Пименов Ю.В., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика, 2000

В случае тонких проводов (а <<h) справедливо приближенное равенство

Поле точечного заряда, расположенного над идеально проводящей плоскостью. Метод зеркальных отображений.

Рассмотрим еще раз поле двух разноименных зарядов +q и -q, расположенных на расстоянии 2h друг от друга. Создаваемый ими потенциал выражается формулой (3.46), если в последней положить l = 2h. Очевидно, плоскость А-В, расположенная симметрично относительно зарядов +q и -q (рис. 3.14), является эквипотенциальной поверхностью с нулевым потенциалом. На основании теоремы единственности можно утверждать, что поле над этой плоскостью не изменится, если ее заменить металлической плоскостью или заполнить нижнее (см. рис.3.14) полупространство проводящей средой. Иными словами, задача определения поля точечного заряда, расположенного над проводящей плоскостью, эквивалентна задаче определения поля, создаваемого в верхнем полупространстве двумя зарядами: заданным и некоторым дополнительным (фиктивным) зарядом противоположного знака, являющегося зеркальным отображением первого. При вычислении поля двух зарядов нужно считать, что никакой металлической плоскости нет и оба заряда расположены в безграничной среде, такой же, как среда, заполняющая верхнее полупространство.

Пусть заряд q расположен на высоте h над металлической плоскостью А-В (см. рис. 3.14). Найдем величину и распределение заряда, индуцированного на плоскости А-В. Введем цилиндрическую систему координат R, φ, z, ось Z которой проходит через заряды +q и -q, а начало координат находится на плоскости А-В. В этой системе координат потенциал и в области z ≥ 0 выражается формулой (3.46), в которой нужно считать,

что. В области z< 0 потенциал и = 0. Из граничного условия (3.18) получаем, что плотность поверхностных зарядов, наведенных на плоскости z = 0, определяется выражением

Интегрируя (3.60) по всей плоскости, получаем, что полный заряд, наведенный на плоскости, равен -q. Таким образом, введение фиктивного сосредоточенного заряда эквивалентно учету всех зарядов, наведенных на плоскости z = 0.

Отметим, что полученные выше формулы для поля электростатического диполя можно использовать для вычисления поля (вектора Е)

91

точечного заряда, расположенного над проводящей плоскостью, в области z ≥ 0 (в верхнем полупространстве), если в них положить l = 2Л.

Метод замены проводящей, поверхности фиктивным сосредоточенным зарядом получил название метода зеркальных отображений.

Очевидно, в силу принципа суперпозиции метод зеркальных отображений можно обобщить на случай произвольной системы зарядов, расположенных над проводящей плоскостью. Таким образом, если над бесконечной проводящей плоскостью заряды распределены по закону р = f (х, у, z) (рис. 3.15, а), то создаваемый ими потенциал (а следовательно, и напряженность электрического поля) в верхнем полупространстве будет равен потенциалу (напряженности электрического поля), создаваемому этими зарядами и системой зарядов, являющихся их зеркальным отображением (рис. 3.15, б).

Поле точечного заряда, расположенного в уголковой области. Пусть точечный заряд q

расположен в уголковой области V, представляющей собой двугранный угол с проводящими стенками. Если соответствующий линейный угол (рис. 3.16) равен α = π/п где п - целое число, то для определения поля в этой области также можно использовать метод зеркальных отображений. Однако в этом случае нужно ввести уже не один фиктивный заряд, а 2n - 1 фиктивных зарядов. В качестве примера на рис.3.17 показана система зарядов для случая а =π /2, а на рис. 3.18система зарядов для случая α= π/3.

Поле образованной таким образом системы зарядов в рассматриваемой уголковой области удовлетворяет всем необходимым требованиям (потенциал на стенках двугранного угла и в бесконечно удаленных точках равен нулю) и, следовательно, является решением исходной задачи.

Если угол между проводящими плоскостями не равен целой части от л, то метод зеркальных отображений требует введения бесчисленного множества фиктивных зарядов.

Задача Дирихле для прямоугольной области (метод Фурье). Найдем распределение электростатического потенциала и внутри бесконечно длинной металлической коробки прямоугольного сечения, боковые и нижняя стенки которой заземлены (и = 0), а потенциал верхней равен Vo = const (верхняя стенка изолирована от боковых). Ширина нижней и верхней стенок равна а, боковых - b. Введем декартову систему координат х, у, z, как показано на рис. 3.19. Пвперечное сечение коробки и функция и не зависят от переменной z. Потенциал и - и(х, у) должен удовлетворять уравнению Лапласа (3.8)

и следующим краевым условиям:

92

Условия, определяющие значения искомой функции на границе области, называют краевыми условиями первого рода. Условия, определяющие значения производной искомой функции по нормали к границе области, называют краевыми условиями второго рода. Задачу определения функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа и краевым условиям первого рода, называют задачей Дирихле, а аналогичную задачу с граничными условиями второго рода - задачей Неймана.

Будем искать решение уравнения (3.61) методом разделения переменных. Представим и(х, у) в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая - только от у.

Подставляя (3.66) в (3.61) и деля результат на произведение X(x)Y(y), получаем

Левая часть равенства (3.67) зависит только от х, правая - только от у. Переменные х и у являются независимыми, и соотношение (3.67) представляет собой равенство двух независимых функций, что возможно, только если они равны

одной и той же постоянной. Обозначая эту постоянную через v2, приходим к двум дифференциальным уравнениям: X” + v2X=0 и У”-v2Y=0, решая которые получаем Х(х) = A sin vx + В cos vx, У(у) = = С sh vy + D ch vy. Из краевых условий (3.62) и (3.64) находим, что В = D = 0, а из (3.63) вытекает соотношение A sin va = 0, откуда следует, что v = nπ/a, где n =1,2,.... Таким образом, решение уравнения (3.61) можно представить в виде

где Мn= А·В - некоторые, пока неизвестные постоянные. Выражение (3.68) удовлетворяет уравнению (3.61) и трем краевым условиям (3.62)-(3.64). Чтобы удовлетворить последнему краевому условию (3.65), воспользуемся принципом суперпозиции и представим искомое решение в виде суммы всех возможных частных решений (3.68):

Подставим (3.69) в (3.65) и разложим постоянную Vo в ряд Фурье по функциям

Приравнивая коэффициенты при одинаковых п, приходим к соотношению

93

с

учетом

которого

решение

рассматриваемой

задачи

принимает

вид

Метод сеток. Как уже отмечалось (см. 2.6), для решения краевых задач электродинамики, и в частности электростатики, широко используют численные методы. В случае внутренних задач часто применяют так называемый метод сеток. Изложим его основы на примере уже решенной методом Фурье двумерной задачи Дирихле для прямоугольной области, показанной на рис. 3.19. Задача состоит в определении электростатического потенциала и = и(х,у), удовлетворяющего при 0≤х≤а и 0≤у≤b уравнению Лапласа (3.61) и краевым условиям (3.62)-(3.65).

Предположим для простоты, что стороны а и b соизмеримы, т.е. рассматриваемая область может быть покрыта сеткой с квадратными ячейками (рис. 3.20), стороны которых x и

y

Уравнение (3.71) справедливо для каждого узла сетки. Для узлов, расположенных влизи границы рассматриваемой области, некоторые из функций, входящих в (3.71), являются известными. Совокупность уравнений вида (3.71), записанных для всех внутренних узлов сетки, образует систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно значений потенциала в этих узлах. Решив СЛАУ, найдем искомые значения потенциала во всех узловых точках.

94

Для решения СЛАУ, полученной на основе описанной конечно-разностной аппроксимации уравнения Лапласа, обычно применяют метод итераций. Уравнение (3.71) можно переписать в виде

из чего следует, что значение искомой функции в узле сетки (хj-, yj) равно среднему арифметическому значению функции и(х, у) в четырех соседних узлах. Поэтому можно использовать следующую схему построения приближенного решения. Во всех внутренних узлах сетки задают произвольные значения функции и(х, у), а в узлах, расположенных на границе области, - значения, соответствующие краевым условиям задачи (нулевое приближение). Затем по формуле (3.72) находят новые значения функции и(х, у) во всех внутренних узлах (первое приближение). Используя первое приближение, опять рассчитывают значения uij по формуле (3.72), т.е. находят второе приближение, и т.д. Процесс заканчивают, когда отличие (v + 1)-го приближения от v-гo не превышает заданной величины. Доказано, что итерационный процесс сходится при любых начальных значениях uij .

Применение метода сеток для решения более общих краевых задач электростатики, в частности для случаев трехмерной области, неравномерной сетки, криволинейной границы области и др., описано в [16] и [30]. Доказано, что при уменьшении размеров ячеек (при т→∞ и n→∞) решение, полученное методом сеток, приближается к точному. Погрешность решения уравнения Лапласа методом сеток с шагом сетки имеет порядок

2, т.е. погрешность δ uij в любом внуреннем узле может быть представлена в виде g(xi yj) 2, где функция g не зависит от . Если известны приближенные численные решения конкретной электростатической задачи uij(2Δ) и uij (Δ)полученные методом сеток с шагом 2Δ и соответственно, то погрешность решения с шагом может быть оценена по

формуле .

Интегральные уравнения задач электростатики. Краевые задачи электростатики могут быть также сведены к интегральным уравнениям относительно плотности зарядов, наведенных на проводниках. Пусть, например, требуется найти потенциал или электростатическое поле вне проводящего объекта, потенциал которого равен Uo, а поверхность - S. Потенциал обусловлен поверхностными электрическими зарядами, распределенными по S с плотностью ps(M), MЄ S, и определяется формулой (3.10). Применяя (3.10) к точкам, лежащим на поверхности S, приходим к соотношению

где R(M, Mo) - расстояние от точки истока М Є S до точки наблюдения Мо Є S. Соотношение (3.73) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма первого рода относительно функции ps(M). В некоторых случаях (например, если S- полуплоскость; полоса, бесконечно тонкий диск, плоскость с круглым отверстием и некоторые другие поверхности) уравнение (3.73) может быть решено аналитически, однако в большинстве случаев его решение может быть найдено только численными методами. После определения функции ps(M) электростатический потенциал может быть вычислен по формуле (3.10) в любой точке пространства. Для вычисления поля следует воспользоваться формулой (3.2).

3.6. КОНДЕНСАТОРЫ 3.6.1. Емкость конденсатора

Конденсатором в электростатике называют систему двух проводников, изолированных от внешнего влияния. Идеальным является конденсатор, в котором один проводник образует

95

замкнутую полость, а второй находится внутри этой полости. Если второму проводнику сообщен заряд Q, то на внутренней поверхности первого проводника возникнет заряд противоположного знака -Q. Абсолютную величину отношения заряда одного из проводников к разности потенциалов между проводниками U 1 –U2 называют емкостью конденсатора.

Рассмотрим конденсаторы простейших типов.

3.6.2. Плоский конденсатор

Две одинаковые проводящие плоские пластины, расположенные параллельно друг другу и имеющие равные по величине и противоположные по знаку заряды, образуют плоский конденсатор (рис. 3.22). Если размеры пластин велики по сравнению с расстоянием между ними, можно пренебречь искажением поля у краев пластин и считать, что оно такое же, как между двумя параллельными противоположно заряженными с плотностями ps= ± Q/(εS), Q > 0, безграничными плоскостями

где S- площадь одной пластины, а n0- единичная нормаль, направленная от положительно заряженной плоскости к отрицательно заряженной. Формула (3.75) легко получается с помощью закона Гаусса.

Разность потенциалов между пластинами (обкладками конденсатора) определяется формулой

Подставляя (3.76) в (3.74), находим емкость плоского конденсатора:

C = εS/d. (3.77)

Если размеры пластин нельзя считать большими по сравнению с величиной d, то формула (3.77) становится неточной. Действительная емкость несколько больше емкости, рассчитанной по этой формуле.

3.6.3. Цилиндрический конденсатор

Цилиндрический конденсатор состоит из внутреннего провода радиуса а\ и коаксиальной с ним цилиндрической оболочки с внутренним радиусом а2 (рис. 3.23). Пусть заряд внутреннего проводника на единицу длины равен τ > 0. Поле в пространстве между проводниками в цилиндрической системе координат r, φ, z, ось Z которой совпадает с осью внутреннего провода, описывается выражением

96

где rо- координатный орт переменной r. Разность потенциалов между внутренним проводом и оболочкой

Следовательно, емкость на единицу длины бесконечного цилиндрического конденсатора определяется формулой

Формула (3.78) достаточно точна для практических целей только в случае конденсаторов, длина проводников которых велика по сравнению с зазором между ними. В конденсаторах с короткими проводниками поле между ними нельзя считать равномерным, и формула (3.78) дает емкость, меньшую действительной.

97

Глава 4 СТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

4.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ СТАЦИОНАРНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Стационарным называют неизменное во времени электромагнитное поле, создаваемое постоянным током. Оно описывается системой дифференциальных уравнений (1.57). Как уже отмечалось (см. 1.5.2), в системе (1.57) можно выделить две группы уравнений а и б, одна из которых (б) содержит только векторы электрического поля Е и D, а другая (а)- только магнитного поля В и Н. При наличии постоянного тока эти группы уравнений связаны соотношением j = σE. Из уравнений группы б следует, что электрическое поле постоянного тока, как и электростатическое, является потенциальным, а из уравнений группы а следует, что магнитное поле постоянного тока является вихревым.

Уравнения стационарного электромагнитного поля в интегральной форме получаются из уравнений (1.54), если входящие в них величины считать не зависящими от времени. При этом интегральные соотношения, соответствующие уравнениям группы б, совпадают с уравнениями электростатики в интегральной форме (3.1), а интегральные соотношения, соответствующие уравнениям группы а, имеют вид

Полагая в уравнении непрерывности (1.48) дρ/дt=0, получаем, что плотность постоянного тока удовлетворяет условию

divj = O. (4.2)

Следовательно, в стационарном поле линии тока проводимости являются непрерывными. Вытекающая из (1.57) относительная независимость электрических и магнитных

векторов позволяет рассматривать отдельно электрическое и магнитное поля, что существенно упрощает изучение стационарных электромагнитных процессов.

Отметим, что для существования постоянного тока в однородной проводящей среде недостаточно действия одного потенциального электрического поля,

удовлетворяющего соотношениям (3.1). В самом деле, рассмотрим замкнутый проводник длины l и постоянного сечения S, ось которого образует контур Г (рис. 4.1, а). Пусть по этому проводнику течет ток /, равномерно распределенный по сечению. Вектор плотности тока j=l//S, гдеl0-орт касательной к линии тока. Предположим, что в проводнике действует только потенциальное электрическое поле. Тогда во всех точках проводника выполняется соотношение j = σЕ. Из (3.1) следует, что

где R-сопротивление проводника.

Так как величина R=l/(σS) заведомо отлична от нуля, то равенство (4.3) возможно лишь при /=0. Действительно, при перемещении заряда по замкнутому контуру в потенциальном электрическом поле работа не совершается. Поэтому ток, представляю-

98

щий собой упорядоченное движение заряженных частиц, не может расходовать энергию потенциального электрического поля Е Для создания тока в цепи должен действовать источник энергии так называемая сторонняя эдс. На рис. 4.1,6 этот источник условно показан кружком.

Пусть напряженность электрического поля, создаваемого сторонней эдс, равна Е. Закон Ома (1.9) в этом случае записывается в форме

С учетом формулы (4.4) соотношение (4.3) принимает вид

где ест- действующая в цепи сторонняя эдс.

Уравнение (4.5) представляет собой закон Ома для цепи постоянного тока. Сторонние эдс вызываются различными причинами, например они возникают на границе раздела проводящих сред, химически воздействующие друг на друга (гальванические эдс).

4.2. МАГНИТОСТАТИКА

Изучение магнитных явлений начнем с наиболее простого случая. Предположим, что в каждой точке рассматриваемой области плотность тока проводимости равна нулю (j = 0), а сама область не охватывает тока. Кольцевые области, сцепленные с током (рис.4.2), в данном разделе не анализируются.

Уравнения группы а в (1.57), описывающие магнитное поле, в этом случае не зависят от уравнений группы б и переходят в уравнения (1.56). Как уже отмечалось, магнитное поле, определяемое уравнениями (1.56), принято называть магнитостатическим, а соответствующий раздел теории электромагнитного поля- магнитостатикой. Интегральные соотношения магнитостатики получаются из уравнений (4.1), если в последних положить j = 0. При этом второе уравнение остается без изменений, а первое принимает вид

Так как в рассматриваемом случае rot Н = 0, то по аналогии с электростатикой можно ввести в рассмотрение скалярную функцию, иM, называемую магнитостатическим

потенциалом и связанную с вектором Н соотношением

Н =- grad uM. (4.7)

В однородной среде магнитостатический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа

2uM=0 ( 4.8)

Разность значений магнитостатического потенциала между точками N1 и N2 можно по аналогии с (3.6) представить в виде

99

На границе раздела двух сред с разными магнитными проницаемостями (μ1 и μ2) должны выполняться общие граничные условия (см.1.7) для составляющих векторов В и Н:

Таким образом, напряженность магнитостатического поля Н и напряженность электростатического поля Е в области без зарядов удовлетворяют одинаковым уравнениям и однотипным граничным условиям. Следовательно, решение задач магнитостатики можно получить из решений аналогичных задач электростатики простой заменой в них Е на Н и Ε на μ.

4.3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ПОСТОЯННЫЙ ТОК

В тех случаях, когда в рассматриваемой области имеется ток( j ≠0) или область охватывает ток (рис. 4.2), магнитостатический потенциал иM становится неоднозначной функцией. Разность его значений между точками N1 и N2 зависит от контура, по которому выполняется интегрирование в формуле (4.9), а именно при каждом обходе контура вокруг тока / в положительном направлении (так, чтобы контур образовывал с направлением, в котором течет ток, правовинтовую систему) значение интеграла в (4.9) возрастает на величину /.

Таким образом, магнитостатический потенциал иM не позволяет установить связь между стационарным магнитным полем и создающим его постоянным током. Для определения стационарного поля обычно вводят векторный потенциал А (см. 2.6), связанный с векторами В и Н соотношениями

Основные формулы для вектора А, характеризующего стационарное магнитное поле, можно получить непосредственно из формул для электродинамического потенциала А, выведенных в 2.4.1, если в последних считать все величины не зависящими от времени.

Векторный потенциал стационарного поля удовлетворяет уравнению

2А=-μj (4.11)

вытекающему из (2.40), и условию калибровки divA = 0, которое следует из (2.39). Для упрощения записи в правой части равенства (4.11) и в последующих формулах у функции j опущен индекс "ст".

Если токи сосредоточены в ограниченной области V, то решение уравнения (4.11) можно получить из формулы (2.50):

где R-расстояние от элемента dV до точки, в которой вычисляется потенциал.

Если токи распределены по поверхности S с плотностью jS, равенство (4.12) следует заменить выражением

а в случае линейного тока /, протекающего по контуру Г, -формулой

В (4.13) и (4.14) R- расстояние от элементов dS и dl. соответственно до точки, в которой вычисляется потенциал.

100