд спектральных компонент в n раз. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Б |
4.Свойство |
|
смещения |
|
спектра |
сигнала. Если |
|
f1(t ) S1( ), |
то |
|||||||||||||||||||||||
f2 t f1 t cos 0t 0 S2 |
1 |
e j 0 S1 0 e j 0 S1 0 , |
т.е. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
умножение исходного сигнала |
f1 t на гармоническое колебание с частотой 0 |
приводит к расщеплению его спектра на две составляющие, смещаемые по частоте на 0 .
17
5.Свойство дифференцирования сигнала. Если f1(t ) S1( ), то
j
f2(t ) f1' (t ) S2( ) j S1( ) S1( )e 2 , т.е. дифференцирование приводит к относительному уменьшению (увеличению) амплитуд низкочастотных (высокочастотных) спектральных компонент исходного сигнала и дополни-
тельному (опережающему) приращению их начальных фаз на угол 0 |
|
|
. |
|
|||
|
2 |
|
|
6.Свойство интегрирования сигнала. Если f1(t ) S1( ), то |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
S ( ) j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
f2(t ) f1(t )dt S2( ) |
|
|
S1( ) |
|
1 |
|
e |
|
2 , т.е. интегрирование приво- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
дит к относительному увеличению (уменьшению) амплитуд низкочастотных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(высокочастотных) спектральных компонент исходного сигнала и дополниР- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тельному (запаздывающему) |
приращению их начальных фаз на угол |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойство интегрирования применимо к сигналам, для которых |
lim S1 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
7.Свойство произведения сигналов. Если |
f1(t ) S1( )и |
f2(t ) S2( ), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
произведение |
|
|
|
f(t ) f1(t ) f |
2 |
(t ) S( )Б |
S1( x)S2( x)dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
спек |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
S |
( x)S |
|
( x)dx, т.е. произв д нию исходныха |
сигналов соответствует |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
свертка их спектральных плотностей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S ( ) f (t ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
8.Свойство |
|
|
произведения |
|
|
|
|
ров. |
|
|
Если |
|
и |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
S2( ) f2(t ), |
|
|
то |
|
|
S( ) S1( ) S2( ) f(t ) f1( )f2(t )d |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f1(t ) f2( )d , |
т.е. про зведению спектральных плотностей исходных сиг- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
налов соответствует свертка этих сигналов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
взаимозаменяемости |
времени |
и |
частоты. |
|
|
Если |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9.Свойство |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f(t ) |
S( ),бто S(t ) F( ) 2 f( ), |
т.е. сигналу S(t ), повторяющему по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
форме спектральную плотность |
S( ) исходного сигнала |
f(t ), соответствует |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
спектральная плотность F( ), повторяющая по форме исходный сигнал. Свой- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ство справедливо для сигнала, описываемого четной функцией |
f(t ). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.Равенство |
Парсеваля. |
|
Если |
|
|
f(t ) S( ), |
то |
Э f 2(t )dt |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 d |
|
1 |
|
|
|
2 d . Равенство Парсеваля, вытекающее из свойст- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
S( ) |
|
|
|
|
S( ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
ва произведения сигналов, определяет энергию непериодического сигнала f(t )
через спектральную плотность S( )2 энерги. Оно широко применяется в СТК
при моделировании энергетических характеристик сигналов, включая определение уровней внеполосных излучений.
В теории математического моделирования СТК особое место принадлежит -функции
|
|
|
|
(t t |
|
|
|
|
|
|
, t t0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.6) |
||||||
|
|
|
|
0 |
) |
|
t |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
которая [1, 3, 6]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
существует в единственной точке t t0 (при t0 |
0 (t t0 ) (t )); |
|
|||||||||||||||||||||||||||
имеет размерность (t t0) c 1 и площадь, равную единице; |
|
||||||||||||||||||||||||||||
обладает фильтрующим (стробирующим) свойством; |
Р |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
имеет спектральную плотность S |
( ) e |
j t0 |
|
и поэтому обладает беско- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
нечно большой энергией. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|||||||
Применяя к спектральной плотности S ( |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
) |
обратное преобразование |
||||||||||||||||||||||||||||
(3.2) Фурье, получаем определение функции (tГt ) через частотную область: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 )dБ1 |
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(t t |
0 |
) |
|
|
e j (t t |
|
|
e j (t t0 )d . |
(3.7) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Формально заменяя в выраж нииа(3.7) время t(t0 ) на частоту ( 0 ), а |
|||||||||||||||||||||||||||||
частоту ( |
0 |
) на время t(t |
0 |
|
), приходим к определению |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
( )t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
( |
|
е |
|
e |
|
0 |
dt |
|
|
|
|
|
|
(3.8) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
-функции на |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
част , которая также широко применяется при моделирова- |
|||||||||||||||||||||||||||||
нии СТК. |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Использованое -функции позволяет распространить обычные правила |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
оси |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
дифференцирован я также на кусочно-непрерывные функции с разрывами пер- |
вого рода, часто применяемые для описания сигналов. Можно показать [1], что
|
|
f (t) |
в точке t t разрыва первого рода имеет производную |
|
||
|
б |
lim |
f '(t0) (A2 A1) (t t0), |
(3.9) |
||
|
где A |
f (t); A |
lim f (t). |
|
||
функция |
1 |
t t0 0 |
2 |
t t0 0 |
|
|
Б |
На примерах совместного применения свойств преобразования Фурье и |
|||||
|
|
|
|
|
|
-функции при моделировании сигналов, описываемых кусочнонепрерывными функциями и их производными, можно установить общую закономерность [1, 3]: сигнал, представляемый функцией f(t ), в n-й производ-
ной f (n )(t ) которой возникает -функция, обладает амплитудным спектром,
убывающим на высоких частотах по закону 1 n . Если одновременно с убыва-
19
нием спектра наблюдается также его пульсация, то это свидетельствует о наличии в сигнале (его производных) нескольких, по крайней мере двух -функций.
С помощью -функции оказывается возможным преобразовывать по Фурье периодические сигналы, не удовлетворяющие условию абсолютной интегрируемости. С учетом этого периодический сигнал f(t ), представляемый тригонометрическим рядом Фурье в форме (1.3), имеет спектральную плотность
|
|
|
|
j n ( n 1) |
|
|
||
S( ) 2 A0 ( ) An e j n ( n 1) e |
(3.10) |
|||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
в виде множества -функций на частотах n 1 n , |
. |
|
Р |
|||||
3.3 Порядок выполнения работы |
|
|
|
|||||
3.3.1 Моделирование базового сигнала 0(t) |
ряда Котельникова |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
3.3.1.1 Изучить необходимые теоретические сведения. Проанализировать |
||||||||
математическую модель 0(t) n t n 0 (см. формулу (2.1)) исследуемогоУ |
бес- |
|||||||
конечно протяженного непериодического сигнала, представитьГего графически. |
||||||||
3.3.1.2 В системе MathCAD запрограммировать модель 0(t), на отрезке |
||||||||
T |
T |
|
Б |
4 |
Гц с шагом |
|||
времени |
2 |
, 2 при значениях параметров T = 0,5 мс и fm= 10 |
||||||
t 0,001T |
рассчитать отсчетные значения фун ции 0(t), |
построить ее гра- |
||||||
|
|
|
а |
|
|
|
||
фик, сравнить последний с графиком по п. 3.3.1.1. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
3.3.1.3 В системе MathCAD запрограммировать модель (3.1), взять вре- |
||||||||
|
|
T |
T |
|
|
|
|
|
менной отрезок |
2, 2 и шаг t 0,001еT интегрирования, на частотном от- |
резке F,F при значениях параме ров T = 0,5 мс, |
fm= 104 Гц и F = 105 Гц с |
||||||
шагом |
f F/1000 рассч тать тсчетные значения |
спектральной плотности |
|||||
S , |
создать файл с массвомотсчетных значений, построить график функ- |
||||||
|
|
|
|
и |
|
||
ции |
|
S |
|
. |
|
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
3.3.1.4 В с |
|
||||
|
|
стеме MathCAD запрограммировать модель (3.2), взять час- |
ров T и F по п. 3.3.1.3, с шагом t 0,001T рассчитать отсчетные значения ап-
тотный отрезок F,F и шаг f F/1000 интегрирования, на временном отрез- |
|||||
|
|
|
, |
б |
|
T |
T |
|
|||
используя файл отсчетных значений S и значения парамет- |
|||||
ке |
2 |
, |
|||
|
|
и2 |
|||
|
Б |
|
проксимирующей функции 0 t , построить ее график.
3.3.1.5 Повторить п. 3.3.1.3 и 3.3.1.4 для значений параметра T , равных 1, 2, 4 и 8 мс. Сравнить получаемые графики функций S и 0 t с исходными графиками S и 0(t) (S – спектральная плотность базового сигнала
20