Эконометрика

6.	14400	14891,52	241587,14	21.	11200	10976,36	50013,22
7.	15000	15674,55	455011,57	22.	12100	11759,39	116012,49
8.	15900	16457,58	310890,73	23.	13200	12542,42	432405,88
9.	16900	17240,61	116012,49	24.	13600	13325,45	75375,21
10.	17200	18023,64	678376,86	25.	14200	14108,48	8375,02
11.	10900	10976,36	5831,40	26.	15300	14891,52	166859,87
12.	11700	11759,39	3527,64	27.	16400	15674,55	526284,30
13.	12600	12542,42	3314,97	28.	16900	16457,58	195739,21
14.	13300	13325,45	647,93	29.	18100	17240,61	738557,94
15.	14000	14108,48	11768,96	30.	18500	18023,64	226922,31

4. Построение графика квадратов остатков (см. рис. 3.1.2.1). График зависимости квадратов остатков регрессии от независимой переменной имеет вид, вынуждающий предполагать гетероскедастичность.

Ри с. 3.1.2.1. График зависимости квадратов остатков от величины дохода

5.Проверка данных с помощью теста Уайта.

5.1.Вычисление xi2 и построение регрессионного уравнения (см. Вывод итогов 3.1.2.2) ei2 0 1xi 2xi2 vi .

5.2.Расчет nR2 30 0,19 5,82 и сравнение этой величины с крити-

ческим значением 2 1 3,84. Результаты сравнения позволяют отвергнутьнуль-гипотезу(отсутствиегетероскедастичности).

ВЫВОД ИТОГОВ 3.1.2.2

Регрессионная статистика

Множественный R	0,440291
R-квадрат	0,193856
Нормированный R-	0,134142
квадрат
Стандартная ошибка	190982,8

41

Наблюдения	30
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	2,37E+11	1,18E+11	3,246397	0,054521
Остаток	27	9,85E+11	3,65E+10
Итого	29	1,22E+12
	Коэффи-	Стандартная	t-статис-	P-	Нижние	Верхние
	циенты	ошибка	тика	Значение	95%	95%
Y-пересечение	427676,8	1283048	0,333329	0,741461	-2204919	3060273
Переменная X 1	-64,7853	158,8192	-0,40792	0,68655	-390,655	261,0846
Переменная X 2	0,002874	0,004799	0,598982	0,554178	-0,00697	0,01272

6.Проверка данных с помощью теста Бреуша – Пагана. 6.1. Вычисление оценки дисперсии

		ˆ2	1/n e2 4948727,27:30 164957,58.
6.2. Расчет e			2 / ˆ2			t
					и построение регрессионного уравнения (см.
		i
			ˆ		2	/ ˆ	2	0		1xi vi.
Вывод итогов 3.1.2.3) yˆ					ei
ВЫВОД ИТОГОВ 3.1.2.3
Регрессионная статистика
Множественный R		0,427954
R-квадрат		0,183144
Нормированный R-
квадрат		0,153971
Стандартная ошиб-
ка		1,144436
Наблюдения			30
Дисперсионный анализ
		df				SS				MS	F	Значимость F
Регрессия		1				8,222216				8,222216	6,27778	0,018316
Остаток			28			36,67252				1,309733
Итого			29			44,89474
		Коэффи-			Стандартная					t-статис-	P-	Нижние	Верхние
		циенты			ошибка					тика	Значение	95%	95%
Y-пересечение		-2,0074				1,218345				-1,64764	0,110604	-4,50307	0,488272
Переменная X 1		0,000182				7,27E-05				2,50555	0,018316	3,33E-05	0,000331

6.3. Вычисление среднего, расчетных значений, квадратов отклонений расчетных значений от среднего и RSS как суммы квадратов этих отклонений. Оформление результатов расчетов в виде табл. 3.1.2.3.

42

Т а б л и ц а 3.1.2.3

			e2											e2
№ п.п.					yˆ	ˆ		ˆ			№ п.п.					yˆ	ˆ		ˆ
			i											i
	y				ˆ	yˆ	yˆ			2		y				ˆ	yˆ	yˆ			2
			ˆ2											ˆ2
1.	10700	0,4630			0,1798	0,6727					16.	14900	0,0004			1,0911	0,0083
2.	11400	0,7830			0,3621	0,4070					17.	15700	0,0039			1,2734	0,0747
3.	12300	0,3563			0,5443	0,2076					18.	16500	0,0109			1,4557	0,2076
4.	13000	0,6421			0,7266	0,0747					19.	17500	0,4079			1,6379	0,4070
5.	13800	0,5769			0,9089	0,0083					20.	17800	0,3032			1,8202	0,6727
6.	14400	1,4645			1,0911	0,0083					21.	11200	0,3032			0,1798	0,6727
7.	15000	2,7584			1,2734	0,0747					22.	12100	0,7033			0,3621	0,4070
8.	15900	1,8847			1,4557	0,2076					23.	13200	2,6213			0,5443	0,2076
9.	16900	0,7033			1,6379	0,4070					24.	13600	0,4569			0,7266	0,0747
10.	17200	4,1124			1,8202	0,6727					25.	14200	0,0508			0,9089	0,0083
11.	10900	0,0354			0,1798	0,6727					26.	15300	1,0115			1,0911	0,0083
12.	11700	0,0214			0,3621	0,4070					27.	16400	3,1904			1,2734	0,0747
13.	12600	0,0201			0,5443	0,2076					28.	16900	1,1866			1,4557	0,2076
14.	13300	0,0039			0,7266	0,0747					29.	18100	4,4773			1,6379	0,4070
15.	14000	0,0713			0,9089	0,0083					30.	18500	1,3756			1,8202	0,6727
																СРЗНАЧ		RSS
																1,0000	8,2222

6.4. Вычисление статистики RSS/2 = 8,22/2 = 4,11. При нулевой гипотезе отсутствия гетероскедастичности эта статистика имеет рас-

пределение 2 1 , 95%-критическое значение которой равно 3,84. Поскольку 4,11 > 3,84, гипотеза о гомоскедастичности отвергается.

Задание 3.1.2.2. По данным табл. 3.1.2.4 постройте линейную регрессионную модель, характеризующую зависимость показателя y от факторов x1 и x2.

Т а б л и ц а 3.1.2.4

№	x1	x2	y	№	x1	x2	y
1.	13	43	79	11.	58	161	207
2.	28	56	110	12.	23	108	152
3.	33	24	97	13.	69	86	199
4.	42	98	171	14.	8	143	144
5.	12	176	204	15.	60	42	140
6.	44	124	174	16.	11	199	183
7.	36	130	184	17.	26	145	178
8.	33	291	311	18.	61	115	185
9.	34	141	206	19.	18	111	152
10.	21	95	128	20.	30	192	204

Построение модели следует начать с тестирования на гетероскедастичность. Считая наиболее вероятной ситуацию с двухуровневой дисперсией, используйте для проверки тест Голдфельда – Куандта. Если проверкой будет установлена неоднородность данных, то при

43

построении модели примените многоэтапную процедуру оценивания ее коэффициентов с помощью доступного МНК.

Решение с помощью табличного процессора Excel

1.Ввод исходных данных.

2.Проверка данных с помощью теста Голдфельда – Куандта. 2.1. Упорядочивание исходных данных по переменной x2 в

предположении, что уровень дисперсии зависит от этой переменной, и удаление шести наблюдений, оказавшихся в середине выборки. Представление результатов в виде табл. 3.1.2.5.

Т а б л и ц а 3.1.2.5

№	x1	x2	y	№	x1	x2	y
1.	33	291	311	14.	42	98	171
2.	11	199	183	15.	21	95	128
3.	30	192	204	16.	69	86	199
4.	12	176	204	17.	28	56	110
5.	58	161	207	18.	13	43	79
6.	26	145	178	19.	60	42	140
7.	8	143	144	20.	33	24	97

2.2. Построение по упорядоченным данным двух регрессионных уравнений по первым семи наблюдениям (первое регрессионное уравнение, см. Вывод итогов 3.1.2.4) и по последним семи наблюдениям (второе регрессионное уравнение, см. Вывод итогов 3.1.2.5).

ВЫВОД ИТОГОВ 3.1.2.4
	Регрессионная статистика
Множественный R			0,965091
R-квадрат			0,931401
Нормированный R-			0,897101
квадрат
Стандартная ошибка			16,65463
Наблюдения			7
Дисперсионный анализ
			df		SS	MS		F	Значимость F
Регрессия		2		15064,2081		7532,104	27,1548		0,0047059
Остаток		4		1109,50616		277,3765
Итого		6		16173,7143
		Коэффици-		Стандартная		t-статис-		P-	Нижние		Верхние
			енты		ошибка	тика	Значение		95%		95%
Y-пересечение			13,86422	26,6435024		0,52036	0,630286		-60,11015		87,838598
Переменная X 1			0,889493	0,39236032		2,267031	0,086009		-0,199876		1,978862
Переменная X 2			0,89948	0,13496104		6,66474	0,002633		0,524767		1,274193
	ВЫВОД ИТОГОВ 3.1.2.5
	Регрессионная статистика
	Множественный R		0,99412
	R-квадрат		0,988274
	Нормированный R-квадрат		0,982411
	Стандартная ошибка		5,576546
	Наблюдения			7

44

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	10483,6085	5241,804	168,5583	0,000138
Остаток	4	124,391476	31,09787
Итого	6	10608
	Коэффици-	Стандартная			Нижние	Верхние
	енты	ошибка	t-статис-тика	P-Значение	95%	95%
Y-пересечение	23,49446	6,3630766	3,692312	0,020976	5,827693	41,161232
Переменная X 1	1,476582	0,11317714	13,04665	0,000199	1,162351	1,7908128
Переменная X 2	0,826054	0,07856709	10,51399	0,000463	0,607916	1,0441916
2.3. Получение расчетных значений и вычисление остатков e1 и
e2, с помощью которых составляется статистика Fрасч e1e1						/e2e2 .

Оформление результатов в виде табл. 3.1.2.6.

							Т а б л и ц а 3.1.2.6
№		x1	x2		y	yˆ		(y yˆ)2
1.		33	291		311	304,97		36,41
2.		11	199		183	202,65		385,93
3.		30	192		204	213,25		85,55
4.		12	176		204	182,85		447,46
5.		58	161		207	210,27		10,70
6.		26	145		178	167,42		112,03
7.		8	143		144	149,61		31,43
						e1e1=1109,51
14.		42	98		171	166,46		20,57
15.		21	95		128	132,98		24,78
16.		69	86		199	196,42		6,66
17.		28	56		110	111,10		1,21
18.		13	43		79	78,21		0,62
19.		60	42		140	146,78		46,02
20.		33	24		97	92,05		24,53
						e2e2=124,39
	Fрасч e1e1 /e2e2			1109,51/124,39 8,92;			Fc 4, 4 6,39.

Так как Fрасч Fc , то гипотеза H0 отвергается и, следовательно, в

данных наблюдается гетероскедастичность с двухуровневой дисперсией. Поэтому для построения регрессии по данным табл. 3.1.2.4 необходимо применить многоэтапную процедуру доступного МНК.

3. Построение регрессии с помощью доступного взвешенного МНК.

3.1.Построение регрессии обычным МНК по данным табл.

3.1.2.4(см. Вывод итогов 3.1.2.6).

45

ВЫВОД ИТОГОВ 3.1.2.6
Регрессионная статистика
Множественный R	0,968969836
R-квадрат	0,938902544
Нормированный R-
квадрат	0,931714608
Стандартная ошибка	13,07464604
Наблюдения	20
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	44658,7117	22329,36	130,622	4,8E-11
Остаток	17	2906,08827	170,9464
Итого	19	47564,8
	Коэффици-	Стан-	t-статис-	P-	Нижние	Верхние
		дартная
	енты	ошибка	тика	Значение	95%	95%
Y-пересечение	36,78068243	9,43676522	3,897594	0,001158	16,87082	56,690545
Переменная X 1	1,191842832	0,16975113	7,021119	2,06E-06	0,833699	1,5499869
Переменная X 2	0,760391162	0,04869436	15,61559	1,63E-11	0,657655	0,8631274

3.2. Получение расчетных оценок yˆi и вычисление абсолютных значений отклонений. Оформление результатов в виде табл. 3.1.2.7.

Т а б л и ц а 3.1.2.7

№	x	x		y	yрасч	y yрасч		y yрасч
	1		2
-1-	-2-	-3-		-4-	-5-	-6-	-7-
1.	13	43		79	84,971	-5,971	5,971
2.	28	56		110	112,734	-2,734	2,734
3.	33	24		97	94,361	2,639	2,639
4.	42	98		171	161,356	9,644	9,644
5.	12	176		204	184,912	19,088	19,088
6.	44	124		174	183,510	-9,510	9,510
7.	36	130		184	178,538	5,462	5,462
8.	33	291		311	297,385	13,615	13,615
9.	34	141		206	184,518	21,482	21,482
10.	21	95		128	134,047	-6,047	6,047
11.	58	161		207	228,331	-21,331	21,331
12.	23	108		152	146,315	5,685	5,685
13.	69	86		199	184,411	14,589	14,589
14.	8	143		144	155,051	-11,051	11,051
15.	60	42		140	140,228	-0,228	0,228
16.	11	199		183	201,209	-18,209	18,209
17.	26	145		178	178,025	-0,025	0,025
18.	61	115		185	196,928	-11,928	11,928
19.	18	111		152	142,637	9,363	9,363
20.	30	192		204	218,531	-14,531	14,531

46

3.3. Деление наблюдений с помощью Автофильтра на две группы I1 и I2 со значениями остатков, по абсолютной величине превосходящих и не превосходящих заданный уровень. (Анализ последнего столбца табл. 3.1.2.7 позволил в качестве такого уровня выбрать 7.)

3.4. Расчет среднеквадратических ошибок по остаткам, не превосходящих заданный уровень, и среднеквадратических ошибок по остаткам, превосходящих заданный уровень.

S		1		e	2	1/ 2	4,31;	S			1			e		2	1/2	15,16.
									2
1			1	i								n	2		i
				1										i I	2
			n	i I

3.5.Преобразование исходных данных путем деления зависимой

инезависимых переменных каждого наблюдения первой группы на S1 , а второй группы – на S2 и оформление результатов в виде табл.

3.1.2.8.

Т а б л и ц а 3.1.2.8

№	x	x	2	y	x1 /S	x	2	/S		y/S
	1
1.	13	43		79	3,014	9,968				18,314
2.	28	56		110	6,491	12,982				25,500
3.	33	24		97	7,650	5,564				22,487
4.	42	98		171	2,771	6,465				11,281
5.	12	176		204	0,792	11,611				13,458
6.	44	124		174	2,903	8,180				11,479
7.	36	130		184	8,346	30,137				42,655
8.	33	291		311	2,177	19,198				20,517
9.	34	141		206	2,243	9,302				13,590
10.	21	95		128	4,868	22,023				29,673
11.	58	161		207	3,826	10,621				13,656
12.	23	108		152	5,332	25,037				35,237
13.	69	86		199	4,552	5,674				13,128
14.	8	143		144	0,528	9,434				9,500
15.	60	42		140	13,909	9,736				32,455
16.	11	199		183	0,726	13,128				12,073
17.	26	145		178	6,027	33,614				41,264
18.	61	115		185	4,024	7,587				12,205
19.	18	111		152	1,187	7,323				10,028
20.	30	192		204	1,979	12,666				13,458

3.6. Построение регрессионной модели по преобразованным данным табл. 3.1.2.8 Использование преобразованных данных для построения регрессионной модели эквивалентно применению взвешенного МНК к исходным данным (см. Вывод итогов 3.1.2.7).

ВЫВОД ИТОГОВ 3.1.2.7

47

Регрессионная статистика
Множественный R	0,985102
R-квадрат	0,970425
Нормированный R-квадрат	0,966946
Стандартная ошибка	1,948194
Наблюдения	20
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	2117,1754	1058,588	278,9088	1,01E-13
Остаток	17	64,5228463	3,795462
Итого	19	2181,69825
	Коэффици-	Стандартная	t-статис-	P-	Нижние	Верхние
	енты	ошибка	тика	Значение	95%	95%
Y-пересечение	0,148364	0,95183574	0,155871	0,877971	-1,85984	2,1565644
Переменная X 1	1,818385	0,14250896	12,75979	3,91E-10	1,517717	2,1190528
Переменная X 2	0,915585	0,05632975	16,25403	8,6E-12	0,79674	1,034431

Таким образом, уравнение регрессии, построенное с учетом гетероскедастичности, имеет вид

y 0,148 1,818x1 0,916x2 .

3.1.3. Задания для самостоятельной работы

Задание 3.1.3.1. По данным табл. 3.1.3.1 построить линейную регрессионную модель, характеризующую зависимость показателя y от факторов x1, x2 и x3. Построение модели начать с тестирования на гетероскедастичность. Считая наиболее вероятной ситуацию зависимости дисперсии ошибки от независимых переменных x1и x2 , использовать для проверки тест Бреуша – Пагана. Если проверкой будет установлена неоднородность данных, то при построении модели применить многоэтапную процедуру оценивания ее коэффициентов с помощью доступного МНК.

Задание 3.1.3.2. В табл. 3.1.3.2 приведены числовые данные о государственных расходах на образование (y, млрд. у.е.) и валовом внутреннем продукте (х, млрд. у.е.) для 34 стран. Проверьте эти данные на наличие гетероскедастичности, используя критерий Гольдфельда – Куандта. В случае подтверждения гипотезы о присутствии гетероскедастичности примените для построения модели, отражающей зависимость расходов на образование от ВВП, взвешенный метод наименьших квадратов.

48

Т а б л и ц а 3.1.3.1

№	x1	x2	x3	y	№	x1	x2	x3	y
1.	123	53	538	1882	9.	153	25	782	2565
2.	122	83	734	2006	10.	164	23	627	1757
3.	143	48	605	2083	11.	193	93	945	3055
4.	159	29	864	2388	12.	151	119	590	1636
5.	133	42	703	2334	13.	148	33	770	2529
6.	183	69	457	1310	14.	103	88	574	1563
7.	139	141	565	1983	15.	140	114	344	1389
8.	162	51	390	1117	16.	129	31	449	1254

					Т а б л и ц а 3.1.3.2
№	у	Х	№	у		х
1.	0,34	5,67	18.	5,31		101,65
2.	0,22	10,13	19.	6,40		115,97
3.	0,32	11,34	20.	7,15		119,49
4.	1,23	18,88	21.	11,22		124,15
5.	1,81	20,94	22.	8,66		140,98
6.	1,02	22,16	23.	5,56		153,85
7.	1,27	23,83	24.	13,41		169,38
8.	1,07	24,67	25.	5,46		186,33
9.	0,67	27,56	26.	4,79		211,78
10.	1,25	27,57	27.	8,92		249,72
11.	0,75	40,15	28.	18,90		261,41
12.	2,80	51,62	29.	15,95		395,52
13.	4,90	57,71	30.	29,90		534,97
14.	3,50	63,03	31.	33,59		655,29
15.	4,45	66,32	32.	38,62		815,00
16.	1,60	66,97	33.	61,61		1040,45
17.	4,26	76,88	34.	181,30		2586,40

Задание 3.1.3.3. Проверьте данные, представленные в табл. 3.1.3.3, на наличие гетероскедастичности, используя тест: 1) Уайта; 2) Бреуша – Пагана.

Т а б л и ц а 3.1.3.3

№ п.п.	x	y	№ п.п.	x	y
1.	10,00	110,00	11.	15,00	111,64
2.	10,50	110,66	12.	15,50	119,65
3.	11,00	110,06	13.	16,00	126,36
4.	11,50	112,83	14.	16,50	125,12
5.	12,00	112,92	15.	17,00	121,76
6.	12,50	113,17	16.	17,50	125,98
7.	13,00	108,35	17.	18,00	122,87
8.	13,50	120,18	18.	18,50	117,34
9.	14,00	115,07	19.	19,00	109,94
10.	14,50	117,08	20.	19,50	120,50

49

Задание 3.1.3.4. В табл. 3.1.3.4 приведены данные о государственных расходах (G, млрд. долл.), инвестициях (I, млрд. долл.), валовом внутреннем продукте (Y, млрд. долл.) для 30 стран. Исследователь изучает, происходит ли «вытеснение» инвестиций государственными расходами. С этой целью ему необходимо построить регрессионное уравнение, отражающее зависимость величины инвестиций от государственных расходов и ВНП. Выполните задачу, поставленную перед исследователем. Проведите тестирование ошибок уравнения множественной регрессии на гетероскедастичность. Указание: используйте тест Голдфельда – Куандта, упорядочив данные по возрастанию Y. В случае обнаружения гетероскедастичности постройте регрессионное уравнение, применив взвешенный МНК.

Т а б л и ц а 3.1.3.4

Страна	I	G	Y	Страна	I	G	Y
Австралия	94,5	75,5	407,9	Нидерланды	73,0	49,9	360,5
Австрия	46,0	39,2	206,0	Новая Зеландия	12,9	9,9	65,1
Канада	119,3	125,1	631,2	Норвегия	35,3	30,9	153,4
Чехия	16,0	10,5	52,0	Филиппины	20,1	10,7	82,2
Дания	34,2	42,9	169,3	Польша	28,7	23,4	135,6
Финляндия	20,2	25,0	121,5	Португалия	25,6	19,9	102,1
Франция	255,9	347,2	1409,2	Россия	84,7	94,0	436,0
Германия	422,5	406,7	2102,7	Сингапур	35,6	9,0	95,9
Греция	24,0	17,7	119,9	Испания	109,5	86,0	532,0
Исландия	1,4	1,5	7,5	Швеция	31,2	58,8	227,8
Ирландия	14,3	10,1	73,2	Швейцария	50,2	38,7	256,0
Италия	190,8	189,7	1145,4	Таиланд	48,1	15,0	153,9
Япония	1105,9	376,3	3901,3	Турция	50,2	23,3	189,1
Южная Корея	154,9	49,3	442,5	Великобритания	210,1	230,7	1256,0
Малайзия	41,6	10,8	97,3	США	1517,7	1244,1	8110,9

Задание 3.1.3.5. Табл. 3.1.3.5 содержит данные об уровнях запасов I, объемах продаж S (млн. долл.) и процентных ставках по кредитам R в 35 фирмах некоторой отрасли. Постройте регрессия I на S и R; проведите тестирование на гетероскедастичность. В случае если будет выявлена гетероскедастичность, осуществите соответствующую корректировку, предполагая, что дисперсия ошибки пропорциональна S2 . Указание: если после такой корректировки в остатках снова обнаружится гетероскедастичность, попробуйте применить более сложную (экспоненциальную) модель t2 exp( 0 1Rt 2 St ).

50