Красоленко_Сванидзе_Якунина_Теория вероятностей_2013

Вусловияхзадачи3.1предполагаем,чтонаудачувзятаясосклада деталь оказалась бракованной. Тогда вероятность того, что эта бракованнаядетальпоступиланаскладспервойлинии,поформулеБайеса будет следующей:

		P(H1)P(B /H1)			2		0,003
P(H1	/B) =		≈	11					≈ 0,176.
		P(B)			0,0031

Ответ. Вероятность того,что бракованная деталь поступила на склад с первой линии, равна Р(H1 /B) 0,176.

Решение задачи № 4

Случайнаявеличина(с.в.)Хназываетсядискретной,еслимножество ее возможных значений конечно или счетно (то есть все возможные значения с.в. Х можно занумеровать натуральными числами).

В наших задачах множество возможных значений дискретной с.в. Х конечно.

Пусть x1, x2, …, xn – множество всех различных значений с.в. Х,

а pk = P{X = xk }= P{ω: X{ω}< xk }, где 1						k n.
Таблица
	X	x1	x2		xn−1	xn
	P	p1	p2		pn−1	pn

называетсязакономраспределенияс.в.Хвтабличнойформеилирядом распределения.

В данной таблице все возможные различные значения x1, …, xn дискретной с.в. Х расположены по возрастанию, а в нижней строке – соответствующие им вероятности p1, …, pn. Имеет место равенство

p1 + … + pn = 1, так как события {X = x1}, ,{X = xn } несовместны

иобразуют полную группу.

Внашейзадачедискретнаяслучайнаявеличина Х заданарядом распределения

X	–3	–1	0	2	4
P	0,1	0,2	?	0,3	0,1

Решение 4.а)

Дискретная случайная величина Х принимает следующие значения:

x1 = −3, x2 = −1, x3 = 0 , x4 = 2 , x5 = 4

с вероятностями

p1 = 0,1; p2 = 0,2; p3 = ?; p4 = 0,3; p5 = 0,1

соответственно.

Для определения вероятности p3 = P{X = 0} воспользуемся равенством p1 + … + p5 = 1, из которогоследует, что

p3 =1 − p1 − p2 − p4 − p5 =1 −0,1 −0,2 −0,3 −0,1 = 0,3.

Таким образом, ряд распределения дискретной случайной величины Х принимает вид

X –3 –1 0 2 4

P 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

Решение 4.б)

МатематическоеожиданиеMX идисперсияDX дискретнойслучайной величины Х определяются следующим образом:

n
MX = ∑xk pk = x1 p1 + + xn pn ,
k =1
	n
DX = M (X − MX )2	= ∑(xk − MX )2 pk .

k =1

Применяя эти формулы, находим

MX = x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 + x4 p4 + x5 p5 =

= (−3) 0,1 +(−1) 0,2 +0 0,3 + 2 0,3 + 4 0,1 = 0,5,

20

21

DX = (x1 − MX )2 p1 + +(x5 − MX )2 p5 =

=(−3 −0,5)2 0,1 + (−1 −0,5)2 0,2 +(0 −0,5)2 0,3 +

+(2 −0,5)2 0,3 + (4−0,5)2 0,1 = 3,65.

Замечание. Для вычисления дисперсии случайной величины Х часто используют формулу

DX = M (X 2 )−(MX )2 .

Составим ряд распределения случайной величиныХ 2 (таблица).

	X 2	0	1		4	9	16
	P	0,3	0,2		0,3	0,1	0,1
При составлении этой таблицы мы воспользовались тем, что
событие {X 2 = xk2}={X = xk } и,					следовательно, P{X 2 = xk2}=
= P{X = xk }= pk , где 1		k	5.

Математическое ожидание случайной величины Х 2:

M (X 2 ) = 0 0,3 +1 0,2 + 4 0,3 + 9 0,1 +16 0,1 = 3,9.

Таким образом, дисперсия с.в. Х будет следующей:

DX = M (X 2 )−(MX )2 =3,9−0,25 =3,65.

Решение 4.в)

Функция

FX (x) = F(x) = P{ω: X (ω) < x}= P{X < x},

определенная для всех вещественных чисел х, называется функцией распределения вероятностей (или, короче, функцией распределения)

с.в. Х.

Функция распределения дискретной с.в. Х является ступенчатой (рис. 1), причем в точках разрыва F(x) величины скачков равны вероятностям p1, …, pn, соответствующих значениям x1, …, xn с.в. Х.

F (x)

1				pn
		p2
	p1
0	x1	x2 x3	xn−1	xn	x

Рис. 1. График функции распределения дискретной случайной величины X

Функцияраспределениядискретнойс.в.Х,графиккоторойизображен на рис. 1, имеет следующее аналитическое представление:

0,			если
p ,			если
1
	+ p2	,	если
p1
F(x) =
n−1
∑ pk ,			если
k=1
			если
1,

−∞ < x ≤ x1 ; x1 < x ≤ x2 ; x2 < x ≤ x3 ;

xn−1 < x ≤ xn ; xn < x < +∞.

В нашей задаче функция распределения дискретной с.в. Х имеет вид

0,	если	−∞ < x ≤ −3;
0,1,	если	−3 < x ≤ −1;
	если	−1 < x ≤ 0;
0,3,
F(x) =	если	0 < x ≤ 2;
0,6,
0,9,	если	2 < x ≤ 4;
	если	4 < x < +∞.
1,

Ее график изображен на рис. 2.

22

23

F(x)

1

	0,9
	0,6
		0,3
	0,1
–3	–1 0	2	4	x

Рис. 2. График функции распределения дискретной случайной величины X из задачи 4

Решение 4.г)

Так как {X > −1} ={X = 0} {X = 2} {X = 4} и события несовместны, то

P{X > −1}= P{X = 0}+ P{X = 2}+ P{X = 4}=

= 0,3 +0,3 +0,1 = 0,7.

Решение задачи № 5.1

Случайная величина (с.в.) Х называется непрерывной, если ее

функция распределения F(x) является непрерывной функцией аргу-

мента х.

Если функция распределения F(x) имеет кусочно-непрерывную производную

f (x) = F' (x),

то эта производная называется плотностью распределения вероятностей (или, короче, плотностью распределения) с.в. Х.

Случайная величина, у которой существует плотность распре-

деления, называется абсолютно непрерывной.

Замечание. Кроме абсолютно непрерывных с.в. существуют не-

прерывныес.в.,называемыесингулярными,которыенеимеютплотностираспределения.Вдальнейшемтакиес.в.нерассматриваются,апод непрерывнымис.в.будемподразумеватьабсолютнонепрерывныес.в.

Решение 5.1.a)

Значение параметра а найдем из условия непрерывности функции распределения F(x). Для этого рассмотрим поведение функции

F(x) в окрестности точек x = 1 и x = π2 .

В каждой из этих точек выполняются следующие равенства:

lim F(x) = 0 = lim F(x)
x→0−	x→0+

lim F(x) = a = lim F(x)

x→π2 − x→π2 +

=0 = F(0) = 0,

=1 = F π = a.

2

Первое соотношение означает, что точка х = 0 является точкой непрерывности функции F(x). Из второго соотношения следует, что

точка x = π2 будет точкой непрерывности функции F(x), если а = 1. График функции распределения F(x) изображен на рис. 3.

F(x)

1

0 π x

2

Рис. 3. График функции распределения непрерывной случайной величины X из задач 5.1 и 5.2

Решение 5.1.б)

Найдем плотности распределения f(x), используя формулу связи ее с функцией распределения F(x):

24

25

f (x) = F'(x),
таким образом,
	если	−∞ < x ≤ 0;
0,
				π
	если	0 < x <			;
f (x) = sin x,				2
		π
	если		< x < +∞.
0,		2

График плотности распределения f(x) изображен на рис. 4. f (x)

1

0 π x

2

Рис. 4. График плотности распределения непрерывной случайной величины X из задач 5.1 и 5.2

Решение 5.1.в)

Математическое ожидание случайной величины Х вычисляется по формуле

+∞

MX = ∫x f (x)dx.

−∞

Так как плотность распределения f(x) – кусочно-заданная функция, то, используя свойство аддитивности определенного интеграла, получаем

	π		π
0	2	+∞	2
MX = ∫x 0 dx + ∫xsin x dx +		∫x 0 dx = ∫xsin x dx.
−∞	0	π	0

Последний интеграл вычислим с2помощью формулы интегри-

рования по частям

b	b
∫u(x)d v(x) =u(x)v(x)	ba − ∫v(x)d u(x),
a	a

где функции u(x) и v(x) – непрерывно дифференцируемые функции на интервале (а, b).

Положим

	u(x) = x,				d u(x) = d x,
	d v(x) = sin x d x,				v(x) = ∫sin x d x = −cos x.
Тогда
π		π	π					π
2			2			π	+0 cos 0 +sin x
∫xsin x dx = −x cos x		2	+ ∫cos x d x = −πcos					2 =
0		0	0		2	2		0
			= sin	π	−sin 0 =1.
				2

Таким образом, MX = 1.

ВычислимдисперсиюслучайнойвеличиныХ, используя формулу

DX = M (X 2 )−(MX )2 .

Математическое ожидание случайной величины Х2

+∞

M (X 2 ) = ∫x2 f (x)dx.

−∞

В нашем случае

	π		π
0	2	+∞	2
M (X 2 ) = ∫x2	0 dx + ∫x2 sin x dx +	∫x2	0 dx = ∫x2 sin x dx.
−∞	0	π	0
		2

26

27

Последний интеграл

π

M (X 2 ) = ∫2 x2 sin x dx

0

вычислим, применяя формулу интегрирования по частям два раза. Сначала положим

u(x) = x2 ,

d v(x) = sin x d x,

Тогда

π

∫2 x2 sin x dx = −x2 cos x

0

Затем, полагая

		d u(x) = 2x d x,
	v(x) = ∫sin x d x = −cos x.
π	π	π
	2	2
2	+ ∫	2x cos x d x = 2∫x cos x d x.
0	0	0

u(x) = x,		d u(x) = d x,
d v(x) = cos x d x,		v(x) = ∫cos x d x =sin x,
применяем еще раз формулу интегрирования по частям.
В результате получаем
π	π		π	π
2	2			2
∫x2 sin x dx = 2	∫x cos x d x = 2 (xsin x		2	− ∫sin x d x ) =
0	0		0	0

= 2 (	π	+cos x		π	)	= 2 (	π	−1) = π−2.
				2
	2			0			2

Таким образом,

DX = M (X 2 )−(MX )2 = π− 2 −1 = π−3.

Решение 5.1.г)

Найдем вероятность P π4 ≤ X < π2 , используя следующую

формулу:

P(α ≤ X <β) =F(β)− F(α).

В результате получаем

π

π

π

π

π

π

π

2

P

≤ X <

= F

− F

= 1−cos

− 1−cos

= cos

=

.

4

4

2

4

4

2

2

2

Решение задачи № 5.2

Решение 5.2.a)

Значение параметра a найдем из условия нормировки плотности распределения f(x)

		+∞
		∫ f (x)dx =1.
В нашей задаче		−∞
		π
+∞	0			+∞
∫ f (x)d x = ∫0 dx + a ∫2 sin x dx + ∫0 dx
−∞	−∞	0		π
				2
		π	π
	= a(−cos x	2 ) = a (−cos		+cos 0)
		0	2

π

= a ∫2 sin x dx =

0

= a =1.

Таким образом, параметр a = 1.

График плотности распределения f(x) изображен на рис. 4.

Решение 5.2.б)

ФункцияраспределенияF(x)связанасплотностьюраспределения f(x) с помощью следующего равенства:

x

F(x) = ∫ f (t)dt .

−∞

Пусть – < x 0, тогда

x x

F(x) = ∫ f (t)dt = ∫0 dt = 0.

−∞ −∞

28

29

Пусть 0 < x ≤

π, тогда

2

x

0

x

x

= −cos x +1.

F(x) = ∫ f (t)dt = ∫0 dt + ∫sin t dt = −cos t

−∞

−∞

0

0

Пусть

π

< x < +∞, тогда

2

π

x

0

2

x

F(x) = ∫ f (t)dt = ∫0 dt + ∫sin t dt +

∫0 d x =

−∞

−∞

0

π

2

= −cos t

π

= −cos

π

+cos 0 =1.

2

0

2

Таким образом, непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

	0,	если		x ≤ 0		;
					π
	(1 −cos x),	если	0	< x ≤		;
F(x) =					2
	1,	если		x >	π	.
					2

График этой функции представлен на рис. 3.

Решение 5.2.в)

Математическое ожидание MX = 1 и дисперсия DX = – 3 случайной величины Х найдены в задаче 5.1.

Решение 5.2.г)

Вероятность P π ≤ X < π = 2 найдена в задаче 5.1.

4 2 2

Контрольная работа № 8 по теме «Теория вероятностей»

Вариант № 1

1.Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу по мишени. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6,второй– свероятностью 0,7. Найтивероятностиследующих событий: а) мишень поражена, если для этого достаточно одного попадания; б) в мишень попадает только один из стрелков.

2.Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найтивероятностьотказаустройства,еслидляэтогодостаточно,чтобы отказал хотя бы один элемент.

3.С первого автомата на сборку поступает 50 % деталей, со второго–30%,стретьего–20%.Первыйавтоматпроизводитвсред- нем 0,1 %бракованных деталей, второй – 0,2 %, третий – 0,3 %. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь окажется бракованной.

4.ДискретнаяслучайнаявеличинаХзаданарядомраспределения

	Х	–4	–1	2	3	4
	Р	0,1	0,3	?	0,2	0,1

Для дискретной случайной величины Х найти: а) P{X = 2}; б) математическое ожидание MX и дисперсию DX; в) функцию распределения F(x); г) P{X > 2}.

Построить график функции распределения F(x).

5.Функция распределения непрерывной случайной величины

Химеет вид

	0,	если	x ≤ 0;
			0 < x ≤1;
F(x) = a x2 , если
	1,	если	x >1,

где а – параметр.

30

31

Для непрерывной случайной величины Х найти: а) значение параметра а, при котором F(x) является функцией распределения случайной величины X; б) плотность распределения f(x); в) математическое ожидание MX и дисперсию DX; г) P{X > 0,5}.

Построить графики функции распределения F(x) и плотности распределения f(x).

Вариант № 2

1.Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент ответит на три вопроса, предложенных ему экзаменатором.

2.Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий соответственно равны 0,8; 0,7; 0,9. Найти: а) вероятность одного попаданиявцельиб)вероятностьхотябыодногопопаданиявцельпри одном залпе из трехорудий. Предполагается, что результат стрельбы каждого из трех орудий не влияет на результаты стрельбы из двух других орудий.

3.На сборкупоступают детали, изготовленные на трех станкахавтоматах. Первый станок производит 20 % деталей, второй – 30 %, третий– 50%.Первыйстанокпроизводит0,2%бракованныхдеталей, второй – 0,3 %, третий – 0,1 %. Очередная деталь, поступившая на сборку,оказаласьбракованной.Найтивероятностьтого,чтопоступившая на сборку деталь изготовлена первым станком-автоматом.

4.ДискретнаяслучайнаявеличинаХзаданарядомраспределения

Х	–3	–2	0	1	4
Р	0,1	0,2	0,2	?	0,3

Для дискретной случайной величины Х найти: а) P{X = 1}; б) математическое ожидание MX и дисперсию DX; в) функцию распределения F(x); г) P{X < 0}.

Построить график функции распределения F(x).

5.Плотностьраспределения непрерывнойслучайной величины

Химеет вид

	0 ,	если	x < 0;
					π
			0 < x ≤			;
f (x) = a cos x, если					2
				π
	0 ,	если	x >		,
				2

где а – параметр.

Для непрерывной случайной величины Х найти: а) значение параметра а, при котором f(x) является плотностью распределения случайной величины Х; б) функцию распределения F(x); в) матема-

тическое ожидание MX и дисперсию DX; г) P X < π .

6

Построить графики функции распределения F(x) и плотности распределения f(x).

Вариант № 3

1.Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятности того, что студент ответит на первый и второй вопросы, равны 0,8, на третий – 0,7. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого ему нужно ответить по крайней мере на два вопроса.

2.Вероятностьпопаданиявцельприодномвыстрелеравна0,6

ине меняется от выстрела к выстрелу. Стрельба прекращается сразу жепослепервогопопаданиявцель.Каковавероятностьтого,чтобудет сделано не более двух выстрелов?

3.Имеются две партии изделий по 8 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наугад из первой партии, переложено во вторую партию, после чего выбирается наугад одно изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии после перекладывания.

4.ДискретнаяслучайнаявеличинаХзаданарядомраспределения

Х	–2	–1	1	3	4
P	0,1	0,1	0,3	?	0,2

32

33

Для дискретной случайной величины Х найти: а) P{X = 3}; б) математическое ожидание MX и дисперсию DX; в) функцию распределения F(x); г) P{X > –1}.

Построить график функции распределения F(x).

5.Функция распределения непрерывной случайной величины

Химеет вид

	0 ,	если	x ≤ −1;
					1
		если	−1 < x ≤			;
F(x) = a(x +1),					3
				1
	1,	если	x >		,
				3

где а – параметр.

Для непрерывной случайной величины Х найти: а) значение параметра а, при котором F(x) является функцией распределения случайной величины Х; б) плотность распределения f(x); в) математи-

ческое ожидание MX и дисперсию DX; в) P 0 ≤ X < 1 .

3

Построить графики функции распределения F(x) и плотности распределения f(x).

Вариант № 4

1.В урне находятся 6 белых, 3 черных и 2 красных шара. Наудачу извлекают два шара. Найти вероятности следующих событий: а) извлечены шары одного цвета; б) извлечены шары разных цветов.

2.Три студента независимо друг от друга производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый студентдопуститошибкуприсчитываниипоказанийприбора,равна0,1. Длявторогоитретьегостудентовэтивероятностиравнысоответственно 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один студент допустит ошибку.

3.Имеется три одинаковые урны. В первой урне 2 белых

и3 черных шара, во второй 4 белых и 2 черных шара, в третьей урне 3 белых и 5 черных шара. Наудачу выбирается одна из трех урн и из

нее извлекается один шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что он был извлечен из третьей урны.

4. ДискретнаяслучайнаявеличинаХзаданарядомраспределения

Х	–5	–3	–1	0	1
Р	0,1	0,1	0,3	0,2	?

Для дискретной случайной величины Х найти: а) P{X = 1}; б) математическое ожидание MX и дисперсию DX; в) функцию распределения F(x); г) P{X < 0}.

Построить график функции распределения F(x).

5. Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид

	0 ,	если		x <	3	π;
					2
			3
		если		π < x ≤	2π;
f (x) = a sin x,			2
	0 ,	если		x > 2π,
где а – параметр.

Для непрерывной случайной величины X найти: а) значение параметра а, при котором f(x) является плотностью распределения случайной величины Х; б) функцию распределения F(x); в) математи-

ческое ожидание MX и дисперсию DX; г) P 7 π≤ X < 2π .

4

Построить графики функции распределения F(x) и плотности распределения f(x).

Вариант № 5

1.Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится

впервом,втором,третьемиличетвертомящиках,соответственноравны 0,6;0,7;0,8и0,9.Найтивероятностьтого,чтонужнаясборщикудеталь находится не более чем в трех ящиках.

34

35

2.Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех независимых выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания

вцель при одном выстреле, если она одинакова для всех выстрелов.

3.Изделие проверяется на стандартность одним из двух контролеров. Первый контролер проверяет 55 %, а второй – 45 % всей продукции. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным, для первого контролера равна 0,90, а для второго – 0,98. При проверке изделие было признано стандартным. Найти вероятность того, что изделие проверил первый контролер.

4.ДискретнаяслучайнаявеличинаХзаданарядомраспределения

Х	–4	–2	0	2	3
Р	0,4	0,1	0,2	0,1	?

Для дискретной случайной величины X найти: а) P{X = 3}; б) математическое ожидание MX и дисперсию DX; в) функцию распределения F(x); г) P{X > 0}.

Построить график функции распределения F(x).

5. ФункцияраспределениянепрерывнойслучайнойвеличиныX имеет вид

	0,	если		x ≤	π	;
					2
			π
				< x	≤ π;
F(x) = a −sin x, если			2
	1,	если		x > π,
где а – параметр.

Для непрерывной случайной величины Х найти: а) значение параметра а, при котором F(x) является функцией распределения случайной величины Х; б) математическое ожидание MX и дисперсию

DX; в) P 0 ≤ X < 3π .4

Построить графики функции распределения F(x) и плотности распределения f(x).

Вариант № 6

1.В ящике имеется 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Рабочийнаугад извлекает4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся ровно две окрашенные детали.

2.Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающихсигнализатора.Вероятностьтого,чтоприавариисигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 – для второго.Найтивероятностьтого,чтоприавариисработаетровноодин сигнализатор.

3.На склад поступают изделия с трех заводов. Продукция первого завода составляет 20 %, второго 46 %, третьего 34 %. Известно, что процент нестандартных изделий для первого завода равен 3, для второго – 2

идлятретьего–1.Наудачувзятоеизделиеоказалосьбракованным. На каком из заводов, вероятнее всего, было изготовлено это изделие?

4.ДискретнаяслучайнаявеличинаХзаданарядомраспределения

Х	–1	0	1	2	4	6
Р	0,1	0,1	0,3	0,2	?	0,1

Для дискретной случайной величины X найти: а) вероятность P{X = 4}; б) математическое ожиданиеMX и дисперсиюDX; в) функцию распределения F(x); г) вероятность P{X > 0}.

Построить график функции распределения F(x).

5. Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид

	0 ,	если	x <1;
		если	1 < x < 2;
f (x) = a (2x −1),
	0 ,	если	x > 2 ,

где а – параметр.

Для непрерывной случайной величины Х найти: а) значение параметра а, при котором f(x) является плотностью распределения случайной величины Х; б) функцию распределения F(x); в) математическое ожидание MX и дисперсию DX; г) P{X 1,5}.

Построить графики функции распределения F(x) и плотности распределения f(x).

36

37

Вариант № 7

1.Среди 25 лотерейных билетов 5 выигрышных. Двое игроков по очереди берут по одному билету. Найти вероятности следующих событий: а) первый игрок взял выигрышный билет; б) второй игрок взял выигрышный билет; в) оба игрока взяли выигрышные билеты.

2.На станке вытачивается деталь в виде прямоугольного параллелепипеда. Деталь считается годной, если каждое из ее ребер отклоняется от заданных размеров не более чем на 0,01 мм. Вероятности отклонений, превышающих 0,01 мм, равны соответственно по длине 0,08, ширине 0,12 и высоте 0,1. Найти вероятность непригодности детали.

3.Имеется 5 урн. В первой, второй и третьей урнах находится по 2 белыхи 3 черных шара; вчетвертой ипятойурнах –по 1 белому

и1черномушару.Наудачувыбираетсяурнаиизнееизвлекаетсяодин шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар черный.

4.ДискретнаяслучайнаявеличинаХзаданарядомраспределения

Х	–5	–3	–1	1	3
Р	0,1	?	0,3	0,3	0,2

Для дискретной случайной величины Х найти: а) P{X = –3}; б) математическое ожидание MX и дисперсию DX; в) функцию распределения F(x); г) P{X < –1}.

Построить график функции распределения F(x).

5.Функция распределения непрерывной случайной величины

Химеет вид

	0,	если		x ≤	π		;
					6
			π				π
				< x ≤					;
F(x) = a cos 3x, если			6				3
	1,	если		x >		π		,
						3

где а – параметр.

Для непрерывной случайной величины Х найти: а) значение параметра а, при котором F(x) является функцией распределения случайной величины Х; б) плотность распределения f(x); б) математи-

ческое ожидание MX и дисперсию DX; в) P π ≤ X < π .

4 3

Построить графики функции распределения F(x) и плотности распределения f(x).

Вариант № 8

1.32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Четыре карточки вынимаются одна за другой и укладываются в порядке появления слева направо. Найти вероятность того, что получится слово «звон».

2.Производится стрельба двумя ракетами по некоторой цели. Вероятность попадания в цель каждой ракетой 0,8. Попадания ракет

вцельнезависимы.Каждаяпопавшаяракетапоражаетцельсвероятностью 0,9. Найти вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одной из ракет.

3.Прибор может работать в одном из двух режимов: нормальном и ненормальном. В нормальном режиме прибор работает 80 % времени, а в ненормальном режиме – 20 % времени. Вероятность выхода прибора из строя за время t при работе в нормальном режиме равна 0,1, а в ненормальном режиме – 0,7. Известно, что в течение времени t наступил отказ прибора. В каком режиме, вероятнее всего, работал прибор?

4.ДискретнаяслучайнаявеличинаХзаданарядомраспределения

Х	0	1	2	3	4
Р	0,1	0,2	?	0,3	0,1

Для дискретной случайной величины Х найти: а) P{X = 2}; б) математическое ожидание MX и дисперсию DX; в) функцию распределения F(x); г) P{X < 3}.

Построить график функции распределения F(x).

38

39