1.7. Признаки сравнения положительных рядов

Будем рассматривать ряды с положительными членами

(8)

и

, (9)

где при всех.

Частичные суммы этих рядов и, соответственно, будучи составлены из положительных слагаемых, монотонно возрастают с ростом числа слагаемых.

Теорема (признак сравнения по неравенству). Пусть при всех выполняется неравенство:. Тогда:

1) если ряд (9) с бóльшими членами сходится, то ряд (8) с меньшими членами также сходится;

2) если ряд (8) с меньшими членами расходится, то ряд (9) с бóльшими членами также расходится.

Доказательство. 1. Пусть сначала ряд (9) сходится и имеет сумму ; при этом (в силу строгой монотонности последовательности) при всех:.

Ввиду неравенства , аналогичное неравенство выполняется и для частичных сумм:, так что

. (10)

Итак, последовательность частичных сумм ряда (8) монотонно возрастает и ограничена сверху числом. Тогда по теореме Вейерштрасса существует предел последовательностии ряд (8) сходится.

2. Пусть теперь ряд (8) расходится. Тогда последовательность частичных сумм неограниченно возрастает, и в силу неравенствапоследовательностьтакже неограниченно возрастает; следовательно, ряд (9) расходится. ■

Примеры. 1. Рассмотрим ряд . Сравним его с рядом, который сходится, поскольку образован геометрической прогрессией со знаменателем. Ввиду неравенства, исходный ряд также сходится.

2. Рассмотрим ряд . Сравним его с рядом, который расходится (см. пример на с. 7). Ввиду неравенства, исходный ряд также расходится.

Теорема (предельный признак сравнения). Пусть существует конечный предел

,

и ряд (9) сходится. Тогда ряд (8) также сходится.

Доказательство. Поскольку , то под знаком предела стоит положительная величина, и по теореме о предельном переходе в неравенстве. Зафиксируем. Тогда при всех, начиная с некоторого:

.

Поскольку ряд сходится (п. 1.4), то сходится также ряд; тогда по предыдущей теореме сходится ряд, а вместе с ним и ряд. ■

Замечание. Если в условии теоремы , то

,

и тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда . Итак, при ряды(8) и (9) сходятся или расходятся одновременно.

Примеры. 1. Рассмотрим ряд . Сравним его со сходящимся рядом. Поскольку

,

то ряд сходится.

2. Рассмотрим ряд . Сравним его с расходящимся рядом. Поскольку

,

то ряд расходится.

1.8. Радикальный признак сходимости Коши

Теорема. Пусть для ряда с положительными членами, существует предел. Тогда приряд сходится, а приряд расходится.

Доказательство. 1. Пусть . Выберем числотак, чтобы выполнялось неравенство. Тогда существует номертакой, что при всехвыполняется неравенство:. Ряд, образованный геометрической прогрессией со знаменателем, сходится (п. 1.3), следовательно, сходится остаток ряда , а значит и сам ряд.

2. Пусть . Тогда существует номертакой, что при всехвыполняется неравенство:; общий член ряда не стремится к нулю, следовательно, ряд расходится. ■

Замечание.При «признак не работает»: существуют примеры как сходящихся, так и расходящихся рядов с .