- •Федеральное агентство морского и речного
- •II. Понятие области
- •III. Определение функции
- •Р ис. 6
- •3. Приращения функции нескольких переменных
- •5. Частные производные
- •6. Дифференцируемость функции нескольких переменных
- •I. Понятие дифференцируемости
- •II. Формула для полного приращения
- •III. Достаточное условие дифференцируемости
- •IV. Соотношение понятий непрерывности, дифференцируемости и частных производных
- •7. Частные производные сложной функции
- •8. Полная производная сложной функции
- •9. Дифференцирование неявной функции
- •10. Уравнения касательной к пространственной линии
- •Как и в случае плоской кривой, имеет место следующее Определение. Касательной к линии в точке называется предельное положение секущей при .
- •11. Уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности
- •Уравнения нормали к поверхности
- •(Без доказательства).
- •13. Экстремумы
- •Необходимое условие экстремума
- •Определение. Точка области определения функции называется стационарной, если в этой точке существуют частные производные первого порядка, и выполняется необходимое условие экстремума:
- •II. Понятие производной по направлению
- •III. Понятие градиента
- •IV. Связь производной по направлению с градиентом
- •Литература
- •Ястребов Михаил Юрьевич математика
- •Учебное пособие
8. Полная производная сложной функции
Пусть в области задана функция двух переменных:
, (11)
у которой переменные иявляются функциями одной переменной:
. (12)
Тогда является сложной функцией одной независимой переменнойс промежуточными переменнымии:
(13)
(рис. 10).
Р ис. 10
Рассмотрим задачу нахождения производной этой сложной функции на основании уравнений (11 и (12) без использования явной записи (13).
Теорема. Пусть ,и выполняются два условия: удовлетворяет двум условиям:
1. В окрестности точки существуют частные производные , непрерывные в самой точке.
2. Функции дифференцируемы в точке .
Тогда сложная функция дифференцируема в точке, и для ее производной справедлива формула:
. (14)
Доказательство. Придадим независимой переменной в точкеприращение; оно вызовет приращенияпромежуточных переменных, которые в свою очередь вызовут приращениесложной функции. В силу непрерывности частных производных (условие 1) к приращениюприменима формула (4):
,
откуда, деля на , получаем:
. (15)
Здесь — постоянные величины для фиксированной точки. Далее, функции, будучи дифференцируемыми в точке, являются также и непрерывными в этой точке, так что
, ,
а тогда и величины в представлении (15) также стремятся к нулю.
Переходя в равенстве (15) к пределу при , получаем:
,
и далее, на основании свойств предела:
.
Пример. Пусть , где. Тогда
.
Далее,
.
Поэтому
Рассмотрим теперь случай, когда у функции двух переменных одна из переменных, например, является функцией другой:. Тогдаоказывается сложной функцией отс двумя промежуточными переменнымии.
Этот случай сводится к последней теореме, если считать, что обе промежуточные переменные являются функциями одной независимой переменной , которая в этом последнем случае играет роль переменной:
, (16)
, (17)
так что
, (18)
причем функция в общей схеме (12) является «тождественной»:.
Формула (14) при этом преобразуется к виду:
. (19)
Отметим, что полная производная в левой части (19) определяется функцией (18), а частная производнаяв первом слагаемом правой части ― функцией (16).
Пример. Пусть , причем. Тогда
, ,.
Поэтому
.
9. Дифференцирование неявной функции
Пусть в области задана функция двух переменных.
Определение. Функция в окрестноститочки,задана неявно уравнением
, (20)
если при всех из этой окрестности справедливо равенство.
Заметим, что обычное, «явное» задание функции можно рассматривать как частный случай неявного задания: ; здесь.
Теорема. Пусть для неявной функции , задаваемой уравнением, имеем, так что
, (21)
и выполняются три условия:
1. Неявная функция непрерывна в точке.
2. Функция и ее частные производныенепрерывны в точке.
3. .
Тогда неявная функция дифференцируема в точке, и
.
Доказательство. Придадим переменной в точкеприращение; оно, в свою очередь, вызовет приращениенеявной функции, и, как следствие, полное приращение функции:
.
Пара чисел , будучи аргументом и значением неявной функции, также удовлетворяет уравнению (20), то есть
. (22)
При этом в силу непрерывности функции имеем:=0.
Теперь, с одной стороны, из (21) и (22) следует
,
а с другой стороны, ввиду непрерывности частных производных, для имеет место представление (4):
с бесконечно малыми при. Таким образом,
.
Выразим отсюда :
(знаменатель в правой части отличен от нуля в малой окрестности точки ввиду условийи ). Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем:
.
Пример. Пусть неявная функция задана уравнением
;
здесь . Точкаудовлетворяет уравнению, так что для неявной функцииимеем:. Далее,
; .
Поэтому
.
и .