2.3 Определение скоростей звеньев механизма.

2. Аналитическое определение скоростей звеньев механизма.

Аналитическое определение аналдогов скоростей основано на дифференцировании по общей координате (₁) уравнений (2.1), (2.3), (2.4), (2.5).

После дифференцирования уравнений системы (2.1) получаем:

-l11sin(1) – l2f2sin(2) + l3f3sin(3) = 0

l11cos(1) + l2f2cos(2) - l3f3cos(3) = 0 (2,6)

Где 1 – аналог угловой скорости звена 1 1 = 1, т.к. ω направлена против хода часовой стрелки.

Решая систему относительно неизвестных получим:

3 = (l11(cos(1) – sin(1)ctg(2))) / (l3(cos(3) – sin(3)ctg(2)))

2 = (l33sin(3) – l11sin(1)) / (l2sin(2))

В положении 1

3 = -0,415, 2 = -0,069 заносим эти значения в таблицу 2.4

Дифференцируем уравнение (2.3):

-l33sin(3) + l4f4sin(4) – l5cos(5)= 0

l33cos(3) - l4f4cos(4) –l5sin(5) = 0

Откуда получим:

-l33sin(3-5) + l4f4sin(4-5) – l5cos(5-5)= 0

l33cos(3-5) - l4f4cos(4-5) –l5sin(5-5) = 0 (2.7)

f4 = l33cos(3-5) / (l4cos(4-5))

l5 = -l33sin(3-5) + l4f4sin(4-5)

В расчетном положении:

l5= -0,415 4 = -0,294

Дифференцируем систему (2.4):

S3x = -0.5l33sin(3)

S3y = 0.5l33cos(3) (2.8)

Дифференцируем систему (2.5):

S2x = -l11sin(1) – 0,5l22sin(2)

S2y = l11cos(1) + 0,5l22cos(2) (2.9)

В расчетном положении:

S2x = -0,239, S2y =0,119 S3x = -0,132, S3y =0,055

заносим в таблицу 2.4

В остальных положениях скорости рассчитаны в MathCAD и результаты расчетов сведены в таблицу 2.5.

Результаты расчета скоростей в положении 1.

Таблица 2.4

Величина Метод	2	3	4	l5	S2x^’	S2y^’	S3x^’	S3y^’
Аналитический	-0,069	-0,415	-0,294	-0,415	-0,239	0,119	-0,132	0,055
Графический	-0,0683	-0,415	-0,293	-0,415	-0,239	0,119	-0,132	0,054
отклонение	1,1	0	0,3	0	0,3	0	0	0

Погрешность в пределах инженерной. Расчеты считаем верными.

Результаты расчёта аналогов скоростей

Табл. 2.5.

пол	f1	f2`	f3`	f4`	l5`	s2x`	s2y`	s3x`	s3y`
0	328.8	-0.32	0	0	0	0.065	0.107	0	0
1	358.8	-0.54	-0.429	-0.145	-0.349	-0.142	0.099	-0.145	-0.026
2	28.1	-0.445	-0.613	-0.31	-0.534	-0.268	0.133	-0.209	0.023
3	28.8	-0.438	-0.611	-0.312	-0.534	-0.269	0.134	-0.209	0.025
4	58.8	-0.069	-0.415	-0.294	-0.415	-0.239	0.119	-0.132	0.055
5	88.8	0.195	-0.19	-0.166	-0.221	-0.181	0.037	-0.056	0.034
6	118.8	0.311	-0.024	-0.023	-0.031	-0.116	-0.055	-0.007	0.005
7	124	0.32	0	0	0	-0.104	-0.07	0	-0
8	148.8	0.33	0.108	0.099	0.13	-0.034	-0.127	0.031	-0.02
9	178.8	0.29	0.224	0.18	0.243	0.065	-0.161	0.068	-0.036
10	208.8	0.214	0.319	0.214	0.31	0.163	-0.147	0.103	-0.038
11	238.8	0.123	0.377	0.204	0.335	0.235	-0.086	0.128	-0.021
12	268.8	0.02	0.373	0.157	0.313	0.253	0.002	0.128	0.004
13	298.8	-0.116	0.269	0.087	0.218	0.2	0.079	0.09	0.019
14	328.8	-0.32	0	0	0	0.065	0.107	0	0

2. Графическое определение скоростей (построение планов скоростей).

Решение этой задачи графическим методом основано на построении плана скоростей для первого положения механизма план строим следующим образом.

1. Находим скорость точки А:

Va = 1l1 = 0.251 = 0.25 м/с

2. Из полюса плана скоростей Р – откладываем вектор Ра = 64мм , изображающий скорость точки А. этот вектор _┴ ОА и направлен в сторону вращения звена 1.

3. Подсчитываем масштабный коэффициент скоростей.

_v = Va / pa = 0.25 / 64 = 0.00391 (м/с)/мм

4. Для определения скоростей точки В рассмотрим ее двояко:

Точка В в движении звена 2 :

Vb = Va + Vb/a

Про Vb/a известно, что оно перпендикулярно АВ

Из точки а, плана скоростей, откладываем направление Vb/a

С другой стороны точка b участвует во вращательном движении звена 3 относительно точки О.

Vb = Vb/о

Из полюса плана скоростей – р перпендикулярно ОВ, до пересечения с направлением Vb/a строим направление Vb. Точка пересечения построенных направлений (т. b) определит отрезки ab = 13,7 мм аналог Vb/a = ab_v = 13,70.00391 = 0.05357 м/с, и pb=73мм – аналог Vb/c = pb_v = 730.0039 = 0.285 м/с.

Зная линейные скорости определим угловые:

3 = Vb/c / l3 = 0.285 / 0,688 = 0.415 c^-1

2 = Vb/a / l2 = 0.05357 / 0.781 = 0,0685 c^-1

Полученные значения заносим в табл. 2,4

5. Определяем скорость точки Д.

Vd = Vb + Vd/b

Из точки b плана скоростей откладываем направление Vb/d перпендикулярно ВД.

С другой стороны ползун Д движется по направляющей. Из полюса р, параллельно траектории движения Д до пересечения с линией, определяющей направление Vd/b, строим направление Vd. Точка пересечения – точка d.

Bd = 103,3мм – аналог Vd/b = bd  _v = 103,30.00391 = 0,404 м/с²

4 = Vd/b / l4 = 0.404 / 1,375 = 0,293 м/с

pd = 106мм – аналог Vd = pd  _v = 1060.00391 = 0.414 м/с

Заносим полученные данные в табл 2.4

По теореме подобия найдем координаты скоростей центров масс.

AS2 = 0.5AB; as2 = 6.5 мм

Откладываем точку S₂ на плане скоростей.

рs₂ – аналог скорости центра масс звена 2 в проекциях на оси координат.

ps2x = -61мм, s2x = _vps2x = -0.238 м/с

ps2y = 30,5мм, s2y = _vps2y = 0.119 м/с

Аналогично откладываем точку S₃. ds3 = 0.5bd:

ps3x = -33,7мм, s3x = _vps3x = -0.132 м/с

ps3y = 14мм, s3y = _vps3y = 0,055 м/с

0. Определение ускорений звеньев механизма

6. Аналитический метод

Ускорение звеньев механизма аналитическим методом находим дифференцированием выражений скоростей (2,6), (2,7), (2,8) и (2,9) по обобщенной координате .

Продифференцировав систему (2,6)

-l11sin(1) – l2f2sin(2) + l3f3sin(3) = 0

l11cos(1) + l2f2cos(2) - l3f3cos(3) = 0 получим:

-l1(1)²cos(1)–l22sin(2)–l2(2)²cos(2)+l33sin(3)+l3(3)²cos(3)=0

-l1(1)²sin(1)+l22cos(2)–l2(2)²sin(2)-l33cos(3)+l3(3)²sin(3)=0

Решая, эту систему относительно неизвестных:

3=(kctg(2)+t) / (cos(3)-sin(3)ctg(2))l3

2=(l33sin(3)+k) / (l2sin(2)), где:

k= l1(1)²cos(1)–l2(2)²cos(2)+l3(3)²cos(3)

t= l1(1)²sin(1)–l2(2)²sin(2)+l3(3)²sin(3)

В расчетном положении получим следующие значения:

3=0,475; 2=0,661. Заносим в таблицу 2.6.

Дифференцируем систему (2,7)

-l33sin(3) + l4f4sin(4) – l5cos(5)= 0

l33cos(3) - l4f4cos(4) –l5sin(5) = 0

–l33sin(3)–l3(3)²cos(3)+l44sin(4)+l4(4)²cos(4)-l5cos(5)=0

l33cos(3)–l3(3)²sin(3)-l44cos(4)+l4(4)²sin(4) – l5sin(5)=0

Решаем относительно неизвестных:

4=(l33cos(3-5)–l3(3)²sin(3-5)+l4(4)²sin(4-5)) / l4cos(4-5)

l5=(–l33sin(3)–l3(3)²cos(3)+l44sin(4)+l4(4)²cos(4)) / cos(5)

В расчетном положении:

4 = 0,186; l5 = 0,35

Дифференцируем (2,8), (2,9)

S3x = -0.5l33sin(3)

S3y = 0.5l33cos(3) (2.8)

S3x = -0.5l33sin(3)-0.5l3(3)²cos(3)

S3y = 0.5l33cos(3)-0.5l3(3)²sin(3)

S2x = -l11sin(1) – 0,5l22sin(2)

S2y = l11cos(1) + 0,5l22cos(2) (2.9)

S2x = -l1(1)²cos(1)–0.5l22sin(2)-0.5l2(2)²cos(2)

S2y = -l1(1)²sin(1)+0.5l22cos(2)-0.5l2(2)²sin(2)

В расчетном положении:

S2x = 0,108; S2y =-0.115; S3x = 0,174; S3y = -0,008

Значения ускорений в остальных положениях рассчитаны в MathCAD и занесены в таблицу 2.7.

Таблица 2.6

Величина Метод	2	3	4	L5	S2x	S2y^’	S3x	S3y
Аналитический	0,661	0,475	0,186	0,35	0,108	-0,115	0,174	-0,008
Графический	0,66	0,475	0,185	0,35	0.107	-0.114	0.174	-0.008
отклонение	0,15	0	0,5	0	1,4	1,4	0	0

Погрешность - в пределах допустимой. Расчет считаем верным.