Точки и линии на плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой этой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат плоскости.

Эти два вполне очевидных предложения часто называют условиями принадлежности точки и прямой плоскости.

На рис. 26 плоскость общего положения задана треугольником АВС. Точки А, В, С принадлежат этой плоскости, так как являются вершинами треугольника из этой плоскости. Прямые (АВ), (ВС), (АС) принадлежат плоскости, так как по две их точки принадлежат плоскости. Точка N принадлежит (AC), D принадлежит (AB), E принадлежит (CD) и, значит, точки N и E принадлежат плоскости (∆АВС), тогда прямая (NE) принадлежит плоскости (∆ABC).

Если задана одна проекция точки L, например L₂, и известно, что точка L принадлежит плоскости (∆ABC), то для нахождения второй проекции L₁ последовательно находим K₂  (A₂L₂), L1  (A₁K₁).

Рис. 26 Принадлежность точек плоскости общего положения

Рис. 27 Принадлежность точек горизонтально проецирующей плоскости

24

Если условие принадлежности точки плоскости нарушено, то точка не принадлежит плоскости. На рис. 26 точка R не принадлежит плоскости (∆ABC), так как R₂ принадлежит (F₂K₂), а R₁ не принадлежит (A₁K₁).

На рис. 27 приведен комплексный чертеж горизонтально проецирующей плоскости (∆CDE). Точки K и P принадлежат этой плоскости, так как Р₁ и K₁ принадлежат прямой (D₁C₁), являющейся горизонтальной проекцией плоскости (∆CDE). Точка N не принадлежит плоскости, так как N₁ не принадлежит (D₁C₁).

Взаимное положение точки и плоскости сводится к принадлежности или не принадлежности точки плоскости.

При решении многих задач приходится строить линии уровня, принадлежащие плоскостям общего и частного положения. На рис. 28 показаны горизонталь h и фронталь f, принадлежащие плоскости общего положения (∆ABC). Фронтальная проекция  h₂ параллельна оси х, поэтому прямая h – горизонталь. Точки 1 и 2 прямой h принадлежат плоскости, поэтому прямая h принадлежит плоскости. Таким образом, прямая h – это горизонталь плоскости (∆ABC). Фронталь f проведена через точку A.

Рис. 28 Фронталь и горизонталь, принадлежащие плоскости

Взаимное положение плоскостей в пространстве

Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллель-ными, либо пересекающимися.

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

П

25

ересекающиеся плоскости. Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две точки общие обеим плоскостям.

Рассмотрим решение задачи на построение линии пересечения двух плоскостей: ∆ABC и ∆DEF (рис. 29). Точки M и N, определяющие искомую линию пересечения двух данных плоскостей найдем как точки пересечения каких-либо двух сторон (как две прямые) треугольника ABC с плоскостью другого треугольника DEF, т.е. дважды решим позиционную задачу на определение точки пересечения прямой с плоскостью.

Рис. 29 Определение линии пересечения двух плоскостей

Выбор сторон треугольников произволен, так как только построением можно точно определить, какая действительно сторона и какого треугольника пересечет плоскость другого. Выбор вспомогательной плоскости также произволен, так как прямую общего положения, какими являются все стороны ∆ABC и ∆DEF, можно заключить в горизонтально проецирующую или во фронтально проецирующую плоскости.

1. Для построения точки M использована горизонтально проецирующая вспомогательная плоскость Ф (Ф₂), в которую заключена сторона AB треугольника ABC (AB  Ф).

2. Строим линию пересечения (на чертеже она задана точками 1 и 2) вспомогательной плоскости Ф (Ф₂) и плоскости ∆DEF.

3

26

.Находим точкуMпересечения прямой 1–2 с прямойAB.

Найдена одна точка M искомой линии пересечения.

4. Для построения точки N использована горизонтально проецирующая плоскость Р (Р₂), в которую заключена сторона EF треугольника DEF.

Построение аналогичны предыдущим.

5. Определение видимости элементов на плоскости П₂ выполнено с помощью фронтально конкурирующих точек 1=2 и 5=2.

Точка 5 (5АВ) расположена дальше от оси х чем точка 1 (1 DF), поэтому на плоскости П₂ часть треугольника ABC, расположенная в сторону точки 1, закрывает собой часть треугольника DEF, расположенную от линии пересечения в сторону точки 5.

С

27

помощью пары горизонтально конкурирующих точек 6=1 и 7=1 определена видимость на плоскостиП₁.