01. Определители 2-го и 3-го порядков
.pdfЛекция 1: Определители второго и третьего порядков
Б.М.Верников
Уральский федеральный университет,
Институт математики и компьютерных наук,
кафедра алгебры и дискретной математики
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |
Вступительные замечания
Мы начинаем изучение курса аналитической геометрии. Содержательно весь курс можно разбить на четыре большие части:
1 векторная алгебра (лекции 2–6);
2 прямые и плоскости (лекции 7–9);
3 квадрики на плоскости (лекции 10–13);
4 квадрики в пространстве (лекции 14–17).
Данная лекция не входит ни в одну из этих частей и носит вспомогательный характер. В ней вводится понятие определителя для квадратных матриц второго и третьего порядков, указываются некоторые свойства этих определителей и демонстрируется, как они возникают и используются при решении систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Этот материал пригодится нам уже в самое ближайшее время. Более общее понятие определителей произвольного порядка, их свойства и использование при решении систем n линейных уравнений с n неизвестными изучаются в курсе алгебры.
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |
Понятие матрицы (1)
Мы начнем с важного для дальнейшего понятия матрицы.
Определение
Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел. Если матрица содержит m строк и n столбцов, то будем говорить, что она имеет размер m n. Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной. В этом случае вместо термина ¾матрица размера n n¿, как правило, употребляется термин квадратная матрица порядка n. Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковый размер и на одинаковых местах в них стоят одни и те же элементы.
Ниже приведен пример матрицы размера 2 3:
p
A = |
2 |
5 |
2 |
: |
|
0 |
0;5 |
|
|
Отметим, что в записи матрицы мы не проводим линии, отделяющие строки и столбцы друг от друга. Слева и справа матрица ограничивается круглыми скобками.
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |
Понятие матрицы (2)
Для обозначения элементов матриц применяется двойная индексация, при этом первый индекс означает номер строки, а второй номер столбца, в которых стоит данный элемент. Например, a12 элемент, стоящий в первой строке и втором столбце. Произвольная матрица размера m n обозначается следующим образом:
A = |
0a21 |
a22 |
: : : |
a2n 1 |
: |
|
|
a11 |
a12 |
: : : |
a1n |
|
|
|
B . . . . . . . . .:.:.:. . . . . |
C |
|
|||
|
Bam1 |
am2 |
|
amnC |
|
|
|
@ |
|
|
|
A |
|
Кратко эта матрица записывается в виде A = (aij ), а если важно указать ее размер то в виде A = (aij )m n.
Определение
Если A = (aij ) квадратная матрица порядка n, то элементы
a11; a22; : : : ; ann образуют главную диагональ матрицы A, а элементы a1n; a2 n 1; : : : ; an1 ее побочную диагональ.
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |
Определители второго порядка
Определение
Определителем квадратной матрицы
A = a11 a12
a21 a22
второго порядка (или просто определителем второго порядка) называется число, равное a11a22 a12a21. Это число обозначается через
a11 |
a12 |
|
; |
или jAj; или det A: |
a21 |
a22 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Иными словами,
определитель второго порядка равен произведению элементов на главной диагонали минус произведение элементов на побочной диагонали.
Например,
1 |
7 |
= 2 |
|
7) |
|
( |
|
3) |
|
1 = |
|
11; |
sin cos |
|
= cos2 |
+ sin2 = 1: |
||
2 |
|
3 |
|
( |
|
|
|
|
cos sin |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |
Определители второго порядка и системы линейных уравнений
Определители возникли в теории систем линейных уравнений. Покажем, как применяется понятие определителя второго порядка к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Такая система в общем виде может быть записана следующим образом:
|
|
|
|
|
a11x1 |
+ a12x2 |
= b1; |
|
|
|
|
|
(1) |
||
|
|
|
|
|
a21x1 + a22x2 = b2: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Введем следующие обозначения: |
|
b2 |
|
; 2 |
|
a21 |
b2 |
|
|||||||
= |
a21 |
a22 |
; 1 |
= |
a22 |
= |
: |
||||||||
|
|
a11 |
a12 |
|
|
|
b1 |
a12 |
|
|
|
a11 |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение
Матрица A = (aij ), составленная из коэффициентов системы (1), называется основной матрицей этой системы. Определитель этой матрицы (т. е. определитель ) называется определителем системы (1).
Заметим, что
определитель i (при i = 1; 2) получается из определителя заменой i-го столбца основной матрицы на столбец свободных членов.
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |
Теорема Крамера для систем второго порядка (1)
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1 (теорема Крамера для систем второго порядка)
Если 6= 0, то система (1) имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам x1 = 1 , x2 = 2 .
Теорема 1 является частным случаем теоремы Крамера, которая относится к системам n линейных уравнений с n неизвестными при любом n. Доказательство теоремы Крамера в общем случае дается в курсе алгебры. В данной лекции мы докажем ее только что сформулированный частный случай.
Доказательство. Подставим 1 вместо x1 и 2 вместо x2 в первое уравнение системы. Получим
a11 1 + a12 2 = a11(b1a22 b2a12) + a12(a11b2 a21b1) =
= a11b1a22 a11b2a12 + a12a11b2 a12a21b1 =
=b1(a11a22 a12a21) = b1 = b1:
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |
Теорема Крамера для систем второго порядка (2)
Итак, пара чисел ( 1 ; 2 ) является решением первого уравнения системы
(1). Аналогично проверяется, что она является решением второго уравнения этой системы. Мы доказали, что решение системы (1) существует. Осталось доказать его единственность.
Пусть (x10; x20) решение системы (1), т. е. справедливы равенства
a11x10 |
+ a12x20 |
= b1; |
|
a21x10 |
+ a22x20 |
= b2: |
(2) |
Умножим первое из этих равенств на a22, второе на a12, и рассмотрим сумму полученных равенств:
a11a22x10 + a12a22x20 a21a12x10 a22a12x20 = b1a22 b2a12:
Это равенство можно переписать в виде
|
|
|
(a11a22 a21a12)x10 = b1a22 b2a12; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
т. е. x10 = 1. Поскольку 6= 0, имеем x10 = |
1 |
. Теперь умножим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
первое из равенств (2) на a21, второе на a11 и сложим |
полученные |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
0 |
= |
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
равенства. |
После очевидных преобразований получим, что |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
откуда x20 = |
2 |
. Мы взяли произвольное решение (x10; x20) системы (1) и |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
доказали, что оно совпадает с решением ( |
1 |
; |
2 |
). Это означает, что |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
решение единственно. Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |
Определители третьего порядка (1)
Определение
Определителем квадратной матрицы
A = |
0a21 |
a22 |
a23 |
1 |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
@a31 |
a32 |
a33A |
третьего порядка (или просто определителем третьего порядка) называется число, равное
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32:
Это число обозначается через
a11 a12 a13
a21 |
a22 |
a23 |
|
; |
или |
A |
; или det A: |
a31 |
a32 |
a33 |
|
j |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |
Определители третьего порядка (2)
Например,
1 1 2
0 3 5 = 1 3 1 + ( 1) 5 1 + 2 0 ( 2)
1 2 1
2 3 1 ( 1) 0 1 1 5 ( 2) = 2:
Формула для вычисления определителя третьего порядка выглядит весьма громоздко. На следующем слайде мы укажем правило, позволяющее ее запомнить. Чтобы его сформулировать, заметим, что определитель 3-го порядка является алгебраической суммой шести слагаемых, из которых три берутся со знаком плюс, а три со знаком минус. Каждое слагаемое это произведение трех элементов матрицы. На рис. 1 на следующем слайде изображены два экземпляра определителя квадратной матрицы 3-го порядка. Элементы матрицы изображены точками. Линии в обоих определителях соединяют те элементы, которые при вычислении определителя перемножаются, при этом слева соединены элементы, произведение которых подсчитывается со знаком плюс, а справа элементы, произведение которых подсчитывается со знаком минус.
Б.М.Верников |
Лекция 1: Определители второго и третьего порядков |