Раздел 1.4. Первообразная. Неопределенный интеграл. Способы вычисления неопределенного интеграла.

Определение1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, дифференциал которой равен выражению f(x)dx. Пример: f(x) = 3х² 3х²dx F(x) = х³.

Однако дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а множество их. Рассмотрим на примере: F₁(x) = х³, F₂(x) = х³ + 4, F₃(x) = х³ - 2, в общем виде F(x) + С , где С - произвольная константа. Значит для функции f(x)= 3х² существуют множество первообразных, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым.

Определение2. Множество всех первообразных функций f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом от функций f(x) на этом промежутке и обозначается символом ∫f(x)dx .

Этот символ читается так: “интеграл от f(x) по dx”, таким образом по определению:

∫(x)dx = F(x)+C.

Символ ∫ называется знаком интеграла, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования , F(x) - какая-либо первообразная,

С - постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

d∫f(x)dx = f(x)dx.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной: ∫d F(x) = F(x) + С

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx , k-const.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от каждой из них: ∫(f₁(x)+f₂(x)-f₃(x))dx = ∫f₁(x)dx + ∫f₂(x)dx – ∫f₃(x)dx .

Основные формулы интегрирования

1. С – константа	1*.
2. ,n ≠ –1
3. +С
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Непосредственное интегрирование

Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Интегрирование методом подстановки

Это наиболее распространенный метод интегрирования сложной функции, состоящий в преобразовании интеграла с помощью перехода к другой переменной интегрирования.

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки. Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной удаётся свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берётся непосредственно.

Для интегрирования методом подстановки используют схему решения:

1. часть подынтегральной функции заменить новой переменной;

2. найти дифференциал от обеих частей замены;

3) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

4) найти полученный табличный интеграл;

5) выполнить обратную замену.

Найдите интегралы:

Пример 1 .Подстановка: cosx=t, -sinxdx = dt,

Решение:

Пример 2. ∫e^-x3x²dx Подстановка: -x³=t, -3x²dx=dt, Решение: ∫e^-x3x²dx=∫e^t(-1/3)dt=-1/3e^t+C=-1/3e^-x3+C

Пример 3. Подстановка:1+sinx=t , cosxdx=dt ,

Решение: .