integral

9.

R p

xp

x3

dx

11.

R

xx2

1

2

dx

3

R

(px 1)

2

13.

3

dx

3

px2

R x2 xp

+x 2p

+1

15.

x

x

dx

p

1

R

x

17.ctg2 x dx

R	3p		2p
		1+x2		1 x2	dx
19.
		p1 x4

R

10.

R

12.

R

14.

R

16.

R

18.

pp p

5 3 x10 x15 dx

x 1 2

x x dx

x2+2px+3	dx
xpx

p p x+ x+3 3 x+4

p dx

3 x

th2 x dx

R

20.

p		p		dx 0 6 x 6 4
	1 sin 2x		1 + sin 2x

R p

21.tg4 x + ctg4 x + 2 dx

23.	R
		(2x + 3x)3 dx
25.	R
		p	dx
			(1 x2)(2 x2)	(p	1 x2	+p		2 x2	)
26.	R
		p	dx
			(2+x2)(3+x2)	p	3+x2		p	2+x2	)
				(

	R
22.		3+2x2
		(1+x2)(2+x2)	dx
24.	R
		(3x + 5x)2 dx

11

R

cos x2 + 7 x cos x2 7 x cos2 7 x dx

27.

R

sin x2 + 5 x sin x2 5 x 21 cos

x dx

28.

2

5

R

cos2 5x + cos2 x cos 6x cos 4x sin x dx

29.

R

sin2 7x + sin2 x + cos 8x cos 6x cos x dx

30.

R

sin x3 sin 3 x3

sin 3 x3

dx

31.

R

R

1

x

sin(arccos x)

32.

1 + tg x tg 2 dx

33.

dx

cos x

R

1 x2

R

sin 3x 3 sin x+2 dx

cos(arctg x)

dx

34.

1 cos 2x

35.

R

p

1+x2

R

cos2 xx dx

37.

cos 6x+cos 2x ctg x dx

36.

2

sin 8x

R

p

38.

log2

2 + x2 log2+x2

3 + x4 log3+x4

4 + x8 log4+x8 2

x

dx

R

39.

arctg(1+x2)				dx
(1+x2)	2 arctg	1+x2
		1

R

40.log3 (1 + 2x) log1+2x (1 + 3x) log1+3x 3x dx

R

41.

ex arcctg x dx2 arctg x

R

42.

x2 4x+5 dx x 3

12

43.	R
	x2 5x+7 dx
	x 4
45.	R
	3x+7 dx
	x+2

|

	R	2x+5 dx
	44.
		x+1
	R	p
			2 sin(x+
	46.	sin 2x+4			4 )+5	dx
		2+sin x+cos x

13

2Замена переменных в неопределённом интеграле

Правило замены переменной (или подстановки), являющееся одним из главных приёмов вычисления ненопределённых интегралов, основано на простом замечании, утверждающем, что если

R

f(t) dt = F (t) + C;

(1)

то

R

f(g(x))g0(x) dx = F (g(x)) + C;

(2)

Соотношения (1) и (2) приводят к формуле замены переменной в неопределённом интеграле

R	R
	f(g(x))g0(x) dx =	f(t) dt			;
				t=g(x)
которую, если представить g0(x)dx = dg(x) можно записать в виде
R	R					(3)
	f(g(x)) dg(x) =	f(t) dt			:
			t=g(x)			R
Таким образом для вычисления интеграла		R			(x) dx =
		f(g(x))g0				f(g(x)) dg(x)

(то есть когда некоторая функция g(x) подводится под знак дифференциала так, чтобы оставшаяся часть подинтегрального выражения f(g(x)) пердставляла собою функцию от той, которая подведена под дифференциал) может быть сделана замена переменной t = g(x); то есть вычислен интеграл

R
f(t) dt и затем t заменено на g(x):
R	arctg2 x dx
Например, представив интеграл	1+x2 в виде

R

arctg2 x dx

1 + x2

R	R
=	arctg2 x(arctg x)0 dx = arctg2 x d arctg x

(здесь f(t) = t2

	R	f(t) dt =
Тогда
ответу	R	arctg2 x dx
		1+x2

и g(x) = arctg x), сделаем замену переменной t = arctg x:

R	t2 dt =	t3	+ C и, полсе замены t на arctg x; приходим к
		3
=	1 arctg3 x + C:
	3

14

Это решение коротко можно записать так

R

arctg2 x dx

1 + x2

R	R
=	arctg2 x d arctg x = t2 dt	=
		t=arctg x

или так

R

	1		3			1	3
=		t + C			=		arctg	x + C
	3					3
arctg2 x dx			R		t=arctg x
				arctg2 x d arctg x =
			=						t = arctg x	=
1 + x2

R

=

t2 dt = 13t3 + C = 13 arctg3 x + C:

Указанные формы записи решения можно ещё сократить за счёт отбрасыва-

ния	и t = arctg x :

t=arctg x

R

arctg2 x dx = 1 + x2

R

R

arctg2 x d arctg x =

t2 dt = 13t3 + C = 13 arctg3 x + C:

Наконец (при некоторой тренированности), можно не записывать и новую переменную t, мысленно обращаясь с подведённой под дифференциал функцией arctg x как с t. Тогда

R

arctg2 x dx = 1 + x2

R

arctg2 x d arctg x = 13 arctg3 x + C:

Из (1) и (2) легко выводится ещё одна формула замены переменной

R	R
f(x) dx =	f(g(t))g0(t) dt	;	(4)
		t=g 1(x)

согласно которой (если интеграл в правой части находится просто) для вы-

R числения f(x) dx можно сделать замену переменной (подстановку) x =

15

R g(t); то есть записать интеграл f(g(t))g0(t) dt; вычислить его и затем вер-

нуться к прежней переменной x; заменив t на g 1(x) (в предположении, что g 1(x) существует).

В интеграле	R	dx			(здесь f(x) =	1		) сделаем замену переменной (под-
		1+p				1+p
			x				x

p

становку) положив x = g(t) = t2; t > 0 (так что t = g 1(x) = x). Получаем

R

dx

1 + px =

R

	2t		dt =
	1 + t

R

2(t + 1) 2 dt = 1 + t

RR

=2 dt 2

	dt			p			p
			= 2t 2 ln j1 + tj + C + 2		x 2 ln(1 +			x) + C:
	1 + t

Отметим, что здесь мы (это, как правило, делают) опустили

и запи-

сали

R

dx

R

2t

t=g 1(x)

1 + p

=

dt

1 + t

вместо

x

R

dx

R

2t

1 + p

=

dt

t=p

:

1 + t

x

x

В приводимых ниже примерах нужно вычислить интеграл, сделав подходящую замену переменной

Пример. 2.1

R

dx

x(1 + ln2 x)

Решение.

Воспользуемся тем, что d ln x = x1 dx; подведём под дифференциал ln x и сделаем замену переменной t = ln x: Получим

R

dx

x(1 + ln2 x)

R

=

d ln x

1 + ln2 x

R

=

dt

1 + t2

=

= arctg t + C = arctg ln x + C:

16

Пример. 2.2

R

(2 + 3 sin x)8 cos x dx

Решение.

Заметим, что cos x dx легко выразить через d(2 + 3 sin x): Действительно d(2 + 3 sin x) = 3 cos x dx; откуда cos x dx = 13 d(2 + 3 sin x): Подводя под дифференциал 2 + 3 sin x и делая замену t = 2 + 3 sin x; Получим

R

	1	R
(2 + 3 sin x)8 cos x dx =		(2 + 3 sin x)8 d(2 + 3 sin x) =
	3

1		R	1		1		1
=			t8 dt =				t9 + C =		(2 + 3 sin x)9 + C:
	3			3		9		27

Это же решение может быть записано так. Положим t = 2 + 3 sin x; тогда dt = 3 cos x dx; откуда cos x dx = 13 dx: Получаем

R

(2 + 3 sin x)8 cos x dx = 13

R

t8 dt = 13 19 t9 + C = 271 (2 + 3 sin x)9 + C:

Отметим, что соотношения cos x dx = d sin x; sin x dx = d cos x (и более общие cos x dx = a1 d(a sin x+ b); sin x dx = a1 d(a cos x+ b)) часто используются при интегрировании методом замены переменной (например, при вычислении

R интегралов вида sinm x cosn x dx; где m и n целые неотрицательные числа,

хотя бы одно из которых нечётное).

Пример. 2.3 R sin3 x cos2 x dx

Решение.

Выделим в подинтегральном выражении sin x dx = d cos x; выразим оставшуюся часть sin2 x cos2 x = 1 cos2 x cos2 x через cos x и сделаем замену

17

переменной t = cos x: Получим

R	R	R
sin3 x cos2 x dx =	1 cos2 x cos2 x d cos x =	1 t2 t2 dt =

R

=

R	R
t2 t4 dt = t2 dt +

cos3 x + cos5 x 3 5

t4 dt = t3 + t5 + C = 3 5

+ C:

частности, x dx = 21 dx2; x2 dx = 31 d x3 + 2 ; x3 dx =	81 d		2x4			+ 3 и так да-
Укажем ещё на стандартные соотношения x dx =		1			d	ax +1 + b (в
	(1+ )a

					R		+ b d	ax +1	+ b
лее), используемые при вычислении интегралов вида f ax +1
с помощью замены переменной t = ax +1 + b:
Пример. 2.4
R		x3 dx
		3 + x4		:
Решение.
Воспользовавшись тем, что x3 dx = 1 d			3 + x4		; сделаем замену переменной
t = 3 + x4: Получим	4

R

x3 dx

3 + x4

= 14

R

d 3 + x4

3 + x4

= 14

R

dtt = 14 ln jtj + C = 14 ln 3 + x4 + C:

Отметим, что вместо этой подробной записи этого решения можно сразу записать

1

4

R

3 + x4	= 4 ln 3 + x4	+ C:
d 3 + x4	1

мысленно обращаясь с подведённой под дифференциал функцией g(x) = 3 + x4 как с новой переменной t:

18

Пример. 2.5

R	sin 2x dx2 :
	5 + sin x

Решение.

Заметим, что d 5 + sin2 x = 2 sin x cos x dx = sin 2x dx: Получаем

R

sin 2x dx

5 + sin2 x

R

=

d 5 + sin2 x

5 + sin2 x

= ln 5 + sin2 x + C:

Метод замены переменной часто позволяет находить простые решения в сочетании с подходящими искуственными приёмами (иногда в случаях, когда использование других стандартных методов приводит к громоздким вычислениям).

Пример. 2.6

R	x2
	(x2 + 2x + 2)2	dx:

Решение.

Преобразовав подинтегральную функцию

(x + 2x + 2)

(x + 2

+ 2)

x2

=

x2

+ 2x + 2

(2x + 2)

=

2

2

2

x

2

1

2x + 2

1

2x + 2

=

=

;

x2 + 2x + 2

(x2 + 2x + 2)2

1 + (x + 1)2

(x2 + 2x + 2)2

заметим, что d x2 + 2x + 2 = (2x + 2) dx; d(x + 1) = dx: Получаем

R

x2

(x2 + 2x + 2)2 dx =

R

dx

x2 + 2x + 2

R

(2x + 2) dx (x2 + 2x + 2)2 =

R

=

d(x + 1)

1 + (x + 1)2

R

(			+ 2 + 2)
d		x2		+ 2x + 2		1
	x	2		x	2	= arctg(x + 1) +	x2 + 2x + 2	+ C:

19

Пример. 2.7

R

1 + ex + sin x

2 + ex + sin x cos x dx:

Решение.

Представим подинтегральную функцию в виде суммы двух слагаемых следующим образом:

1 + ex + sin x 1 2 + 2ex + 2 sin x

2 + ex + sin x cos x = 2 2 + ex + sin x cos x =

=	1		(2 + ex + sin x cos x) + (ex + sin x + cos x)			=
	2
			2 + ex + sin x		cos x

1 1 ex + sin x + cos x

=2 + 2 2 + ex + sin x cos x:

Находим теперь (учитываем, что d (2 + ex + sin x cos x) = (ex + sin x + cos x) dx):

R

	1 + ex + sin x		1
		dx =
	2 + ex + sin x cos x		2

R

dx + 12

R

(ex + sin x + cos x) dx

2 + ex + sin x cos x =

= 12

R

dx + 12

R

	d (2 + ex + sin x cos x)	=
	2 + ex + sin x cos x

= 12x + 12 ln (2 + ex + sin x cos x) + C:

Приведём теперь примеры, где использование правила замены переменной в форме (4) позволяют легко вычислить предложенный интеграл.

Пример. 2.8

R

px2 dx :

1 x2

20