Эконометрика

Т а б л и ц а 4.4.2.4

Yt	14	-1	9	14	11	-4	12	3	9	-3	6
Yt 1	1	14	-1	9	14	11	-4	12	3	9	-3
Yt 2	15	1	14	-1	9	14	11	-4	12	3	9

Yt 9,478 0,480Yt 1 0,036Yt 2 .

Получили, что значение частного коэффициента автокорреляции резко падает, следовательно, для преобразованного временного ряда имеет смысл строить модель ARIMA(1,1,0).

3.2. Осуществление прогнозных расчетов по авторегрессионной модели первого порядка, построенной в п. 2.4:

Yt 9,104 0,478 Yt 1,

Yt Yt 1 9,104 0,478(Yt 1 Yt 2), Yt 9,104 (1 0,478)Yt 1 0,478Yt 2 , Yˆt 1 9,104 0,522Yt 0,478Yt 1 180, Yˆt 2 9,104 0,522Yˆt 1 0,478Yt 186.

Задание 4.4.2.2. Руководство плодово-овощного концерна «Витамин», владеющего большими яблоневыми садами в настоящее время желает заглянуть в перспективу, чтобы ответить на вопрос о целесообразности дальнейшего расширения этих садов. С этой целью было решено построить ARMA-модель, с помощью которой получить прогнозные оценки потребления яблок в следующие два года. Данные, отражающие динамику среднегодового потребления яблок населением г. Воронежа (y, т.), представлены в табл. 4.4.2.5.

Т а б л и ц а 4.4.2.5

T	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y	4980	5010	4870	4910	5860	5760	5950	6120	5050
T	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Y	5140	5830	5970	5860	5760	5950	6120	6230	6670
T	19	20	21	22	23	24	25	26
Y	6810	6740	6930	6870	7350	7680	7820	7730

Решение табличного процессора Excel

1.Ввод исходных данных и оформление их в удобном для проведения расчетов виде.

2.Настройка параметра .

2.1.Присвоение первоначального значения параметру

0,1.

91

2.2.Расчет преобразованных значений yt* по следующим

формулам:

y*	y ,	y* y	t	y*	,	t 1; 24 .
1	1	t		t 1
(Два последних значения будут использоваться в качестве
контрольной выборки для настройки параметра ).
2.3. Формирование ряда значений yt* 1,						t			.
							2; 24

2.4.Оформление полученных результатов в виде табл. 4.4.2.6.

Та б л и ц а 4.4.2.6

t	yt	yt	yt 1	t	yt	yt	yt 1
1	4980	4980		13	5860	6521,01	6610,13
2	5010	5508	4980	14	5760	6412,10	6521,01
3	4870	5420,80	5508	15	5950	6591,21	6412,10
4	4910	5452,08	5420,80	16	6120	6779,12	6591,21
5	5860	6405,21	5452,08	17	6230	6907,91	6779,12
6	5760	6400,52	6405,21	18	6670	7360,79	6907,91
7	5950	6590,05	6400,52	19	6810	7546,08	7360,79
8	6120	6779,01	6590,05	20	6740	7494,61	7546,08
9	5050	5727,90	6779,01	21	6930	7679,46	7494,61
10	5140	5712,79	5727,90	22	6870	7637,95	7679,46
11	5830	6401,28	5712,79	23	7350	8113,79	7637,95
12	5970	6610,13	6401,28	24	7680	8491,38	8113,79

2.5. Нахождение текущих значений параметров регрессии

yt* * * yt* 1 t , t 2; 24

с помощью «Пакета анализа» Excel (см. Вывод итогов 4.4.2.1).

ВЫВОД ИТОГОВ 4.4.2.1
Регрессионная статистика
Множествен-
ный R	0,900037
R-квадрат	0,810067
Нормирован-
ный R-квадрат	0,801023
Стандартная
ошибка	378,3206
Наблюдения	23
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	12819202	12819202	89,56557	5,04E-09
Остаток	21	3005655	143126,4
Итого	22	15824857
	Коэффици-	Стандарт-	t-статистика	P-Значе-ние	Нижние 95%	Верхние
	енты	ная ошибка				95%
Y-пересе-
чение	683,5531	642,6216	1,063695	0,299546	-652,852	2019,958
Переменная
X1	0,919154	0,097122	9,463909	5,04E-09	0,717178	1,12113

92

Таким образом, ˆ 683,55, ˆ 0,92, а сама модель записывается в виде

yt* 683,55 0,92yt* 1 t .

2.6. Расчет параметров регрессии для исходного ряда

	*(1 ) 683,55 1 0,1 615,20;			* 0,92.
Следовательно, модель для исходных данных записывается
в виде	yˆt 615,20 0,92yt 1 t 1			t .
2.7. Вычисление по построенной модели прогнозных значе-
ний yˆt для моментов времени t 25; 26.
2.8.	Определение суммы квадратов отклонений прогнозных
от фактических значений потребления яблок.
2.9. Оформление полученных результатов в виде табл.
4.4.2.7.				Т а б л и ц а 4.4.2.7
t	yt	yˆt		y	t	yˆ	2
						t
25	7820	7674,30				21228,71
26	7730	7802,98					5326,19
		yt yˆt 2		26554,91
2.10. Последовательное изменение параметра						в интерва-

ле (0; 1) с шагом 0,1 и проведение всех расчетов п. 2.1-2.9. Оформление промежуточных результатов в виде табл. 4.4.2.8.

						Т а б л и ц а		4.4.2.8
			0,1	0,2	0,3	0,4		0,5
yt	ˆ	2	26554,9	43026,3	78931,6	117823		138404
	yt
			0,6	0,7	0,8	0,9
yt	ˆ	2	551719	1261971	53245,1	25672,8
	yt

2.11. Уточнение параметра =0,90 с шагом 0,01 и проведение всех расчетов п. 2.1-2.9. Оформление промежуточных результатов в виде табл. 4.4.2.9.

93

							Т а б л и ц а			4.4.2.9
	0,91		0,92	0,93		0,94		0,95		0,96
yt yˆt 2	25082,25	25048,00		25615,18		26830,12	28740,29		31393,99
Таким	образом,		оптимальным		параметром			является =
0,92.

3. Построение прогнозной модели с использованием оптимального параметра = 0,92 путем последовательного выполнения шагов 2.2. – 2.6 для t 1; 26. В результате получится модель, которая записывается в виде

yˆt 358,93 0,96yt 1 t 1 t .

4. Расчет по построенной модели прогнозных оценок потребления яблок на два года

yˆn 1 358,93 0,96 7730 0,92 ( 133,57) 7900,08, yˆn 2 358,93 0,96 7730 7940,82.

4.4.3. Задания для самостоятельной работы

Задание 4.4.3.1. По данным таблицы 4.3.2.1, характеризующим объем продаж спортивного оборудования (для: 1) физического оборудования; 2) гольфа; 3) кэмпинга; 4) бейсбола; 5) тенниса) построить модели ARIMA(p, q, 0), предварительно убедившись в степени интеграции данного временного ряда и определив порядок авторегрессии. С помощью построенной модели осуществить прогнозные расчеты на два последующих периода.

Задание 4.4.3.2. Предприниматель, занимающийся реализацией цитрусовых в г. Воронеже, заинтересован в получении прогнозных оценок объемов продаж лимонов и апельсинов на следующие два месяца. С этой целью он сформировал табл. 4.4.3.1. Опытные экономисты-аналитики, к которым он обратился с таким вопросом, порекомендовали ему построить ARIMA(p, q, 0) модель, предварительно убедившись на 95%-ном уровне значимости в стационарности данного временного ряда (установив порядок интегрированности исследуемого процесса) и определив порядок авторегрессии, а затем с помощью построенной модели осуществить необходимые прогнозные расчеты.

94

Т а б л и ц а 4.4.3.1

		Объем продаж	Объем продаж		Объем продаж	Объем продаж
	Месяц		апельсинов,	Месяц		апельсинов,
		лимонов, руб.			лимонов, руб..
			руб.			руб.
	1	8800	58000	9	14800	77800
	2	10300	62100	10	15900	78300
	3	10500	66500	11	16200	78900
	4	11800	69700	12	17100	79200
	5	11600	70700	13	16800	79600
	6	12700	73800	14	17300	80200
	7	14000	74200	15	17800	81300
	8	15200	76900	16	18100	84400

Задание 4.4.3.3. В табл. 4.4.3.2 приведены данные о недельном оценки курсе акций компании ОАО «Алро» (в USD). Требуется:

1)построить график данных;

2)рассчитать коэффициенты автокорреляций и частных автокорреляций:

3)в случае необходимости преобразовать данные с тем, чтобы получить стационарный ряд;

4)построить ARIMA-модель и провести тестирование ее адекватности.

Задание 4.4.3.4. Перед аналитиком компании «Омега» поставлена задача: составить прогноз заключительных цен на акции компании. Стоимость акций постоянно меняется, то возрастая, то убывая, и руководству нужны какие-нибудь перспективные оценки для обсуждения этого вопроса на совете директоров. Данные о ценах на акции (у.е., yt ) приведены в табл. 4.4.3.3. Помогите ана-

литику компании рассчитать требуемые прогнозные оценки, построив для этих целей авторегрессионную модель.

Т а б л и ц а 4.4.3.2

	Месяц	День	Курс	Месяц	День	Курс	Месяц	День	Курс акций
			акций			акций
		6	266		5	261		1	292
	Январь	13	267	Май	12	265	Сентябрь	8	299
		20	268		19	261		15	294
		27	264		26	260		22	284
		3	263		2	257		29	277
	Февраль	10	260		9	268		6	279
		17	256	Июнь	16	270	Октябрь	13	287
		24	258		23	266		20	276
	Март	2	252		30	259		27	273

95

			10		245				7		258					3		270
			17		243		Июль		14		259		Ноябрь			10		264
			24		240				21		268					17		261
			31		238				28		276					24		268
			7		241				4		285					1		270
	Апрель		14		244		Август		11		288					8		276
			21		254				18		295		Декабрь			15		274
			28		262				25		297					22		284
																29		304
															Т	а б л и ц а 4.4.3.3
	t		yt		t		yt		t		yt		t		yt			t	yt
	1		235		14		200		27		250		40		270		53		275
	2		320		15		290		28		225		41		240		54		205
	3		115		16		220		29		125		42		275		55		265
	4		355		17		400		30		295		43		225		56		245
	5		190		18		275		31		250		44		285		57		170
	6		320		19		185		32		355		45		250		58		175
	7		275		20		370		33		280		46		310		59		270
	8		205		21		255		34		370		47		220		60		225
	9		295		22		285		35		250		48		320		61		340
	10		240		23		250		36		290		49		215		62		190
	11		355		24		300		37		225		50		260		63		250
	12		175		25		225		38		270		51		190		64		300
	13		285		26		285		39		180		52		295		65		195

Задание 4.4.3.5. По имеющимся данным объема продаж изделий микроэлектронной техники за двенадцатилетний период (см. табл. 4.3.3.4) необходимо выбрать подходящую для прогноза авторегрессионную модель и оценить объем продаж на ближайшие 6 месяцев.

Т а б л и ц а 4.4.3.4

	Год	Квартал	Объем	Год	Квартал	Объем	Год	Квартал	Объем
			продаж, $			продаж, $			продаж, $
		I	1100		I	8477		I	15155
	1991	II	3550	1995	II	5693	1999	II	30205
		III	2200		III	7115		III	38115
		IV	6014		IV	9317		IV	35720
		I	2400		I	11402		I	38400
	1992	II	3060	1996	II	18100	2000	II	49720
		III	2300		III	17550		III	59206
		IV	4850		IV	13890		IV	48126

96

		I	3950		I	11755		I	45805
	1993	II	5777	1997	II	13890	2001	II	46358
		III	5328		III	12980		III	55625
		IV	4888		IV	14346		IV	58110
		I	8930		I	18361		I	57252
	1994	II	8500	1998	II	19770	2002	II	48397
		III	9844		III	16330		III	52540
		IV	10050		IV	18809		IV	61829

5. СИСТЕМЫ РЕГРЕССИОННЫХ УРАВНЕНИЙ

5.1. Расчетные формулы

5.1.1. Необходимое условие идентификации (порядковое условие) формулируется следующим образом:

если d 1 p, то уравнение идентифицируемо; если d 1 p, то уравнение неидентифицируемо; если d 1 p, то уравнение сверхидентифицируемо,

где d – число предопределенных переменных отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе; p– число эндогенных переменных в рассматриваемом уравнении.

5.1.2.Достаточное условие идентификации (ранговое условие): ранг матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в рассматриваемом уравнении, не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

5.1.3.Оценки коэффициентов внешне не связанной системы регрессионных уравнений:

bˆ X 1X 1X 1y X Σ 1 Im X 1X Σ 1 Im y,

где Σ – ковариационная матрица между случайными составляющими регрессионных моделей, входящих в систему. В практических расчетах заменяется оценкой Σˆ , получаемой для случайных остатков.

5.1.4.Оценки коэффициентов рекурсивной системы регрессионных уравнений получаются с помощью МНК.

5.1.5.Процедура построения структурной модели с помощью косвенного МНК предполагает выполнение следующих трех этапов:

1.Преобразование структурной модели в приведенную

форму.

2.Оценивание коэффициентов каждого уравнения приведенной формы с помощью обычного МНК.

97

3. Трансформирование полученных коэффициентов приведенной формы в параметры структурной модели.

5.1.6. Процедура применения двухшагового метода осуществляется в несколько этапов:

1.Преобразование структурной модели в приведенную

форму.

2.Оценивание коэффициентов каждого уравнения приведенной формы с помощью обычного МНК.

3.Если уравнение точно идентифицируемо, то оценки коэффициентов приведенной формы, полученные на втором этапе, принимаются за структурные коэффициенты.

Если же уравнение сверхидентифицируемо, то в структурной форме его эндогенные переменные заменяются расчетными значениями, полученными из соответствующих уравнений приведенной формы, а затем применяется обычный метод наименьших квадратов.

5.2. Решение типовой задачи

Задание 5.2.1. Провести идентификацию ниже приведенной модели и по данным табл. 5.2.1 построить ее структурную форму:

y a1 b1 C D 1,

C a2 b2y b3y 1 2,

где y – валовой национальный доход;

y 1 – валовой национальный доход предшествующего года; C – личное потребление;

D– конечный спрос (помимо личного потребления);

1 и 2– случайные составляющие.

Та б л и ц а 5.2.1

Год	D	y 1	y	C	Год	D	y 1	y	C
1	-6,8	46,7	3,1	7,4	6	44,7	17,8	37,2	8,6
2	22,4	3,1	22,8	30,4	7	23,1	37,2	35,7	30,0
3	-17,3	22,8	7,8	1,3	8	51,2	35,7	46,6	31,4
4	12,0	7,8	21,4	8,7	9	32,3	46,6	56,0	39,1
5	5,9	21,4	17,8	25,8		167,5	239,1	248,4	182,7

Решение с помощью табличного процессора Excel.

1.Ввод исходных данных и оформление их в удобном для расчетов виде.

2.Определение идентифицируемости уравнений модели. В данной модели две эндогенные переменные y и C, две экзоген-

98

ные переменные y 1 и D. Второе уравнение модели точно идентифицировано, так как для него выполняется порядковое условие d 1 p (d 1, p 2).

Первое уравнение сверхидентифицировано, так как в нем в силу того, что на параметры при переменных C и D наложены ограничения (они равны между собой) и, фактически, переменная C не рассматривается как эндогенная, выполняется условие d 1 p(d 1, p 1).

Достаточное условие идентификации (ранговое условие) для каждого уравнение очевидным образом выполняется. Следовательно, второе уравнение можно построить с помощью МНК, а первое уравнение – с помощью двухшагового МНК.

3. Расчет коэффициентов уравнений приведенной формы

y d10 d11D d12 y 1,

Cd20 d21D d22 y 1,

спомощью пакета анализа данных Excel и оформление ре-

зультатов в виде табл. 5.2.2.

				Т а б л и ц а 5.2.2
	Показатели		1-е уравнение	2-е уравнение
	Константа		8,218	8,636
	Коэффициенты регрессии	d1	0,669	0,338
		d2	0,261	0,202
	Стандартная ошибка	s1	0,137	0,195
		s2	0,195	0,277
	Множественный R		0,902	0,615
	Число наблюдений		9	9
	Число степеней свободы		6	6
	F – критерий		13,120	1,827

4. Получение расчетных значений эндогенной переменной Cˆ по второму уравнению построенной приведенной формы и расчет значений Cˆ D. Оформление результатов в виде табл. 5.2.3.

99

				Т а б л и ц а 5.2.3
Год	D	Cˆ	D Cˆ		y
1	-6,8	15,767	8,967		3,1
2	22,4	16,842	39,242		22,8
3	-17,3	7,386	-9,914		7,8
4	12,0	14,272	26,272		21,4
5	5,9	14,955	20,855		17,8
6	44,7	27,358	72,058		37,2
7	23,1	23,967	47,067		35,7
8	51,2	33,173	84,373		46,6
9	32,3	28,979	61,279		56,0
	167,5	182,7	350,2		248,4

4. Построение первого уравнения структурной формы по данным табл. 5.2.3 с помощью пакета «Анализ данных» и оформление результатов расчета в виде табл. 5.2.4.

	Т а б л и ц а 5.2.4
Показатели	Значения
Константа	7,688
Коэффициент регрессии	0,512
Стандартная ошибка	0,099
Множественный R	0,891
Число наблюдений	9
Число степеней свободы	6
F - критерий	26,879

Таким образом, первое уравнение структурной формы записывается в виде

y7,688 0,512 C D .

6.Получение второго уравнения структурной формы по коэффициентам приведенной формы.

Определим D из первого уравнения приведенной формы

D y 8,218 0,261y 1 0,669

и подставим его в первое уравнение приведенной формы. Получим

	0,338 8,218			0,338				0,338 0,261
C 8,636						y	0,202		y
	0,669			0,669
								0,669		1

4,484 0,505y 0,070y 1.

100