21 Билет.

Механическая форма передачи энергии телу. Работа. Тепловая форма передачи энергии телу. Теплота. Первое начало термодинамики. Равновесно совершемая работа, равновесно подводимая теплота

Механическая форма передачи энергии телу. Работа

Энергия – универсальная мера различных форм движения и взаимодействия.

Работой A, совершаемой постоянной силой называется физическая величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла  между векторами силы  и перемещения  :

A = F·s·

Работа является скалярной величиной. Она может быть как положительной (), так и отрицательной (). При=работа, совершаемая силой, равна нулю. В системе СИ работа измеряется в джоулях (Дж). 1 Дж – работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м ( 1 Дж = 1 Н · м)

Теплота – это энергия, передаваемая одной системой другой, зависящая от разности их температур и не связанная с переносом массы.

Такая передача энергии происходит между телами, имеющими различную температуру и приведенными в соприкосновение, либо между телами, находящимися на расстоянии, посредством электромагнитных волн (тепловое излучение). При этом передача энергии происходит от более нагретых к менее нагретым телам. Количество энергии, переданное таким способом, называют количеством теплоты.

Теплота, как и любая энергия, измеряется в джоулях. Произвольное количество принято обозначать буквой Q (Дж), а удельное (отнесенное к 1 кг) – q (Дж/кг). Подведенная теплота считается положительной, отведенная – отрицательной.

Теплота q, как и работа, является функцией процесса, а не функцией состояния. Она представляется мерой количества переданной энергией, что возможно только при наличии разности температур между телами.

Первое начало термодинамики

Теплота, сообщаемая системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение ею работы против внешних сил:

Q = ΔU + A

Для элементарного процесса:

Q = dU + A,

Где Q – бесконечно малое количество теплоты; dU – бесконечно малое изменение внутренней энергии системы;A – элементарная работа.

Равновесно совершемая работа, равновесно подводимая теплота

Теплота представляет собой форму передачи энергии которая определяется теплопроводностью, конвекцией и излучением. Количество теплоты является функцией процесса. Подводимая теплота считается положительной,  отводимая-отрицательной. dq = Cdt

Равновесное состояние – это когда в любой сколь угодно малой части рабочего тела все параметры постоянны и имеют одинаковое значение. Любые реальные процессы это не равновесные процессы. Для совершенно равновесного процесса необходимо бесконечно большой промежуток времени. Процесс называется стационарным если термодинамические параметры не изменяются с течением времени. На практике большинство процессов можно считать равновесными. Необходимым и достаточным условием равновесия является постоянство каких-либо двух параметров. Равновесные процессы удобно изображать графически, где состояние измеряется точкой, а процесс сплошной линией.

22 Билет

Степени свободы молекул. Закон распределения энергии теплового движения по степеням свободы. Внутренняя энергия идеального газа. Теплоемкость. Удельная, молярная теплоемкость вещества.

Степени свободы молекул

Наименьшее число независимых координат, определяющих положение и конфигурацию молекулы в пространстве, называется числом степеней свободы молекулы

Y

X

Y

X

Y

X

0

0

0

Z

Z

Z

в

а

Модели молекул : а – одноатомной, б – двухатомной, в – трехатомной

Число степеней свободы для одноатомной молекулы – 3 (поступательное движение в направлении трех координатных осей), для двухатомной – 5 (три поступательных и две вращательных), для трехатомной – 6 (три поступательных и три вращательных).

Закон распределения энергии теплового движения по степеням свободы

Закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул: для статистической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная kT, а на каждую колебательную степень свободы – в среднем энергия, равная kT.

Средняя энергия молекулы

˂ε˃ = k T,

Где i – сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы.

Внутренняя энергия идеального газа

Внутренняя энергия –Энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы и энергии взаимодействия этих частиц

U = RT = νRT,

Где M – молярная масса; ν = – количество вещества.

Теплоемкость

Теплоемкость тела – физическая величина, определяемая отношением бесконечно малого количества теплоты , полученного теплом, к соответствующему приращению его температуры:

C =

Удельная теплоемкость вещества – величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1 К:

c =

Единицей удельной теплоемкости является джоуль на килограмм-кельвин [Дж/(кг · К)].

Молярная теплоемкость – величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моль вещества на 1 К:

= ,

где ν = – количество вещества.

Единица молярной теплоемкости – джоуль на моль-кельвин [Дж/(моль · К)].

Билет № 23

Политропный процесс-Процесс, в котором теплоемкость остается постоянной, называется политропным. Исходя из первого начала термодинамики при условии постоянства теплоемкости (С= const), можно вывести уравнение политропы:

Где показатель политропы.

Политропа в координатах р, V— гипербола, занимающая промежуточное положение между изотермой и адиабатой.

График:

Частные случаи Политропного процесса:

1)Изохорный процесс	2)Изотермический процесс	3)Изобарный процесс	4)Адиабатический процесс

Билет №24

ИЗОХОРНЫЙ ПРОЦЕСС () Изохорный процесс в идеальном газе описывается законом Шарля: при постоянном объеме давление данной массы газа прямо пропорционально его термодинамической температуре:или.Работа газа при изохорном процессе равна нулю:. Все полученное тепло идет на изменение внутренней энергии в соответствии с первым началом термодинамики:.

Первое начало термодинамики для этого процесса

Вся теплота сообщаемая газу идет на увеличение ее внутренней энергии

Билет № 25

ИЗОБАРНЫЙ ПРОЦЕСС () Для изобарного процесса в идеальном газе справедлив закон Гей-Люссака: при постоянном давлении объем данной массы газа прямо пропорционален его термодинамической температуре:или.Работа газа при изобарном расширении:. Изменение внутренней энергии:Количество полученного тепла в соответствии с первым началом термодинамики:.

Первое начало термодинамики для этого процесса

Количество теплоты сообщаемое газу расходуется на изменение его внутренней энергии и на совершение работы против внешних сил

Билет № 26

ИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС () Изотермический процесс в идеальном газе подчиняется закону Бойля - Мариотта: для данной массы газа при неизменной температуре произведение значений давления и объема есть величина постоянная:или.

Работа газа при изотермическом расширении:

Первый закон термодинамики для процесса

т.е. все количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на совершение им работы против внешних сил: Следовательно, для того чтобы при расширении газа температура не понижалась, к газу в течение изотермического процесса необходимо подводить количество теплоты, эквивалентное внешней работе расширения

График:

Билет№ 27

Адиабатным называется процесс при котором отсутствует теплообмен между системой и окружающей средой

( Q = 0). К адиабатным процессам можно отнести все быстропротекающие процессы. Адиабатным процессом, например, можно считать процесс распространения звука в среде, так как скорость распространения звуковой волны настолько велика, что обмен энергией между волной и средой произойти не

успевает. Адиабатные процессы применяются в двигателях внутреннего сгорания (расширение и сжатие горючей смеси в цилиндрах), в холодильных установках и т.д. Из первого начала термодинамики для адиабатного процесса следует, что

Работа над внешними силами совершается за счет убыли внутренней энергии

Продифференцировав уравнение состояния для идеального газа р V

Исключим температуру Т:

Разделив переменные и учитывая чтонайдем

Интегрируя это уравнение в пределах от р1 ДО р2 и соответственно от V1 до V2, а затем потенцируя, придем к выражению

Так как состояния 1 и 2 выбраны произвольно, то можно записать

Полученное выражение есть уравнение адиабатного процесса, называемое также уравнением Пуассона.

График:

Билет № 28

Энтропия — в естественных науках мера неупорядоченности системы, состоящей из многих элементов. В частности, в статистической физике — мера вероятности осуществления какого-либо макроскопического состояния.

где — приращение энтропии;— минимальная теплота, подведённая системе;— абсолютная температура процесса.

Энтропия при изохорном процессе:  , т.к.;

Энтропия при изотермическом процессе

т.к. ;

Энтропия при изобарном процессе:  т.к. Р₁ = Р₂;

Изменение энтропии

По аналогии с интегралом работы было получено выражение для подсчета количества теплоты в ТДП. Для этого был введен параметр состояния системы – энтропия.

Энтропия является функцией состояния. Ее изменение в пределах процесса определяется как разность конечного и начального значений. Также как внутренняя энергия она определяется с точностью до произвольной постоянной. В ТДП нужно знать только ее изменение. Энтропия, и ее изменение не поддается физическому определению и измерению, а является расчетной величиной.

Билет№ 29

Второе начало термодинамики можно сформулировать как закон возрастания энтропии замкнутой системы при необратимых процессах: любой необратимый процесс в замкнутой системе происходит так, что энтропия системы при этом возрастает.

Можно дать более краткую формулировку второго начала термодинамики: в процессах, происходящих в замкнутой системе, энтропия не убывает.

Укажем еще две формулировки второго начала термодинамики:

1) по Кельвину: невозможен круговой прогресс, единственным результатом которого является превращение теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу;

2) по Клаузиусу: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому.

Первое и второе начала термодинамики дополняются третьим началом термодинамики, или теоремой Нернстах — Планка: энтропия всех тел в состоянии равновесия стремится к нулю по мере приближения температуры к нулю кельвин:

Третье начало термодинамики позволяет находить абсолютное значение энтропии, что нельзя сделать на основе первого и второго начал термодинамики dS=(∂S/∂x)T =0 => dS=∂Q/T

Билет № 30

Модель тепловых машин

Нагреватель

Q1,∆S Q2,∆S

• Тепловой машиной называется периодический действующий двигатель, совершающий работу за счет получаемого извне тепла. Любая тепловая машина работает по принципу циклического процесса. Но чтобы при этом была совершена полезная работа, возврат должен быть произведен с наименьшими затратами.

• Полезная работа равна разности работ расширения и сжатия.      

• Обязательными частями тепловой машины являются нагреватель (источник энергии), холодильник, рабочее тело (газ, пар).

• От тела температурой Т₁, (нагреватель), за цикл отнимается количество теплоты Q₁, а телу с более низкой температурой Т₂, (холодильнику), за цикл передается количество теплоты Q₂ и совершается работа A.

Ввечный двигатель первого рода —периодически действующий двигатель, который совершал бы большую работу, чем сообщенная ему извне энергия, невозможен (одна из формулировок первого начала термодинамики).

Вечный двигатель второго рода —периодически действующий двигатель,

совершающий работу за счет охлаждения одного источника теплоты, — невозможен. Для иллюстрации этого положения рассмотрим работу теплового двигателя (исторически второе начало термодинамики и возникло из анализа работы тепловых двигателей).

Тепловые двигатели

Принцип действия теплового двигателя приведен на рис. 87. От термостата 1 с более высокой температурой Т1 называемого нагревателем, за цикл отби-

рается количество теплоты Q1 а термостату с более низкой температурой Т2,называемому холодильником, за цикл передается количество теплоты Q2, при этом совершается работа А = Q1 – Q2

Холодильные машины

Процесс, обратный происходящему в тепловом двигателе, используется в

холодильной машине, принцип действия которой представлен на рис. 88.

Системой за цикл от термостата с более низкой температурой T2 отбирается количество теплоты Q2 и отдается за цикл термостату с более высокой температурой Т1 количество теплоты Q1.

Для кругового процесса, согласно (56.1), Q = А, но, по условию,

Q = Q2 — Q1 < О, поэтому А < 0 и Q2 — Q1= —А или Q1= Q2 + А, т.е. количество теплоты Q1 отданное системой источнику теплоты при более высокой температуре Т1 и больше количества теплоты Q2, полученного от источника теплоты при более низкой температуре Т2 на величину работы, совершенной над системой. Следовательно, без совершения работы нельзя отбирать теплоту от менее нагретого тела и отдавать ее более нагретому. Это утверждение есть не что иное, как второе начало термодинамики в формулировке Клаузиуса.

Тепловые насосы

Обратный цикл Карно положен в основу действия тепловых насосов. В отличие от холодильных машин тепловые насосы должны как можно больше тепловой энергии отдавать горячему телу, например системе отопления. Часть этой энергии отбирается от окружающей среды с более низкой температурой, а часть получается за счет механической работы, производимой, например, компрессором.

Эффективность тепловых машин (КПД)

КПД нагревателя

КПД холодильника

Билет №31

Цикл Карно. Рассмотренный Карно тепловой двигатель состоял из нагревателя с температурой Т1 холодильника с температурой Т2 и рабочего тела, т.е. устройства, способного получать тепло и совершать работу (см. рис.*). Под рабочим телом пока будем понимать идеальный газ в цилиндре с поршнем.

Карно рассмотрел цикл из двух изотерм и двух адиабат (рис. **).

При изотермическом расширении 1-2 газ находится в контакте с нагревателем (Т1). Пусть при этом газ получает тепло Q1. На изотерме 3-4 газ отдает тепло Q2 холодильнику Т2.

КПД двигателя

Данный цикл является обратимым (если его проводить бесконечно медленно). Он может быть проведен в обратном направлении, и при этом газ совершает отрицательную работу, нагреватель получает обратно теплоQ1, холодильник отдает газу тепло Q2, которое он получил в прямом цикле.

Именно так в принципе работает любой бытовой холодильник. Дальнейшие рассуждения проще всего провести, изобразив цикл Карно не на диаграмме р, V, а на диаграмме S, Т (энтропия - температура). На этой диа- грамме цикл Карно имеет вид прямоугольника (рис. ***).

Изотермы изображаются прямыми 1-2 и 3-4, адиабаты - прямыми 2-3 и 4-1. Полученное тепло Q₁=T₁(S₂-S₁) и равно площади под отрезком 1-2. Отданное холодильнику тепло Q₂=T₂(S₂-S₁) и равно площади под отрезком4-3. При этом площадь прямоугольника, т.е. равна работе А, совершаемой двигателем за цикл. Подставив выражения Q1 и Q2 в формулу, получим, что КПД цикла Карно:

При выводе этой формулы не делалось никаких предположений о свойствах рабочего вещества и устройстве теплового двигателя. Отсюда следует знаменитая теорема Карно: КПД обратимых двигателей, работающих по циклу Карно, зависит только от температур T₁ и T₂ - нагревателя и холодильника, но не зависит ни от устройства двигателя, ни от рода рабочего вещества, 

КПД нагревателя

КПД холодильника

КПД равновесного цикла

Билет№32

Тепловое движение — процесс хаотичного(беспорядочного)движениячастиц, образующихвещество. Чем выше температура, тем больше скорость движения частиц. Чаще всего рассматривается тепловое движениеатомовимолекул.

Распределение Максвелла

Распределение Максвелла — распределение вероятности, встречающееся вфизикеихимии. Оно лежит в основаниикинетической теории газов, которая объясняет многие фундаментальные свойства газов, включаядавлениеидиффузию. Распределение Максвелла также применимо для электронных процессов переноса и других явлений. Распределение Максвелла применимо к множеству свойств индивидуальных молекул в газе. О нём обычно думают как о распределении энергий молекул в газе, но оно может также применяться к распределению скоростей, импульсов, и модуля импульсов молекул. Также оно может быть выражено как дискретное распределение по множеству дискретных уровней энергии, или как непрерывное распределение по некоторому континууму энергии.

По скоростям

Максвелл в 1859 г. теоретически на основании теории вероятности определил эту функцию. С тех пор она называется функцией распределения молекул по скоростям или законом Максвелла.

Аналитически она выражается формулой

где m – масса молекулы, k – постоянная Больцмана, v- скорость молекул

По абсолютным величинам скоростей

Опыт Ламмерта

На опыте (на рисунке) внутри ящика находится газ, молекулы которого вылетают через отверстие наружу. Диаметр отверстия много меньше длины свободного пробега молекул, молекул в ящике много, так что исчезновение вылетающих не меняет имеющееся распределение по скоростям внутри ящика. Колеса селектора, на поверхности которых находятся выступы, пропускающие или останавливающие летящие молекулы, вращаются с угловой скоростью . Так, преодолев первое колесо, молекула летит расстояниедо второго, которое за это время поворачивается на угол. Выполняется соотношение

Так, регулируя ,и, можно пропускать только молекулы с определенной скоростью. Пролетевшие через второе колесо молекулы оставляют след на пластине. Проведя эксперимент для различных значений, можно получить экспериментальную картину распределения скоростей в исследуемом газе. Так, с помощью этого эксперимента (в числе прочих) было подтверждено распределение Максвелла.

Опыт Штерна

Опыт Штерна — опыт, впервые проведённый немецким физикомОтто Штерномв1920году. Опыт являлся одним из первых практических доказательств состоятельности молекулярно-кинетической теории строения вещества. В нём были непосредственно измерены скорости теплового движения молекул и подтверждено наличиераспределения молекул газов по скоростям.

Для проведения опыта Штерном был подготовлен прибор, состоящий из двух цилиндровразного радиуса, ось которых совпадала и на ней располагаласьплатиноваяпроволока с нанесённым слоемсеребра. В пространстве внутри цилиндров посредством непрерывной откачки воздуха поддерживалось достаточно низкоедавление. При пропусканииэлектрического токачерез проволоку достигаласьтемпература плавлениясеребра, из-за чего серебро начинало испаряться и атомы серебра летели к внутренней поверхности малого цилиндраравномерно и прямолинейносо скоростьюv, определяемой температурой нагрева платиновой проволоки, т. е. температурой плавления серебра. Во внутреннем цилиндре была проделана узкая щель, через которую атомы могли беспрепятственно пролетать далее. Стенки цилиндров специально охлаждались, что способствовало оседанию попадающих на них атомов. В таком состоянии на внутренней поверхности большого цилиндра образовывалась достаточно чёткая узкая полоса серебряного налёта, расположенная прямо напротив щели малого цилиндра. Затем всю систему начинали вращать с некой достаточно большой угловой скоростьюω. При этом полоса налёта смещалась в сторону, противоположную направлению вращения, и теряла чёткость. Измерив смещение s наиболее тёмной части полосы от её положения, когда система покоилась, Штерн определил время полёта, через которое нашёл скорость движения молекул:

,

где s — смещение полосы, l — расстояние между цилиндрами, а u — скорость движения точек внешнего цилиндра.

Найденная таким образом скорость движения атомов серебра совпала со скоростью, рассчитанной по законам молекулярно-кинетической теории, а тот факт, что получившаяся полоска была размытой, свидетельствовал в пользу того, что скорости атомов различны и распределены по некоторому закону — закону распределения Максвелла: атомы, двигавшиеся быстрее, смещались относительно полосы, полученной в состоянии покоя, на меньшие расстояния, чем те, которые двигались медленнее.

Билет№33

Наиболее вероятная скорость

Наиболее вероятная скоростьСкорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью. Зна-

чение наиболее вероятной скоростиможно найти, продифференцировав выражение (44.1) (постоянные множители опускаем) по аргументу v, приравняв результат нулю и используя условие для максимума выражения f(v):

Значения v = 0 и v = ос соответствуют минимумам выражения (44.1), a значение v, при котором выражение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость vB:

Средняя скорость

Подставляя и интегрируя, мы получим

Среднеквадратичная скорость

Подставляя и интегрируя, мы получим

Распределение по энергии

Наконец, используя соотношения и, мы получаем распределение по кинетической энергии:

Равнораспределение

Закон равнораспределения, строгое доказательство которого дается в статистической термодинамике, ограничен областью применимости классического приближения. Как показывается в квантовой статистике, он справедлив для поступательного движения молекул, находящихся при температуре Т, если выполняется неравенство , где h,k – постоянные Планка и Больцмана, m0 – масса молекулы, N и V – число молекул и объем газа соответственно, для вращательного –, где I – момент инерции молекулы, и, наконец, для колебательного движения –, где- частота нормального колебания. Значение температуры, при которой выполняются указанные неравенства, отличаются друг от друга порядком величин. Так, например, для молекул кислорода и азота,,и поэтому при комнатной температуревозбуждены поступательные и вращательные степени свободы и, таким образом, подчиняются закону равнораспределения, тогда как колебательные заморожены и практически не дают никакого вклада в термодинамические характеристики газа.

В сфере своей применимости закон равнораспределения позволяет очень просто по известному числу степеней свободы i молекул находить их полную среднюю энергию теплового движения E:

где

Билет№34

Идеальный газ в силовом поле

При рассмотрении кинетической теории газов и закона распределения Максвелла предполагалось, что на молекулы газа не действуют никакие силы, за исключением ударов молекул. Поэтому, молекулы равномерно распределяются по всему сосуду. В действительности молекулы любого газа всегда находятся в поле тяготения Земли. Вследствие этого, каждая молекула массой m испытывает действие силы тяжести f =mg.

Выделим горизонтальный элемент объема газа высотой dh и площадью основания S (рис. 11.2). Считаем газ однородным и температуру его постоянной. Число молекул в этом объеме равно произведению его объема dV=Sdh на число молекул в единице объема. Полный вес молекул в выделенном элементе равен

Действие веса dF вызывает давление, равное

(11.2)

минус - т.к. при увеличении dh давление уменьшается. Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории

(11.3)

Приравнивая правые части (11.2) и (11.3), получаем

или

Интегрируя это выражение в пределах от до h (соответственно концентрация изменяется отдо n):

получим

Потенцируя полученное выражение, находим

(11.4)

Показатель степени при exp имеет множитель , который определяет приращение потенциальной энергии молекул газа. Если переместить молекулу с уровнядо уровня h, то изменение ее потенциальной энергии будет

Тогда уравнение для концентрации молекул преобразуется к виду

(11.5)

Это уравнение отображает общий закон Больцмана и дает распределение числа частиц в зависимости от их потенциальной энергии. Он применим к любой системе частиц, находящихся в силовом поле, например в электрическом.

Барометрическая формула

Барометрическая формула — зависимость давления или плотности газа от высоты в поле силы тяжести.

Для идеального газа, имеющего постоянную температуруи находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёмаускорение свободного паденияодинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

где — давление газа в слое, расположенном на высоте,— давление на нулевом уровне (),—молярная массагаза,—универсальная газовая постоянная,—абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул(или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где — масса молекулы газа,—постоянная Больцмана.

Барометрическая формула может быть получена из закона распределения молекул идеального газа по скоростям и координатам в потенциальном силовом поле (см.Статистика Максвелла — Больцмана). При этом должны выполняться два условия: постоянство температуры газа и однородность силового поля. Аналогичные условия могут выполняться и для мельчайших твёрдых частичек, взвешенных в жидкости или газе. Основываясь на этом, французский физикЖ. Перренв1908 годуприменил барометрическую формулу к распределению по высоте частичек эмульсии, что позволило ему непосредственно определить значение постоянной Больцмана.

Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина , определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной. Чем выше температура, тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести(при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжестиможет изменяться за счёт двух величин: ускоренияи массы частиц.

Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте.

Реальное распределение давления и плотности воздуха в земной атмосфере не следует барометрической формуле, так как в пределах атмосферы температура и ускорение свободного падения меняются с высотой и географической широтой. Кроме того, атмосферное давление увеличивается с концентрацией в атмосфере паров воды.

Барометрическая формула лежит в основе барометрического нивелирования— метода определения разности высотмежду двумя точками по измеряемому в этих точках давлению (и). Поскольку атмосферное давление зависит от погоды, интервал времени между измерениями должен быть возможно меньшим, а пункты измерения располагаться не слишком далеко друг от друга. Барометрическая формула записывается в этом случае в виде:(в м), где— средняя температура (по шкале Цельсия) слоя воздуха между точками измерения,– температурный коэффициент объёмного расширения воздуха (0,003665). Погрешность при расчётах по этой формуле не превышает 0,1—0,5 % от измеряемой высоты. Более точна формула Лапласа, учитывающая влияние влажности воздуха и изменение ускорения свободного падения.

Распределение Больцмана

 Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P = nkT, падает.

       Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

       Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT, заменим P и P₀ в барометрической формуле (2.4.1) на n и n₀ и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

(2.5.1)

где n₀ и n - число молекул в единичном объёме на высоте h = 0 и h.

       Так как а, то (2.5.1) можно представить в виде

(2.5.2)

       С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T = 0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так какmgh – это потенциальная энергия U, то на разных высотах U = mgh – различна. Следовательно, (2.5.2) характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии:

,

(2.5.3)

– это закон распределения частиц по потенциальным энергиям – распределение Больцмана. Здесь n₀ – число молекул в единице объёма там, где U = 0.

       На рисунке 2.11 показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.

Рис. 2.11

      Из (2.5.3) можно получить, что отношение концентраций молекул в точках с U₁ и i>U₂ равно:

.

(2.5.4)

      Больцман доказал, что соотношение (2.5.3) справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Распределение Максвелла-Больцмана

Полученные в предыдущих параграфах распределения Больцмана (5.23) и Максвелла (5.62)описывают зависимость концентрации молекул от координат и функцию распределения по скоростямсоответственно. При этом распределение Больцмана описывается в пространстве координат,и, а распределение Максвелла в пространстве скоростей,и.

Если ввести 6-мерное пространство, координатами молекулы в котором являются величины ,,,,и, то функция распределения в таком пространстве будет зависеть от этих шести переменных:. Считая пространственные переменные,,и компоненты скорости,,статистически независимыми друг от друга, на основании формулы(5.10) можно записать:

(5.76)

Или

,

(5.77)

где выражение для кинетической энергии имеет вид:

.

(5.78)

Формула (5.77) называется функцией распределения Максвелла-Больцмана. Она может быть использована в случае, когда полная энергия молекулы равна сумме её потенциальной энергийво внешнем силовом поле и кинетической энергииеё поступательного движения:.

При получении закона распределения Максвелла-Больцмана предполагалось, что температура газа не зависит от координаты точки. В частности, температура газа на всех высотах над поверхностью Земли при термодинамическом равновесии должна быть одинакова. С этим утверждением связан парадокс, всесторонне рассмотренный Максвеллом. Дело в том, что при движении вверх молекулы газа должны затрачивать свою кинетическую энергию на преодоление силы тяжести, и поэтому их средняя кинетическая энергия (а следовательно и температура) должна уменьшаться. Но этого не происходит вследствие того, что при этом не все молекулы, из-за недостатка их кинетической энергии, смогут преодолеть силу тяжести. Молекулы, имеющие недостаточную кинетическую энергию, не могут подняться высоко, что приведет, в соответствии с распределением Больцмана, к уменьшению их концентрации с высотой. Поэтому температура газа останется неизменной.

Функция распределения в более общем случае, когда кинетическая энергия зависит только от скорости , а потенциальная - только от радиус-векторамикрочастицы, имеет вид:

,

(5.79)

где постоянная определяется из условия нормировки(5.5):

.

(5.80)

Здесь: - объем, занимаемый системой в координатном пространстве,- соответствующий объем в пространстве скоростей.

Формула (5.79) позволяет описывать равновесное распределение для достаточно произвольной термодинамической системы.

Полученные выше функции распределения описывают случай, когда полная энергия частицы принимает непрерывный ряд значений. При статистическом описании системы, частицы которой могут принимать только некоторый дискретный набор значений энергии, необходимо использовать вместо функции распределения вероятность нахождения частицы в состоянии со значением энергии:. В случае дискретных состояний можно записать следующее выражение для этой вероятности:

,

(5.81)

где величина определяется из условия нормировки(5.2):

.

(5.82)

Если полное число частиц в системе равно , то число частицв состоянии с энергиейопределяется по формуле:

.

(5.83)

Формула (5.81) называется распределением Больцмана для дискретных состояний.

Опыт Перрена

В 1908 г. французский физик Жан Батист Перрен ставит эксперимент, результаты которого должны были стать прямым подтверждением статистической теории броуновского движения Эйнштейна–Смолуховского.

Истинность этой теории Перрен проверил, исследуя распределение частиц эмульсии по высоте. В основу экспериментальной работы Перрена легли результаты исследования Л. Больцмана. В 1876 г. немецкий физик Людвиг Больцман (1844–1906), убежденный сторонник молекулярного учения о строении вещества, открыл закон распределения молекул атмосферного воздуха в поле тяготения (рис. 2). В математической формулировке этот закон имел следующий вид:

или

Рис. 2. Распределение молекул различных газов в воздухе в поле тяжести согласно закону Больцмана

Ж. Б. Перрен применил эту формулу для исследования распределения броуновских частиц с высотой. Он предположил, что систему из броуновских частиц можно рассматривать в качестве модели молекулярно-кинетической структуры газа. Интересны рассуждения ученого по этому поводу: «Молекула сахара, содержащая 45 атомов, и молекула сульфата хинина, содержащая свыше 100 атомов, играют в растворе не большую и не меньшую роль, чем какая-нибудь молекула воды, содержащая всего лишь 3 атома. А раз так, то нельзя ли предположить, что не существует предельного размера частиц, для которых справедливы эти законы? Разве нельзя предположить, что даже видимые частицы и те подчиняются этим законам… Частица, совершающая броуновское движение, играет не большую и не меньшую роль, чем обычная молекула в процессе соударения со стенками сосуда. Короче говоря, разве нельзя предположить, что законы газов применимы также и к эмульсиям, состоящим из видимых частиц? ».

Действительно, например, молекулы кислорода и азота в воздухе, двигаясь в среднем со скоростью примерно 500 м/с, испытывают каждую секунду более миллиарда столкновений. Поэтому путь молекулы, как и броуновской частицы, тоже представляет собой сложную ломаную линию. И если бы можно было зарисовать траекторию движения молекулы, она принципиально ничем бы не отличалась от траектории движения броуновской частицы. Различие состоит лишь в том, что молекулы в газах движутся по прямой, пока не столкнутся с другими молекулами, после чего они резко меняют направление своего движения (см. модель 1). Броуновская же частица, в отличие от молекулы, не совершает свободного движения, а испытывает частые столкновения, в результате которых она беспорядочно смещается то в одну, то в другую сторону(см. модель 2). Интересно представить себе пространственно-временные масштабы этого движения. Как показывают расчеты, для броуновской частицы размером 0,1 мкм одно перемещение происходит за три миллиардные доли секунды на расстояние всего 0,5 нм (1 нм = 0,001 мкм).

Билет№35

Молекулярное движение – постоянное, хаотичное и непрерывное перемещение частиц вещества.

Среднее время, скорость и длина свободного пробега

 Средняя длина свободного пробега - ср. расстояние, к-рое проходит частица между двумя последоват. столкновениями. Д. с. п.- важное понятие кинетической теории газов, введённое P. Клаузиусом (R. Clausius) в 1858.

Д. с. п. равна , где- ср. скорость молекул,- ср. время между столкновениями, причём,- частота столкновений, т. е. ср. число столкновений, испытываемых молекулой за единицу времени в единице объёма. Следовательно,. Для газа упругих сфер радиусаа частота столкновений , гдеп - число молекул в единице объёма,- полное эфф. сечение столкновения,.

Зависимость от плотности и давления

От давления

В действительности все молекулы движутся, вследствие чего число соударений определяется средней скоростью движения молекул по отношению друг к другу, а не средней скоростью молекул относительно стенок сосуда:

Поэтому среднее число соударений должно быть увеличено в раз:

                                             (3)  

Из соотношений (2) и (3) получим для средней длины свободного пробега следующую формулу:

                                               (4)

Из уравнения состояния идеального газа

следует, что концентрация молекул газа равна

Тогда формулу (4) можно записать

                                               (5)

где k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура, Р – давление, d – эффективный диаметр молекул газа. Из формулы (5) видно, что при постоянной температуре с увеличением давления Р средняя длина свободного пробега молекул газа уменьшается.

От плотности

В одной из первых работ по кинетической теории газов Максвеллом была получена формуладля средней длины λ свободного пробега:

      λ = (2^½ пσ) ^{– 1},                                                                                        (1)                                                                                                        

где

  п – числовая плотность (число молекул газа в единице объёма), 

  σ – эффективное сечение соударения (ЭСС) молекул.

Билет№36

Явление переноса- В неравновесных системах возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос массы, энергии, импульса

Диффузия, теплопроводность, внутреннее трение

Диффузия.

Диффузия — это самопроизвольное выравнивание неоднородной концентрации атомов или молекул разного сорта (перенос массы). Если в сосуд впустить порции различных газов, то через некоторое время все газы равномерно перемешаются: число молекул каждого сорта в единице объема сосуда станет постоянным, концентрация выравняется.

Теплопроводность — это молекулярный перенос теплоты между непосредственно соприкасающимися телами или частицами одного тела с различной температурой, при котором происходит обмен энергией движения структурных частиц (молекул, атомов, свободных электронов) (перенос энергии).

Вязкость {внутреннее трение) —это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой. При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоев. Действие этих сил проявляется в том, что со стороны слоя, движущегося быстрее, на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила. Со стороны же слоя, движущегося медленнее, на слой, движущийся быстрее, действует тормозящая сила. Сила внутреннего трения F тем больше, чем больше рассматриваемая площадь поверхности слоя S (рис. 54),

и зависит от того, насколько быстро меняется скорость течения жидкости при переходе от слоя к слою. На рисунке представлены два слоя, отстоящие друг от друга на расстоянии Ах и движущиеся со скоростями v1 и v2. При этом Vx — v2 — Av. Направление, в котором отсчитывается расстояние между слоями, перпендикулярно скорости течения слоев. Величина показывает, как быстро меняется скорость при переходе от слоя к слою в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев, и называется градиентом скорости. Таким образом, модуль силы внутреннего трения

(31.1)

где коэффициент пропорциональности г), зависящий от природы жидкости,

называется динамической вязкостью(или просто вязкостью).

Закон Фика

Закон Фика. Средняя скорость течения газа определяется формулой

где суммирование выполняется по всем молекулам газа в единице объема. Плотность потока частиц равна

Помимо движения газа как целого существет процесс пространственного перераспределения компонент смеси относительно друг друга, обусловленный случайным движением молекул. Это неравновесный процесс, который называется диффузией.

Пусть имеется бинарная смесь с плотностью .

Пусть средняя скорость тесения газа , а диффузия осуществляется только вдоль оси . Тогда плотности потоков компонентов смеси даются законом Фика:

Следует, что . Это означает, что диффузия сама по себе не менят плотности среды.

Величина называется коэффициентом диффузии.

Если , то формула закона Фика принимают более простой вид

Закон Фурье

Согласно гипотезе Фурье, количество теплоты d²Q_τ, проходящее через элемент изотермической поверхности dF за промежуток времени dτ, пропорционально температурному градиенту :

.

(9.4)

Здесь множитель λ называется коэффициентом теплопроводности. Знак минус указывает на то, что теплота передается в направлении уменьшения температуры. Количество теплоты, прошедшее в единицу времени через единицу изотермической поверхности, называется плотностью теплового потока:

.

(9.5)

Проекции вектора q на координатные оси соответственно:

;   ;.

Уравнения (9.4) и (9.5) являются математическим выражением основного закона теплопроводности —закона Фурье.

Количество теплоты, проходящее в единицу времени через изотермическую поверхность F, называется тепловым потоком:

.

(9.6)

Полное количество теплоты, прошедшее через эту поверхность за время τ, определится из уравнения

.

Закон ньютона

Основной закон вязкого течения был установлен И. Ньютоном (1687 г.) -формула Ньютона:

(9.1)

где F [Н] - сила внутреннего трения (вязкости), возникающая между слоями жидкости при сдвиге их относительно друг друга; h| [Па-с] - коэффициент динамической вязкости жидкости, характеризующий сопротивление жидкости смещению ее слоев; dV /dz [1/c] - градиент скорости, показывающий, на сколько изменяется скорость V при изменении на единицу расстояния в направлении Z при переходе от слоя к слою, иначе -скорость сдвига; S [м²] - площадь соприкасающихся слоев.