Глава 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Пусть {an } – последовательность действительных чисел, x0 ¡. Степенным рядом (СР) называется функциональный ряд

∞
åan (x - x0 )n , xΡ.	(4.1)

n=0

Числа an , n = 0,1, 2,..., называются коэффициентами степенного

ряда. Поскольку исследование сходимости ряда (4.1) эквивалентно

исследованию сходимости ряда

∞
åan xn , xΡ,	(4.2)

n=0

в дальнейшем будем рассматривать ряды вида (4.2).

Отметим, что частичные суммы СР являются многочленами.

5.1. СХОДИМОСТЬ СТЕПЕННОГО РЯДА

Любой степенной ряд (4.2) при x = 0 сходится абсолютно.

Лемма Абеля. Пусть

{an } ,

x% ¹ 0 ,

таковы,

что последователь-

ность {an x%n }

∞

ограничена.

Тогда ряд

åan xn сходится абсолютно

для

x

<

x%

.

n=0

x,

x

<

x%

Возьмем

любое

для

которого

,

и составим

ряд

∞

{an x%n }

å

an xn

. Так как по условию последовательность

ограниче-

n=0

на, можно записать

xn

xn

a xn

=

a x%n

×

£ C

, C Ρ.

n

n

x%n

x%n

∞

Таким образом, члены ряда

å

an xn

оказываются

меньшими

n=0

∞

x

n

x

соответствующих членов сходящегося ряда åC

(так как

<1),

x%

x%

∞

n=0

∞

а значит, ряд

å

an xn

сходится.

Следовательно,

ряд åan xn

схо-

n=0

n=0

дится абсолютно.

69

				∞
Следствие. Для каждого СР åan xn существует некоторое r
				n=0					< r ряд сходится
(конечное или бесконечное), такое что при							x
абсолютно, а при		x		> r – расходится. Такое r			называют радиусом

сходимости СР. Если r < ∞, то интервал (−r,r) называют интер-

валом сходимости СР. Так как согласно теореме множество схо-

димости СР может отличаться от интервала сходимости СР лишь в граничных точках последнего, то для нахождения промежутка

сходимости СР достаточно найти радиус сходимости СР и выяснить сходится ли СР на границах интервала сходимости.

Теорема 5.1 (теорема Коши – Адамара). Положим

, 0 ≤ ρ ≤ +∞ ; r :=1/ ρ.

(4.3)

r :=

n

an

lim

n→∞

Тогда:

а) при r = 0 ряд (4.2) расходится "x ¹ 0;

б) при r = +∞ ряд (4.2) сходится абсолютно;

< r и

в) при 0 < r < +¥ ряд (4.2) сходится абсолютно для "x

x

расходится для x

x

> r .

* а) r = 0 lim n an = +¥ .

n→∞

Следовательно, существует подпоследовательность

которой nk

an

® +¥ при k ® +¥ , т.е.

k

"e > 0 $k0= k0 (e) "k ³ k0

> e .

nk

an

k

Пусть x –

фиксировано. Учитывая, что по условию

1

>

1

.

e =

можно утверждать, что

$k

0

"k ³ k

0

nk

a

x

n

x

k

Следовательно,

"x ¹ 0 $e =

1

$k

0

"k ³ k

0

a xnk

>1,

x

n

k

{ank }, для

x¹ 0 , для

поэтому an xn ® 0 при n → ∞ , т.е. не выполняется необходимое условие сходимости.

70

б) r = +∞

lim

n

an

= 0 .

n→∞

Так

как

an

> 0 ,

из

равенства

an

= 0 следует, что

lim

n

n→∞

= 0 , т.е.

lim n

an

n→∞

"e > 0 $n0= n0 (e) "n ³ n0

n

an

< e.

Пусть x –

фиксировано, тогда для e =

1

можно утверждать,

2

x

1

. Следовательно,

что $n "n ³ n

n

a

<

0

0

n

2

x

1

"x ¹ 0

$n

(x) "n ³ n

a xn

<

.

0

0

n

2n

Из признаков сравнения, учитывая сходимость геометрического ря-

∞

1

∞

да å

, получаем абсолютную сходимость ряда åan xn .

n

n=0

2

n=0

в)

0 < r < +∞ Û 0 < r =

< +¥ .

n

an

lim

n→∞

1. Пусть

x

> r , т.е. r >

1

. Тогда существует такая подпоследо-

x

вательность {an }, что

k

1

Û

a xnk

"k ³1 nk

a

>

>1.

n

x

n

k

k

Таким образом, a xn

® 0, n → ∞ .

n

2.

Пусть теперь

x

< r ,

т.е. ρ

x

< 1. Рассмотрим α такое, что

ρ

< α < 1. Поскольку r <

α

x

, то

x

α

Û

a xn

< an .

$n "n ³ n

n

a

<

0

0

n

x

n

Отсюда, как и выше (учитывая,

что α <1),

получаем абсолютную

∞

сходимость ряда åan xn .

n=0

71

∞

З а м е ч а н и е . Радиус сходимости СР åan xn может быть вычис-

n=0

лен как по формуле (4.3), так и по следующей формуле:

r = lim an .

n→+∞ an+1

∞

По признаку Даламбера для ряда å an xn получим

an+1xn+1

n=0

an 1x

x

lim

= lim

+

=

.

an xn

r

n→+∞

n→+∞

an

∞

Таким

образом, ряд

åan xn

сходится абсолютно для всех x

x

n=0

x

таких, что

<1, и расходится при

>1..

r

r

∞

З а м е ч а н и е . Для степенных рядов общего вида åan (x - x0 )n

n=0

радиус сходимости не зависит от x0 , его значение определяют коэф-

фициенты an . Интервалом сходимости СР общего вида будет интервал, симметричный относительно x0 , длинной 2r : (x0− r, x0+ r).

П р и м е р 5.1.

Вычислим

радиусы

и

множества сходимости

следующих рядов:

k

∞

∞

2 +

-1

k

5

+

(-3)

xk

; 2)

(

) (x +1)k .

1) å

k

å(

)

k

k

k=1

k +1

k=1

1

1

æ

-

;

ö

, так как

1. Ряд сходится на интервале ç

5

5

÷

è

ø

r = lim

an

= lim

5n

+

(-3)n

×

n + 2

=

+

n +1

5n+1 +

(

)

n+1

n→∞

n→+∞

-3

an 1

= lim

1+

(

-3/ 5

)

n

×

1+ 2/ n

=

1 ,

1+1/ n

n→+∞ 5(1- 3(-3/5)n )

5

72

Для нахождения множества сходимости исследуем поведение ряда на границах интервала сходимости.

∞

k

1+ (-3/ 5)

При

x = 1 получим числовой ряд å

, который расхо-

5

k=1

k +1

дится, так как:

1)

1+ (-3/ 5)k

:

1

при k → ∞ ,

k +1

k +1

∞

1

2)

ряд å

расходится.

k +1

k=1

∞

k

+ (3/ 5)

k

При

x = - 1

получим числовой ряд

å

(-1)

, который

k +1

5

k=1

можно представить как сумму сходящихся рядов: ряда Лейбница

∞

(-1)

k

∞

(3/ 5)

k

å

и сходящегося по признаку Абеля ряда å

, а значит,

k=1

k +1

k=1

k +1

этот ряд сходится.

+ (-3)

k

∞

k

Таким образом,

множеством сходимости ряда

å

5

xk

k +1

é

1

1 ö

k=1

;

будет промежуток ê-

5

÷.

ë

5 ø

2. Предел отношения							an
						a
							n+1
lim						a2k
		a
k→∞
							2k +1

lim a2k −1

k→∞ a2k

при n → ∞ не существует, так как:

= lim		32k (2k +1)		= ∞ ,
		2k
k →∞
= lim		2k			= 0.
	(2k -1)×32k
k→∞

Поэтому радиус сходимости вычислим по теореме Коши –Адамара:

(2 + (−1)n )n

1

n

3n

= lim n

an

= lim

= lim n

= 3 .

r

n

n

n→∞

n→∞

n→∞

73

Следовательно, ряд å∞	(2+(-1)k )k	(x +1)k	сходится при		x +1		<	1
	k							3
k =1

и расходится при x +1 > 13 . Исследуем поведение ряда на границах интервала сходимости.

При	x = -	4	∞	(2 + (-1)k )k	æ	-	1 ök
		3	получим числовой ряд å	k	ç		÷	. Этот
			k=1		è		3 ø

ряд расходится, так как	(2 + (-1)k )k
∞		æ	-	1 ök
å	k	ç		÷	=
k=1		è		3 ø

∞ (2 + (-1)2m )2m æ

1 ö2m

∞

(2 + (-1)2m−1 )2m−1 æ

1

ö2m−1

= å

2m

ç -

÷

+ å

2m -1

ç -

÷

=

3

m=1

è

3 ø

m=1

è

ø

∞

1

∞

(-1)

2m−1

= å

-

å

.

2m 1

m 1 2m

m 1 (2m -1)3

−

=

=

Первый ряд в сумме расходится, а второй сходится по признаку

∞

(2 + (-1)k )k

æ

1

ök

расходится.

Абеля, следовательно, ряд å

k

ç -

3

÷

k=1

è

ø

При x = -

2

∞

(2 + (-1)k )k

æ

1 ök

расхо-

3

получим числовой ряд å

k

ç

÷ ,

k=1

è

3 ø

димость которого доказывается аналогично доказательству расхо-

∞	(2 + (-1)k )k	æ	-	1 ök
димости числового ряда å	k	ç		÷ .
k=1		è		3 ø

	Таким образом,			множеством сходимости степенного ряда
∞	(2 + (-1)k )k	(x +1)	k	æ	-	4	;-	2 ö	.
å	k			будет интервал ç		3		÷
k=1				è				3 ø

74

5.2. СВОЙСТВА СТЕПЕННОГО РЯДА

Теорема 5.2 (теорема Абеля о равномерной сходимости). Сте-

∞

пенной ряд

åak xk

сходится

равномерно на любом отрезке

k=0

вида [−q,q] , содержащемся во множестве сходимости.

∞

Пусть r

– радиус сходимости ряда åak xk и

q

< r . Так как

∞

k=0

числовой ряд

åak qk сходится абсолютно (в силу теоремы 5.1),

k =0

∞

являясь мажорантой ряда åak xk

на отрезке [−q,q], то по признаку

∞

k=0

Вейерштрасса ряд åan xn

сходится равномерно на [−q,q].

n=0

∞

Если ряд åak xk

сходится и в точках x0 = ±q , то равномерную

k=0

сходимость ряда на промежутке,

содержащем точку x0 , получаем

с помощью признака Абеля с учетом равенства

∞

k

∞

k æ x

ök

åak x

= åak x0 ç

÷ .

x

k=0

k=0

è 0

ø

З а м е ч а н и е . Согласно теоремам 5.1 и 5.2 степенной ряд на лю- бом отрезке, целиком содержащемся внутри интервала сходимости, сходится абсолютно и равномерно.

Теорема 5.3. Сумма степенного ряда непрерывна на его множе- стве сходимости.

Пусть x – произвольная точка множества сходимости A. Выберем некоторый отрезок, такой что

x [α,β] и [α,β] A .

На [α,β] члены ряда непрерывны, а сам ряд сходится равномерно

в силу предыдущей теоремы. Тогда, согласно теореме 4.6, его сумма непрерывна на [α,β], а значит, и в точке x. Таким образом, мы до-

казали, что сумма ряда непрерывна в произвольной точке множе- ства сходимости, т.е. на всем множестве сходимости.

75

∞

Теорема 5.4. Пусть åak xk = S (x), xÎ A, – степенной ряд с ра-

	k=0
диусом сходимости r	и множеством сходимости A. Тогда:
1) S (x)ÎC(1) ((-r,r)) и "xÎ(-r,r)					∞
					S¢(x) = åkak xk−1 ,
					k=1
x	∞	a
2) "x Î A òS (u)du = å		k		xk+1 ,
		k +1
0	k=0

причем радиус сходимости полученных рядов равен r.

Доказательство следует из теоремы Абеля 5.2 и теорем 4.9 и 4.8

опочленном дифференцировании и интегрировании ФР. Утверждение

орадиусе сходимости следует из теоремы Коши – Адамара 5.1:

ék

ù

k

(k +1)a

=

a

=

k −1

a

=

a

k −1

=

k

a

lim

k

lim

k

lim

lim

lim

1)

k→∞

k +1

k→∞

k +1

k→∞

k

k→∞

ë

k

k

û

k→∞

k

;

ak −1

ék

ù

2)

=

k

a

=

k +1

a

=

a

k +1

=

k

a

.

lim

k

lim

lim

lim

lim

k→∞

k

k →∞

k −1

k→∞

k

k→∞ ë

k

û

k →∞

k

Следствие. На множестве сходимости степенной ряд можно ин- тегрировать и дифференцировать почленно произвольное число раз.

Полученные при этом степенные ряды будут иметь тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

5.3. РАЗЛОЖЕНИЕ В СТЕПЕННОЙ РЯД

Говорят, что функция f (x) на интервале (x0 − r, x0 + r ) может

∞

быть разложена в СР, если существует СР åak (x - x0 )k , сходящий-

k=0

ся к f (x) в указанном интервале.

Теорема 5.5 (необходимое условие разложимости функции в степенной ряд). Для того чтобы функция f (x) могла быть разло-

жена в степенной ряд на интервале (x0 − r, x0 + r ) , необходимо, что-

бы эта функция имела на указанном интервале производные любого порядка.

76

Теорема 5.6. Пусть степенной ряд

	∞		(x)
	åak (x - x0 )k = S				(4.4)
	k=0
	имеет радиус сходимости r . Тогда	S(k ) (x0 )
	"k ³ 0 a =			.	(4.5)
	k	k!
					= S (x0 ). После
	Подставляя x = x0 в формулу (4.4), получим a0

почленного дифференцирования получим

∞

S¢(x) = åkak (x - x0 )k−1 .

k=1

Следовательно, a1 = S′(x0 ) и т.д.

Теорема 5.7. Если функция f (x) на интервале (−r, r ) может быть разложена в степенной ряд, то этот ряд единственен.

Эта теорема является следствием теоремы 5.6, так как коэф- фициенты степенного ряда (если он существует) однозначно опре- деляются формулой (4.5).

Следствие. Разложение четной (нечетной) функции в степенной ряд может содержать лишь четные (нечентные) степени x .

∞

З а м е ч а н и е 1 . СР åak (x - x0 )k , коэффициенты которого опре-

k=0

деляются	формулой	a	=	f (k ) (x0 )		, называется	рядом Тейлора
		k		k!
							f (x) может быть
функции	f (x). Таким образом,				если функция
разложена на интервале			(x0 − r, x0 + r ) в СР, то этот ряд является
рядом Тейлора функции f (x).

З а м е ч а н и е 2 . Теорема позволяет строить разложения в СР для

функций являющихся суперпозициями некоторых более прострых функций с известным разложением, а также использовать свойства

степенных рядов как функциональных для построения разложения одних функций по известным разложениям других. Более подробно эти приемы будут рассмотрены в примерах: 5.3, 5.5 – 5.9.

77

З а м е ч а н и е 3 . Существуют функции, имеющие на интервале

(x0 − r, x0 + r ) непрерывные

производные любого порядка, но не

разложимые на этом интервале в степенной ряд, например♦,

ì

−1/ x2

, x ¹ 0,

f (x) = íïe

ï0,

x = 0.

î

* Функция f (x) непрерывна, так как lim e−1/ x2 = 0 . Для x ¹ 0

2

6

x→0

4

f ¢(x) =

e−1/ x2 ,

f ¢¢(x) = -

e−1/ x2

+

e−1/ x2 ,

x3

x4

x6

f ¢¢¢(x) = 24x5 e−1/ x2 - 36x7 e−1/ x2 + x89 e−1/ x2 .

Продолжая операцию дифференцирования, получим, что при

	x ¹ 0 производная			f (n) (x), есть сумма выражений вида		A	e−1/ x2 . Из
		1				xm
	равенства lim		e−1/ x2		= 0 и непрерывности функции f	в нуле сле-
	x→0	xm		f ′
	дует, что функция				в нуле существует и равна нулю, и таким обра-

зом, непрерывна. Точно так же получаем, что функция f ′′ в нуле су- ществует, равна нулю и непрерывна. Продолжая эти рассуждения, получим, что функция f имеет в любой точке x R производные всех порядков, причем в нуле все ее производные равны нулю. Сле- довательно, ряд Тейлора функции f в нуле имеет вид

∞	∞
åak xk = å0× xk .
k=0	k=0

Согласно теореме Коши – Адамара радиус сходимости этого ряда r = +∞, т.е. ряд сходится при любом x ¡, но сумма его есть тождественный нуль и ни в какой точке, кроме нуля, не равна f (x).

А поскольку единственным степенным рядом, представляющим в некоторой окрестности нуля функцию f (x), может быть только ее

ряд Тейлора в точке x0 = 0 , то, следовательно, функция f (x) не представляется степенным рядом в окрестности нуля.

♦ Пример взят из книги В.А. Ильина, Э.Г. Позняка «Основы математического анализа».

78

Теорема 5.8 (достаточное условие разложимости функции в степенной ряд). Пусть x0 ¡, 0 < r ≤ +∞ . Тогда, если функция

f (x) удовлетворяет условиям:

1)	f (x)Σ(∞) ((x0 - r, x0 + r)) ;
2)	$C Î ¡ "k ³ 1 "x Î(x0 - r, x0 + r)			f (k ) (x)				£ Ck ,
то	∞				(k )	(x0 )
	x (x0 − r, x0 + r ) f (x) = å			f					(x - x0 )k ,	(4.6)
					k!
	k=0

причем для r < +∞ сходимость ряда равномерна на (x0 − r, x0 + r ),

а для r = +∞ сходимость равномерна на любом сегменте вида

[x0 − r%, x0 + r%], r% < +∞ .

* Согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, n x (x0 − r, x0 + r )

(k )

(x0 )

f (x) = Sn (x) + Rn (x),

(4.7)

n

где Sn (x)

= å

f

(x - x0 )k ,

k!

k =0

Rn (x) =

f (n+1) (x + θ(x − x

))

(x − x0 )

n 1

(0,1).

0

0

+

,

θ

(

n +1 !

)

Для x (x0 − r, x0 + r ), учитывая условие 2, имеем

Rn (x)

£

Cn+1

x - x0

n+1

.

(

n +1 !

Cn+1

)

Так как

x - x

n+1

® 0

при n → ∞ , формула (4.6) следует из

(

)

0

n +1 !

(4.7) при n → ∞ .

Докажем теперь утверждение о равномерной сходимости. Пусть

r ¡. Так как x (x0 − r, x0 + r )

x − x0

< r , то

(Cr)n+1

lim

sup

Rn (x)

≤ lim

Cn+1

rn+1 = lim

= 0,

(

)

(

)

(

)

x0

−

r, x0

+

n→∞

x

r

n→∞

n +1 !

n→∞

n +1 !

т.е. остаток степенного ряда равномерно сходится к нулю, значит, сам ряд сходится тоже равномерно. Аналогичным образом доказы-

вается равномерная сходимость ряда на отрезке [x0 − r%, x0 + r%], r% < +∞ , в случае r = +∞

79

Приведенная теорема дает метод разложения функций в ряд Тейлора. Однако условия этой теоремы не всегда выполняются или не могут быть просто проверены. Тогда эффективным методом по- лучения разложения является использование свойств СР.

П р и м е р 5.2. Разложим в ряд функцию f (x) = ex .

Так как f (n)(x)= ex , то "h >0 x (−h,h) "n ³0 0< f (n)(x)< eh . Таким образом, условия теоремы 5.8 выполнены ( x0 = 0 ), поэтому

функция ex раскладывается в ряд Тейлора на любом конечном интервале, а значит, и на всей действительной оси.

Так как f (n) (0) = e0

=1, согласно формуле (4.6)

разложение ex

имеет вид

∞

x

k

ex = å

.

(4.8)

k=0 k!

П р и м е р 5.3. Разложим в ряд функции shx и chx.

Заменив в формуле (4.8) x на −x , получим

∞

(−1)

k

x

k

(4.9)

e−x = å

.

k=0

k!

Складывая и вычитая формулы (4.8) и (4.9), получим

ex

+ e− x

∞

x2k

ex − e− x

∞

x2k+1

chx =

=

å

,

shx =

= å

.

2

(2k )!

2

(

2k +1)!

k=0

k=0

В силу единственности разложения функций в СР правые части этих формул являются рядами Тейлора функций sh x и ch x.

П р и м е р 5.4. Разложим в ряд функции sin x и cos x .Пусть f (x) = sin x . Тогда f (k ) (x) = sin (x + πk / 2) ≤ 1.

Согласно теореме 5.8 отсюда следует, что функция sin x раскла- дывается в СР на всей действительной оси. Аналогично функция cos x раскладывается в СР на всей действительной оси. Таким обра- зом, получаем

∞	(−1)	k	x	2k+1	∞	(−1)	k	x	2k
sin x = å					, cos x = å					.	(4.10)
k=0	(2k +1)!				k=0	(2k )!

80

Дифференцируя или интегрируя известные разложения в ряд Тей- лора, можно получать разложения новых функций в степенные ряды.

П р и м е р 5.5. Разложим в ряд функцию f (x) = ln (1+ x) .

Заметив, что f ¢(x) =

1

,

разложим

f ′(x)

в ряд по формуле

1

+ x

для суммы членов геометрической прогрессии

∞

f ¢(x) = å(-1)k xk,

x

<1.

k=0

<1, получим

Интегрируя этот ряд от 0 до x,

x

k

k+1

x

∞

∞

f (x) = ln(1+ x) =

(

-1) x

çæå(-1)k tk ÷ödt = å

.

ò0 è k=0

ø

k=0

k +1

Рассмотрим теперь полученный ряд в граничных точках интерва-

ла сходимости. При x =1 мы получаем сходящийся ряд Лейбница, а

∞

-1

при x = −1 – расходящийся ряд å

. Таким образом, множе-

k +1

(-1)

k

k=0

∞

x

k+1

ством сходимости ряда å

является множество −1< x ≤1.

Функция

f

k=0

k +1

непрерывна при x =1, поэтому согласно теореме 5.3

∞

-1 k xk+1

(

]

сумма ряда

å

(

)

, являясь непрерывной функцией на

,

−1,1

k=0

k +1

совпадает с ней и в точке x =1.

П р и м е р 5.6. Разложим в ряд функцию f (x) = arc tgx .

Поступая при

x

<1 аналогично предыдущему примеру, получим

x

dt

x

∞

∞

x

2k +1

arctg x =

ò0

=

çæ

å(-1)k

t2k ÷ödt =å(-1)k

.

(4.11)

1

+ t

2

2k +1

ò0 è k =0

ø

k =0

Отметим, что полученный ряд при

x = ±1 по признаку Лейбница

∞

(-1)

k

сходится, поскольку сходится знакопеременный ряд å

.

2k +1

Функция

f

k=0

непрерывна при x = ±1, поэтому согласно теореме 5.3

å(

)

x2k+1

[

]

сумма ряда

∞

-1 k

, являясь непрерывной функцией на

−1,1

,

k=0

2k +1

x = ±1.

совпадает с ней и в концевых точках

81

Отметим, что хотя функция

f (x) = arc tgx

определена на всей

действительной числовой оси, ее разложение в степенной ряд (4.11)

справедливо

только на отрезке

[

−1,1 .

Вне

этого отрезка

ряд

]

∞

x

2k+1

расходится согласно теореме Коши – Адамара.

å(−1)k

k=0

2k +1

З а м е ч а н и е .

Так как разложение в степенной ряд функции f (x)

определяется единственным образом, его радиус сходимости может

быть вычислен как по теореме Коши – Адамара, так и с помощью

теорем, сформулированных для определения сходимости функцио-

нальных

рядов,

примененных к

ряду

Тейлора

данной

функции

(см. примеры 5.7 и 5.8).

Приведем некоторые наиболее часто используемые при решении

задач разложения.

Разложения со множеством сходимости ¡

∞

k

∞

(−1)

k

x

2k+1

∞

(

−1)

k

x

2k

ex

= å x

sin x = å

cos x = å

k=0

k!

k=0

(2k +1)!

k=0

(2k )!

Разложения со множеством сходимости −1< x ≤1

∞

k+1

x

k

ln (1+ x) = å(−1)

k=1

k

Разложения со множеством сходимости −1< x <1

(1+ x)α

∞

, −1< x <1

=1+ åα(α −1)L(α − k +1) xk

k=1

k!

1

∞

1

=

∞

= å(−1)k xk

åxk

1+ x

k=0

1− x

k=0

1

=1+

∞

−1)k (2k −1)!! xk

1

∞

å(

=1+ å(2k −1)!! xk

1+ x

k 1

(2k )!!

1− x

k 1

(2k )!!

=

=

∞

∞

(2k −1)!!xk+1

1+ x =1+ å(−1)k−1 (2k −1)!!xk+1

1− x =1− å

k 1

(2k + 2)!!

k 1

(2k + 2)!!

=

=

82

П р и м е р 5.7. Разложим в ряд функцию f (x) =

1

.

(x2 + 2)(9 - x)

Представим функцию f (x)

в виде

f (x) =

1

æ

x

+

9

+

1

ö

ç

÷.

2

+ 2

x

2

+

2

Учитывая, что

83è x

9 - x ø

1

1

1

1

∞

2k

x

2

=

×

=

å(

-1)k

x

при

<1,

x

2

+

2

2

x

2

k

2

1+

2 k=0

2

2

ök

1

1

∞

æ x

∞

xk

x

=

åç

÷

=

å

при

<1,

9 - x

k

1

9

получим

9 k=0

è 9

ø

k=0 9

+

(

)

(

)

é

k

x

2k+1

k

x

2k

k ù

1

∞

-1

∞

-1

∞

∞

f (x) =

ê

å

+ 9å

+ å

x

ú =

åak xk

2

k 1

2

k 1

k 1

83

êk=0

+

k=0

+

k=0 9

+

ú

k=0

ë

û

при

x

<

, где

2

1

é

9×(-1)

m

1

ù

1

é

(-1)

m

1

ù

a

=

ê

+

ú,

a

=

ê

+

ú , m = 0,1,2....

2m+1

92m+1

2m+1

92m+2

2m

83

ê

ú

2m+1

83 ê

ú

ë

û

ë

û

П р и м е р 5.8. Разложим в ряд функцию f (x) = ln

5 + x3 .

Представим функцию f (x)

в виде

4 - x2

f (x) = ln (5 + x3 )- ln (4 - x2 ).

Раскладывая в ряд каждую из функций ln (5 + x3 )

и ln (4 - x2 ),

получим

æ

x

3

ö

∞

-1 k−1 x3k

3

ln(5 + x3 ) = ln5 + ln

ç1+

÷

= ln5 + å(

)k

, -1<

x

£1,

è

5

ø

k=1

5 k

5

æ

x

2

ö

∞

(

-1

2k−1 x2k

ln(4 - x2 ) = ln 4 + lnç1-

÷

= ln 4 + å

)

=

k

k

è

4

ø

k=1

4

∞

2k

2

= ln 4 - å

x

, -1<

x

£1.

k

k

k=1

4

4

83

Следовательно,

k−1

x

3k

+ å xk

= åak xk

, −2 < x ≤ 2 ,

f (x) = ln5 - ln 4 + å(-1)k

∞

∞

2k

∞

5 k

k=1

é

k=1

4 k

k=0

(-1)

где a

= ln 5 − ln 4 ,

a

=

1

(-1)

k /2−1

2

+

3

ù

при kM6 ,

a

=

k /3−1

3

k

ê

ú

0

k

5k /2

4k /3

5k /3k

ê

ú

k

2

ë

û

при kM3 и k M2, ak

=

при

kM2 и k M3.

4k /2 k

В заключение покажем несколько практических применений теории степенных рядов.

П р и м е р 5.9. Найдем разложение в СР «неберущегося» (в эле-

ментарных функциях) интеграла F(x) = òx e−t2 dt .

0

Подынтегральная функция e− x2 раскладывается во всюду схо- дящийся степенной ряд следующим образом:

e−x2 = å∞ (-1)k x2k . k=0 k!

Согласно теореме 5.4 степенной ряд внутри множества сходимости можно интегрировать почленно, следовательно:

x ∞

(-1)

k

t

2k

∞ x

(-1)

k

t

2k

∞

(-1)

k

x

2k+1

F(x) = òå

dt =åò

dt = å

. (4.12)

k!

k!

k!(2k +1)

0 k=0

k=0 0

k=0

П р и м е р 5.10. Вычислим «неберущийся»

интеграл òx e−t2 dt с точ-

ностью до 10−3

0

в точке x =1.

Согласно формуле (4.12) для Φ (1)

получим числовой ряд

лейбницевского типа

F(1) = å (-1)

k

=1- 1 + 1 - 1

+

1 -

1 +...

∞

k=0

3

k!(2k +1)

10

42

216

1320

1

(

)

5 ( )

5

Так как

r (1)

<

<104 ,

то Φ 1 ≈ S

1

≈ 0.746

и все три знака

1320

верные.

84

П р и м е р 5.11. Найдем выражение для производной n-го порядка

функции y =

1

в точке

x = −2 .

9x2 + 36x + 40

Построим разложение в окрестности точки x = −2 :

y =

1

1

1

1

=

=

4

×

=

9x2 + 36x + 40

9(x + 2)2 + 4

9

(x + 2)

2

1+

4

∞

÷ö

2k

= 1 å(-1)k çæ 3

(x + 2)2k .

4 k=0

è 2

ø

Так как полученный СР можно дифференцировать в достаточно малой окрестности точки x = −2 , в самой точке x = −2 получим

y(2k−1) (-2) = 0, y(	2k	) (-2) =	(-1)k (2k )!æ		2	ö2k
			4	ç ÷			.
				è	3	ø

5.4.РАВНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ МНОГОЧЛЕНАМИ ♦

Теорема 5.9 (теорема Вейерштрасса о равномерном приближении многочленами непрерывной функции). Если функция f (x) непрерывна на сегменте [a,b], то существует последователь-

ность многочленов {Pn (x)}, равномерно сходящаяся на [a,b] к функции f (x), то есть ε > 0 найдется многочлен Pn (x) с номе- ром n, зависящим от ε , такой, что

x [a,b] Pn (x) - f (x) < e.

* Не ограничивая общности, можно ввести следующие ограни- чения.

1. Вместо сегмента [a,b] рассматривать сегмент [0,1], так как он преобразуется в сегмент [a,b] линейной заменой:

x = (b − a)t + a .

♦В.А. Ильин, Э.Г. Позняк «Основы математического анализа».

85

2. Рассматривать лишь те функции, для которых
f (0) = f (1) = 0 .	(4.13)

Так как если функция не удовлетворяет условию (4.13), то,

положив

g (x) = f (x) - f (0) - x é f (1) - f (0)ù ,

ë û

мы получили бы непрерывную на сегменте [0,1] функцию g (x) , удовлетворяющую условию g (0) = g (1) = 0, и из возможности пред- ставления g (x) в виде предела равномерно сходящейся последова- тельности многочленов вытекало бы, что и f (x) представима в ви-

де предела равномерно сходящейся последовательности многочленов (так как разница f (x) − g (x) является многочленом

первой степени).

Итак, пусть f (x) непрерывна на [0,1] и f (0) = f (1) = 0 . Про-

должим эту функцию на всю числовую прямую, положив ее равной нулю за пределами сегмента [0,1], причем полученная функция

будет равномерно непрерывной на всей числовой прямой.

Рассмотрим следующую конкретную последовательность неот- рицательных многочленов степени 2n :

Qn (x) = cn (1- x2 )n ,		n = 1,2,3,...,	(4.14)
у каждого из которых постоянная cn		выбрана так,	что выполняется
равенство
ò1	Qn (x)dx =1,	n = 1,2,3,...	(4.15)
−1

Не вычисляя точного значения постоянной cn , оценим ее сверху. Для этого заметим, что n x [−1,1] справедливо неравенство

(	2	)	n			2	.	(4.16)
1- x				³ 1	- nx

86

Применяя неравенство (4.16) и учитывая, что "n

1

£1, получим

n

1

1

1/

n

(1- x2 )n dx ³

ò

(1- x2 )n dx = 2ò(1- x2 )n dx ³ 2 ò

−1

0

0

1/

n

(1- nx2 )dx =

4

1

³ 2 ò

>

.

(4.17)

0

3

n

n

Из (4.14), (4.15) и

(4.17) заключаем,

что для

всех номеров

n = 1,2,3,... справедлива следующая оценка сверху для постоянной cn :

cn <

n

.

(4.18)

Из (4.18) и (4.14) вытекает, что δ > 0 x			[	]	справедливо не-
				δ,1
равенство
0 ≤ Qn (x) ≤		(1− δ2 )n .			(4.19)
	n

Из (4.19) следует, что при любом фиксированном δ > 0 последо-

вательность неотрицательных многочленов {Qn (x)}				сходится к ну-
лю равномерно на сегменте δ ≤ x ≤1.
Положим для любого x	[		]
		0,1
Pn (x) = ò1			f (x + t)Qn (t)dt ,	(4.20)
	−1

и убедимся в том, что для любого n = 1,2,3,... функция Pn (x) есть многочлен степени 2n , причем {Pn (x)} и является искомой после-

довательностью многочленов, равномерно сходящейся на сегменте 0 ≤ x ≤1 к функции f (x).

Так как изучаемая функция f (x) равна нулю за пределами сег- мента [0,1], интеграл (4.20) можно записать в виде

Pn (x) = 1−òx f (x + t)Qn (t)dt .

− x

87

Заменяя в последнем интеграле переменную t		на t − x, получим
Pn (x) = ò1	f (t)Qn (t − x)dt .	(4.21)
0

Из (4.21) и (4.14) ясно, что функция Pn (x) представляет собой многочлен степени 2n .

Остается доказать, что последовательность {Pn (x)} сходится

к f

(

x

)

равномерно на

[

0,1 .

]

Фиксируем произвольное ε > 0.

Для фиксированного ε

в силу

равномерной

непрерывности

f (x)

на всей бесконечной

прямой,

найдется δ > 0 такое, что

ε

f (x)- f ( y)

<

при

x − y

< δ .

(4.22)

2

)

[

]

Заметим еще, что так как

f

(

x

непрерывна на сегменте

0,1 ,

она и ограничена на этом сегменте, а стало быть, и всюду на беско- нечной прямой. Это означает, что существует постоянная A такая, что для всех x

f (x)

≤ A.

(4.23)

Используя (4.15),

(4.19),

(4.22)

и (4.23)

и учитывая неотрица-

тельность Q

(

x

)

n (

x

)

− f

(

x

)

. x

[

]

, оценим разность P

0,1

(

)

(

)

1

(

)

(

)û

n (

)

n

x

- f

x

=

ò

ë

x + t

- f

x

t

dt

£

P

é f

ùQ

≤ ò1

−1

f (x + t) − f (x)

Qn (t)dt ≤

−1

−δ

ε

δ

1

(1- d2 )n +

ε

≤ 2A ò Qn (t)dt +

ò Qn (t)dt + 2AòQn

(t)dt ≤ 4A

.

n

2

−1

2

−δ

δ

Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить, что для всех достаточно больших номеров n справедливо неравенство

4An (1- d2 )n < 2ε .

88