Конспект Л7 РАЗВЁРТЫВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

РАЗВЁРТЫВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

1. Применение развёрток в технике.

2. Теоретические положения развёртывания поверхностей.

3. Способы построения развёрток.

3.1. Способ триангуляции (треугольников).

3.2. Способ нормального сечения.

3.3. Способ раскатки.

4. Условные развёртки неразвёртывающихся поверхностей.

Развёрткой называется плоская фигура,

образующаяся при совмещении поверхности с плоскостью (без разрывов и наложений).

Поверхности бывают развёртываемые и неразвёртываемые.

Поверхность многогранника всегда можно совместить с плоскостью.

Среди линейчатых кривых поверхностей развёртываемыми являются те, у которых смежные образующие параллельны или пересекаются, т.е. образуют плоскость (это цилиндр, конус и торс).

Все нелинейчатые поверхности являются неразвёртываемыми.

СВОЙСТВА РАЗВЁРТОК

1. Каждой точке на поверхности соответствует точка на её развёртке.

2. Линии поверхности переходят в линии развёртки.

3. Длины линий, величины плоских углов и площадей, ограниченных замкнутыми линиями на поверхности, равны соответствующим им на развёртке.

3.1. Способ триангуляции

Развёртку поверхности строят как сумму развёрток треугольных граней.

1) Развёртываемая криволинейная поверхность заменяется гранной поверхностью с треугольными гранями. Если в грани более трёх вершин, то её разбивают диагоналями на треугольники.

2) Определяются размеры сторон каждой грани (способом прямоугольного треугольника или заменой плоскостей проекций).

3) Строится на плоскости чертежа натуральная величина одной грани и к ней последовательно пристраиваются остальные грани (способом засечек).

4) Соответствующие вершины на развёртке соединяются плавными кривыми линиями.

При развёртывании гранной поверхности выполняются только операции 2 и 3.

Рёбра пирамиды найдены способом прямоугольного треугольника.

Натуральная величина сечения призмы определена методом замены плоскостей проекций. Остальные рёбра проецируются в натуральную величину.

Построение линии сечения на развёртке пирамиды

Натуральные величины граней найдены:

1₀2₀3₀ - методом замены плоскостей проекций.

SA, SB, SC – способом вращения вокруг горизонтально - проецирующей оси.

Нахождение проекций точки, заданной на развёртке

1. Через заданную проекцию точки на развёртке пирамиды провести прямую SK.

2. Построить точку К₀ (А₀К₀ = АК) и соединить с S₂.

3. На S₂K₀ найти точку 1₀ (засечка радиусом S1 с развёртки).

4. Найти К₁ (А₁К₁ = А₀К₀), К₂ и соединить с S₂ и S₁.

5. По линиям связи найти 1₂ и 1₁.

Развёртка прямого конуса

Развёртки кривых поверхностей считаются приближенными, т.к. их предварительно аппроксимируют (заменяют) многогранными поверхностями.

3.2. Способ нормального сечения

1) Поверхность пересекают плоскостью, перпендикулярной к её образующим (или рёбрам).

2) Определяют длину линии нормального сечения (1₄2₄3₄) методом ЗПП.

3) Линия нормального сечения развёртывается в прямую (1₀2₀3₀), а образующие – в прямые, перпендикулярные к ней.

4) Длины образующих откладываются от линии нормального сечения (вверх и вниз).

Наклонное сечение цилиндра построено методом замены плоскостей проекций.

Для построения развёртки цилиндрическая поверхность разделена на 12 частей.

3.3. Способ раскатки

Боковые рёбра призмы – фронтали, стороны оснований – горизонтали.

Вращением вокруг A₂D₂ найдена натуральная величина ABED (засечками).

A₂B₀ = A₁B₁

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ:

1) За ось вращения принимают одно из ребер (или образующую) натуральной величины (т.е. линию уровня).

2) В концах ребра восстановить перпендикуляры к его проекции, т.к. при раскатке концы рёбер будут перемещаться в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения.

Плоскость вращения

точки А

3) На построенных перпендикулярах сделать засечки радиусами, равными сторонам основания в натуральную величину.

4) Построенные точки соединить прямыми (для призмы) или кривыми (для цилиндра) линиями.

4. УСЛОВНЫЕ РАЗВЁРТКИ НЕРАЗВЁРТЫВАЮЩИХСЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Заданную поверхность разбивают на ряд небольших участков, каждый из которых заменяют развёртываемой поверхностью, после чего строят развёртки последних.

1-й способ построения развёртки сферы 2-й способ построения развёртки сферы

1) Сферу разбивают меридианами на равные доли.

2) Каждую долю заменяют цилиндрической поверхностью, касательной к поверхности сферы. Длины образующих

цилиндрической поверхности убывают от экватора к полюсам.

3) Долю цилиндра развёртывают способом нормального сечения,

1) Сферу разбивают на ряд поясов.

2) Средний экваториальный пояс заменяют цилиндрическим, остальные – коническими.

3) Построив известными способами развёртку каждого из них, получаем условную развёртку сферы.

при котором таким сечением является меридиан сферы.