7. Содержание отчета

7.1. Изложить цель работы.

7.2. Привести электрическую схему лабораторного стенда по исследо ванию магнитного поля электромагнита постоянного тока.

7.3. Записать уравнения, описывающие магнитное поле в различных областях расчетной модели магнитной системы электромагнита постоянного тока: стальной магнитопровод, обмотка с током, межполюсный зазор.

7.4. Пояснить принцип действия датчика Холла.

7.5. Привести результаты измерения магнитного поля на линии (рис. 14) и результаты сопоставления значений магнитного напряжения на этом участке и магнитодвижущей силы обмотки электромагнита. Объясните, чем определяется их незначительное отличие?

Библиографический список

3. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. Учебник – 9-е изд. перераб. и доп. – М.: Гардарики, 2001. – 317 с.: ил.

4. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 3. – 4-е изд. / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. – СПб.: Питер, 2003.

5. Сильвестр П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров – электриков: Пер. с англ. – М.: Мир, 1986.

Лабораторная работа № 3 исследование проникновения электромагнитного поля во внутрь проводящей ферромагнитной среды

1. Цель работы

Целью работы является изучение проникновения электромагнитного поля (ЭМП) в электропроводящую ферромагнитную среду, создаваемого проводником с синусоидальным током, расположенном внутри стальной трубы (см. рис. 1).

Для достижения этой цели с помощью цифрового измерительного комплекса записываются одновременно кривая тока, возбуждающего ЭМП, кривая ЭДС, наводимая на тонкостенной обмотке, которая наматывается на сердечник как показано на рис. 3. По этим кривым определяются основные величины, характеризующие процесс проникновения ЭМП в тело трубы и сопоставляются с расчетными.

2. Решение линейной задачи расчета ЭМП в системе проводника с синусоидальным током, окруженного ферромагнитной электропроводящей трубой

Решение данной задачи позволяет рассчитать выходное напряжение на обмотке, размещенной на этом кольце, а также значение векторов напряженности электрического и магнитного поля и плотности тока в стенках трубы и активные потери в стенках трубы.

Устройство рассматрива-емой системы представлено на рис. 1, где обозначено:

W₁ – первичная обмотка (шина с синусоидальным током);

W₂ – вторичная или выходная обмотка;

u_с – выходной сигнал;

1 – железный (стальной) короткий отрезок трубы или кольцо, выточенное из прутка обыкновенной стали широкого применения.

Рис. 1.

Установим связь между выходным напряжением u_с и током i. При этом будем полагать, что сердечник имеет однородную структуру и линейную зависимость:

B = f (H),

где B – магнитная индукция; H – напряженность магнитного поля.

Считаем, что магнитная проницаемость сердечника  = const, причем  >> ₀ (₀ = 4  10 ^-7 Гн/м – магнитная проницаемость вакуума), т.е. полагаем, что перемагничивание материала стенок трубы происходит на начальном участке кривой намагничивания B = f (H). Сталь обладает электропроводностью  (для стали   (0,7 – 0,93) · 10⁷ 1/Ом∙м [2, стр. 731], для чугуна   (2 2,5) · 10⁶ 1/Ом∙м).

Решение проведем в цилиндрической системе координат для случая, когда синусоидально изменяющийся во времени ток направлен по осиZ, (рис. 2).

Уравнения электромагнитного поля для проводящей среды имеют, как известно [2, стр. 651], вид

rot = , (1)

rot = -j , (2)

где – вектор плотности тока в проводящей среде.

Из (1) и (2) получим

rot rot = - j . (3)

Преобразуя левую часть получим

g

Рис. 2

rad div - ^ -j   (4)

Так как в установившемся режиме div = 0, то из (4) получим

^j . (5)

Раскрывая ^ в цилиндрической системе координат и учитывая, что в рассматриваемом случае от и Z не зависит (т.е. вектор плотности тока имеет только осевую компоненту), придем к частному случаю уравнения Бесселя:

+ · = 0, (6)

(r₁ < r < r₂)

где qr =r ( =2 f, f – частота синусоидального тока, q²= -j), а величина вектора плотности тока зависит от радиуса r, ,,.

Как известно [2], решение уравнения (6) можно записать следующим образом:

= J_o (qr) + N_о (qr) (7)

где и – постоянные интегрирования;

J_о (qr) – функция Бесселя нулевого порядка первого рода;

N_о (qr) – функция Бесселя нулевого порядка второго рода.

Вторым слагаемым в выражении (7) при реальных значениях r, γ, ω, µ можно пренебречь, тогда (7) запишем следующим образом:

= J₀ (qr). (8)

На основании (2), с учетом раскрытия rot в цилиндрической системе координат и зависимости только от координаты r, получаем выражение для вектора напряженности магнитного поля в стальном сердечнике, направленного перпендикулярно вектору = , т.е. векторимеет только поперечно-круговую компоненту в направлении угла(см. рис. 2). (На этом же рисунке указаны направления векторов и ).

, (9)

(r₁ < r < r₂)

где J₁ (qr) – функция Бесселя первого рода первого порядка.

Определим постоянную интегрирования _. С этой целью по закону полного тока найдем амплитудное значение на внутренней поверхности трубы

,

где и– комплексные амплитудные значения вектора напряженности магнитного поля и тока).

Приравняем значение к правой части (9)

,

тогда . (10)

После подстановки (10) в (9) получаем

при (r₁ ≤ r≤ r₂). (11)

Учитывая, что = , используя выражения (8) и (10), получаем амплитудное значение вектора напряженности электрического поля в стенках трубы дляr₁ < r < r₂.

, (12)

где – поперечно-круговая компонента напряженности магнитного поля на внутренней поверхности трубы. Отношениев (12) определяется выражением

(13)

Это отношение принято называть волновым сопротивлением, измеряемым в омах, зависит от свойств среды и, и угловой частоты.

Выражение (12) перепишем с учетом (13)

(14)

На основании (14) получим выражение для расчета плотности вихревого тока δ на различных расстояниях от внутренней поверхности внутрь стенки трубы, т.е. в области :

(15)

Отношение функций Бесселя, входящих в (14, 15), при > 20 практически равно 1. Так, например, для точки на внутренней поверхности стальной трубы (r = r₁) при = 2πf = 314 рад/с, f = 50 Гц, = 1000,= 4π · 10^-7 Гн/м; = 0,8 ∙ 10⁷ 1/Ом · м; r = r₁ = 15 мм = =15 · 10^-3 м; = 26,65 ·;

0,014 +1,0131=– т.е. это отношение можно считать мнимым числом с модулем равным единице.

Для точек лежащих на внутренней поверхности трубы (r = r₁), вектор напряженности электрического поля и вектор плотности тока, направленные параллельно оси трубы, определяются выражениями

(16)

Если сопоставить выражение (16) для вектора с выражением для вектора напряженности электрического поля на поверхности, полученного при решении задачи о распространении плоской электромагнитной волны в однородном проводящем ферромагнитном полупространстве, решение которой приведено в [2, стр. 655], можно установить, что они идентичны. Это позволяет сделать вывод о том, что и в данном случае процесс распространения электромагнитного поля (ЭМП) можно рассматривать в виде подающей волны. Отраженная волна будет отсутствовать из-за малой глубины проникновения ЭМП по сравнению с толщиной стенки трубы, т.е. падающая волна затухает, не доходя до внешней поверхности цилиндра.

В связи с отмеченным выше, глубину проникновения ЭМП в стенку трубы с указанными выше размерами, ω, γ, µ можно рассчитать так же как и для плоской волны по формуле

м мм,

что в несколько раз меньше толщины стенок этой трубы даже на промышленной частоте 50 Гц. При этом плотность тока по глубине проникновения во внутреннюю область ферромагнетика можно приближенно рассчитать следующим образом:

(А/м²) (17)

Следует заметить, что выражения (11) и (15) можно использовать для определения вектора Умова-Пойнтинга.

С помощью теоремы Умова-Пойнтинга в комплексной форме получаем возможность определения потока активной и реактивной мощности через боковую поверхность трубы:

. (18)

(для r = r₁)

На основании полученного выражения для можно рассчитать сигнал, наводимый на сигнальной обмотке с числом витковW₂, следующим образом.

Учитывая, что каждый проводник сигнальной обмотки, расположенный на внутренней поверхности трубы и ориентированный параллельно оси трубы, имеет длину, равную длине цилиндра h, а число этих последовательно соединенных проводников W₂, то

(В) (19)

При расчете сигнала по формуле (19) не принимаются во внимание те части длины проводников каждого витка, которые находятся за пределами внутренней поверхности трубы, т.к. эдс сигнала будет наводиться под действием падающей волны ЭМП только на проводниках, которые находятся на внутренней поверхности трубы.

Как видно из (19), сигнал, наводимый на обмотке W₂ опережает ток первичной обмотки практически на 45^º, как указано выше, если отношение численно равно мнимой единице, что выполняется в рассматриваемом случае.

Следует отметить, что ели выбрать отрезок трубы из ферромагнитного материала, у которого γ ≈ 0 (например, цилиндрический ферритовый сердечник), то сдвиг по фазе будет равен 90^º, т.к. в этом случае процессы перемагничивания сердечника будут такие же, как в обычном трансформаторе в режиме холостого хода

Рассмотрим численный пример. Расчет по формуле (19) был проведен при следующих данных испытуемого образца:

r₁ = 15,0 мм, h = 40 мм, γ = 0,8 · 10⁷ 1/Ом·м,

r₂ = 18,0 мм, μ = 1000 · μ₀ f = 50 Гц,

= 4 А, W₁ = 1 W₂ = 200

В результате расчета амплитудного значения сигнала на обмотке W₂ при указанных параметрах было получено U_mc = 0,075 В = 75 мВ.

3. Описание установки и испытуемых образцов

На рис. 3 представлена электрическая схема лабораторной установки, а на рис. 4 – общий вид ее.

На рисунке обозначено:

Т – понижающий трансформатор; W₁ – проводник с током, возбуждающий ЭМП; W₂ – сигнальная обмотка; R_рег – проволочный реостат регулировки тока i; R_изм = 1 Ом – образцовое измерительное сопротивление (датчик тока), u_i = R_изм · i; 1 – аппаратно-программный измерительный комплекс (АПИК-виртуальный осциллограф); 2 – аналого-цифровой преобразователь (АЦП); 3 – компьютер; 4 – гнезда для подключения входов АЦП; П1 – выключатель для сети ~ 220 В.

На рис. 4 показаны фотографии образцов до намотки сигнальной обмотки и после намотки, а также общий вид лабораторного стенда.

Испытуемые образцы выточены из одного стального прутка (материал сталь 3), отличаются только толщиной стенки: у первого образца наружный диаметр 36 мм, у второго – 42 мм, внутренние диаметры и длины одинаковые (остальные размеры цилиндров указаны в приведенном выше примере).

Рис. 3. Электрическая схема экспериментальной установки по исследованию проникновения ЭМП в проводящую ферромагнитную трубу

4. Измерительная часть

Как уже отмечалось, целью данной работы является изучение процесса проникновения ЭМП в тело цилиндра. Непосредственно внутри самого тела цилиндра измерение величин E, H, δ осуществить невозможно, их можно только рассчитать, определить величины E, δ в рассматриваемом случае можно только на внутренней поверхности трубы. Поэтому измерение проводится косвенно. Для этого вначале одновременно записывается с помощью измерительного комплекса АПИК кривая тока i, возбуждающего ЭМП, и кривая ЭДС сигнальной обмотки u_с как для образца № 1, так и для образца № 2. Затем по этим кривым определяется сдвиг по фазе между напряжением u_i = i · R_изм (u_i – падение напряжения на измерительном резисторе R_изм = 1 Ом) и напряжением u_с, после чего рассчитываются значения вектора напряженности электрического поля и вектора напряженности магнитного поля на внутренней цилиндрической поверхности. Потом, сравнивая сигналы ЭДС на образце № 1 и образце № 2, устанавливают факт полного затухания падающей волны в стенках цилиндра и отсутствие отраженной волны от внешней поверхности цилиндра. Очевидно, что при полном затухании ЭМП в стенках трубы сигналы, наводимые на обмотках W₂ образца № 1 и образца № 2, будут равнозначными.

Применение современного цифрового измерительного комплекса АПИК по сравнению с обычным электронным осциллографом позволяет достаточно точно установить сдвиг по фазе между измеряемыми величинами и определить их мгновенное значение.

В Приложении 1 приведена инструкция по использованию АПИК для записи сигналов, поступающих на входы АЦП (см. рис. 3). АПИК позволяет записать вначале одновременно пару сигналов (кривую тока, возбуждающего ЭМП и кривую ЭДС сигнальной обмотки) для образца № 1, а затем – пару сигналов для образца № 2.

Рис. 4. Общий вид лабораторного стенда: а – испытуемые образцы без сигнальных обмоток; б – испытуемые образцы с сигнальными обмотками; в – аналого-цифровой преобразователь (USB)

5. Домашняя подготовка к работе

Для получения допуска к работе необходимо:

– ознакомиться с теоретической частью работы;

– рассчитать глубину проникновения ЭМП во внутреннюю поверхность трубы для следующих значений магнитной проницаемости

µ₁ = 100µ₀ µ₂ = 500µ₀ µ₃ = 1000µ₀

При этом считать, что γ = 10⁷ 1/Ом∙м, ω = 2πf = 314 1/c;

– построить график зависимости Δ = f(µ)

(γ, ω – const)

– рассчитать значение активной мощности, которая будет затрачиваться на нагрев трубы, если I = 4 A, ω = 314 1/с, r₁ = 0,015 м, µ = 1000µ₀, γ = 0,8 ∙ 10⁷ 1/Ом∙м, h = 0,04 м, W₁ = 1, W₂ = 200.

6. Рабочее задание и порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с инструкцией по использованию виртуального осциллографа АПИК для регистрации сигналов ЭДС, индуктированных на обмотках испытуемых образцов и сигналов с датчика тока.

2. В соответствии с инструкцией по использованию АПИК подготовить виртуальный осциллограф к работе. Для этого включить компьютер. После загрузки компьютера на рабочем столе найти ярлык «USB oscilloscope», подвести к нему стрелку мыши и левой кнопкой мыши запустить программу.

3. Соединить клемму сигнальной обмотки образца № 1 и токовую клемму со входами В_х1 и В_х2 комплекса АПИК с помощью кабеля (при этом корпусные клеммы В_х1 и В_х2 соединяются с корпусом АПИК через экранную оплетку).

4. Осуществить установку масштабов напряжений по вертикалям (по левой вертикали – канал А и правой вертикали – канал В) и масштаба времени по горизонтали каналов А и В. При этом учесть, что максимальный уровень напряжения по току (канал А) задается в пределах до 10 В, а предельный уровень напряжения канала В задать равным 0,5 В. Установка масштабов каналов А и В, на которые поступают сигналы i и u_c, осуществляется следующим образом:

а) на панели канала А (сигнала тока i) к шкале «ручки регулятора» на ризку 10 В подвести указатель мыши и нажать однократно на левую клавишу (предельное значение левой шкалы будет равно 10 В);

б) аналогично для канала В (правая вертикаль сигнала u_c) выставляется предельное напряжение шкалы равное 0,5 В;

в) масштаб по горизонтали установить ручкой регулировки «Период», при этом необходимую длительность развертки при нажатой левой кнопке мыши установить путем подведения указателя на ризку ручки «Периода» и вращения бегунка по окружности, при этом в связи с тем, что исследования проводятся на частоте 50 Гц (для которой период равен 20 мс) достаточно установить предельное значение длительности развертки по горизонтали равное (40-50 мс), т.е. на графике уложится более двух периодов синусоид.

5. Разомкнуть ключ SA (см. рис. 3) и подключить лабораторный стенд к сети 220 В.

6. Подать напряжение сети 220 В на лабораторный стенд путем замыкания ключа SA.

7. Ручку реостата R_рег установить в крайнее правое положение, что соответствует максимальному значению тока, возбуждающего ЭМП и получить в окне компьютера осциллограммы сигналов i, u_c следующим образом:

– подвести указатель мыши к кнопке «Цикл» в нижней части панели управления осциллографом и нажать один раз левую клавишу мыши. На экране появятся бегущие осциллограммы;

– с помощью R_рег по изображению кривой тока и масштабу напряжения на левой шкале установить заданное преподавателем значение тока i.

8. Для того чтобы записать в память осциллограммы i, u_c вначале необходимо нажать кнопку «Сброс», при этом изображение кривых на экране осциллографа остановятся.

9. Записать в память компьютера осциллограммы u_c, i для образца № 1 путем подведения мыши к панели «Меню» (см. верхнюю часть окна) и нажатия левой кнопки мыши однократно на надпись «Файл», при этом открывается окно, где указаны различные способы сохранения информации. Выбрать позицию «Сохранение как растровый рисунок» для этого подвести мышь к этой позиции и нажать левую кнопку мыши, после чего открывается окно «Сохранить как…», в которой задать (напечатать) имя сохраняемому файлу, например, «Осциллограммы № 1» и левой кнопкой мыши нажать на кнопку в окне «Сохранить». «Осциллограммы № 1» будут сохранены в памяти.

10. Убедиться в том, что сигналы для образца № 1 записаны в память компьютера. Для этого открыть имеющуюся на рабочем столе папку «ЭМП в трубе» (предварительно свернуть окно осциллографа путем нажатия левой кнопки мыши на значок в верхней правой части экрана, далее открыть файл «Осциллограмма № 1» для просмотра.

11. Аналогично записать сигналы для образца № 2 с именем файла «Осциллограммы № 2», для этого на вход В_х1 осциллографа подать только сигнал u_c2 (на В_х2 сигнал тока подан ранее).

12. Файлы «Осциллограммы № 1» и «Осциллограммы № 2» записать на собственный носитель информации (диск или флеш-накопитель).

13. Отключить стенд от сети 220 В.

14. По записанным осциллограммам определить амплитудные значения сигналов u_cm и i и сдвиг по фазе между ними как для первого, так и для второго образца.

15. Объяснить, почему ЭДС сигнальных обмоток образцов № 1 и № 2 практически одинаковы, хотя толщина стенок отрезков трубы различна.

16. Рассчитать амплитудное значение ЭДС сигнальных обмоток любого из образцов и сопоставить его с измеренным значением в процессе эксперимента.

7. Контрольные вопросы

1. Какова цель данной работы?

2. Почему ЭДС сигнальных обмоток образцов № 1 и № 2 практически равны между собой, несмотря на то, что толщины стенок испытуемых цилиндрических образцов различны?

3. Каким образом можно увеличить или уменьшить глубину проникновения ЭМП в проводящую ферромагнитную среду?

4. Почему ЭДС сигнальных обмоток индуцируется только на проводниках, лежащих на внутренней поверхности трубы?

5. Можно ли данное устройство применять для измерения синусоидального тока?

8. Содержание отчета

1. Изложить методику расчета ЭДС наводимой на сигнальной обмотке и представить результаты численного расчета u_cт по формуле (18).

2. Рассчитать комплексные амплитудные значения плотности тока в стенке трубы (образца № 1) по формуле (17) при следующих значениях радиуса:

r = 15∙10^-3 м; ω = 2πf;

r = 15,3∙10^-3 м; f = 50 Гц;

r = 15,6∙10^-3 м; γ = 0,8 ∙ 10⁷ 1/Ом∙м;

r = 15,9∙10^-3 м; µ = 1000µ₀ = 4π ∙ 10^-4.

Расчетные данные занести в таблицу с указанием амплитудного значения модуля плотности тока, аргумента комплексной амплитуды.

3. Рассчитать глубину проникновения ЭМП во внутреннюю поверхность трубы при следующих значениях частоты синусоидального тока: f₁ = 50 Гц; f₂ = 500 Гц; f₃ = 1000 Гц.

4. Представить кривые u_c1, u_c2,и I полученные с помощью виртуального осциллографа.

5. Включить в отчет ответы на контрольные вопросы.