Безруков Л.В. ФИЗИКА -- 1

211

УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ. Уравнение, связывающее любой термодинамический параметр (любое термодинамическое свойство) системы с параметрами, принятыми в качестве независимых переменных.

ФАЗА. Гомогенная часть гетерогенной термодинамической системы, ограниченная поверхностью раздела.

ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД. Термодинамический процесс перехода вещества из одной фазы в другую при изменении внешних условий (температуры, давления и т.д.).

В узком смысле Ф.п. – скачкообразное изменение физических свойств вещества при непрерывном изменении внешних параметров. Для таких Ф.п. характерно наличие точки перехода с конкретными значениями температуры, давления или каких-либо др. параметров. Различают Ф.п. двух родов.

Фазовый переход первого рода – Ф.п., при котором скачком изменяются энтропия системы, плотность и концентрация еѐ компонентов. Такие переходы всегда сопровождаются теплотой перехода. К фазовым переходам первого рода относятся плавление и кристаллизация, испарение и конденсация, сублимация и десублимация, а также аллотропные превращения кристаллов (например, у льда, серы, олова).

Фазовый переход второго рода – Ф.п., при котором плотность и энтропия изменяются непрерывно, но их частные производные, т.е. теплоѐмкость и различные термические коэффициенты вещества претерпевают скачки. Такие переходы не сопровождаются теплотой перехода. Примером Ф.п.в.р. является обратимый переход парамагнетика в ферромагнетик.

ФУНКЦИЯ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ f(x). Закон распределения непрерывной случайной величины. Вероятность P(a< X <b) того, что значение, определяемое случайной величиной X , попадет в промежуток ]a,b[, определяется равенством

	b
P a X b	f x dx

a

График функции f(x) называется кривой распределения. Геометрически вероятность попадания случайной величины в промежуток ]a,b[ равна площади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распределения, осью Ox и прямыми x = a, x = b. Ф. п. в. обладает следующими свойствами:

1) f x 0;

2) f x dx 1

Если все значения случайной величины X заключены в промежутке ]a,b[, то последнее b

равенство можно записать в виде f x dx 1.

a

ФУНКЦИЯ ПРОЦЕССА. Физ. вел., непосредственно зависящая от термодинамического процесса и проявляющаяся только тогда, когда система в результате взаимодействия со средой изменяет один или несколько своих параметров состояния. К типичным Ф.п. относятся работа расширения A и теплота Q. Обе они являются разными формами энергетического обмена между системой и средой в ходе какого-либо процесса, а в каждом конкретном состоянии системы теряют смысл. Количество работы и теплоты зависит от вида процесса.

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Основное понятие статистической физики,

характеризующее плотность вероятности распределения частиц термодинамической системы по фазовому пространству (т.е. по координатам и импульсам) в классической статистике или по квантовым состояниям в квантовой статистике. Функция распределения является основной характеристикой самых разнообразных (не только физических) систем,

212

которым свойственно случайное поведение, т.е. случайное изменение состояния системы и, соответственно, ее параметров. Функция распределения в подавляющем большинстве случаев содержит в себе всю возможную и потому исчерпывающую информацию о свойствах таких систем.

В математической теории вероятностей и математической статистике функция распределения и плотность вероятности отличаются друг от друга, но однозначно связаны между собой. Согласно принятой в физике традиции плотности вероятности называют плотностью распределения вероятности или функцией распределения, ставя знак равенства между этими двумя терминами.

ФУНКЦИЯ СОСТОЯНИЯ. Физ. вел., значение которой полностью определяется термодинамическим состоянием системы. К Ф.с. относятся, например, внутренняя энергия, энтальпия, свободная энергия, а также все параметры состояния: давление и объѐм, температура и энтропия, химический потенциал, масса и др.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Функция состояния термодинамической системы соответствующих параметров, характеризующаяся тем, что посредством этой функции и производных ее по этим параметрам могут быть выражены в явном виде все термодинамические свойства системы.

ХИМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ μ .Термодинамическая функция состояния, определяющая изменение термодинамических потенциалов при изменении числа частиц в системе и необходимая для описания свойств открытых систем (с переменным числом частиц). X.п. был введѐн Дж. У. Гиббсом в 1875 при рассмотрении хим. равновесия в многокомпонентных системах, отсюда его название. Основное уравнение равновесной термодинамики для однокомпонентной системы имеет вид:

dU TdS PdV dN ,

где U – внутренняя энергия системы, S – еѐ энтропия, N – количество частиц в системе.

Эта формула определяет, кроме Х. п. μ, также давление P и температуру T. Х.п. задаѐтся формулой

U TS PV		G	,
N		N

где G – энергия Гиббса.

Если в системе имеется несколько разных типов частиц (многокомпонентные системы), то в ней столько же разных Х.п., сколько компонентов:

dU TdS PdV	i	dN	i	.
	i

Обычно Х. п. компонента системы вычисляют как частную производную энергии Гиббса по числу частиц (или молей) этого компонента при постоянной температуре, давлении и массах других компонентов.

Х.п. играет важную роль при изучении сложных термодинамических систем, является нормировочным множителем во всех классических и квантовых статистиках. Равенство Х.п. всех фаз одного компонента в любой многокомпонентной системе является непременным условием ее термодинамического равновесия. Из этого условия следуют: правило фаз Гиббса (при фазовых переходах), закон действующих масс (при химических реакциях), свойства растворов (законы Вант-Гоффа). Если для частиц одного из компонентов переход из одной части системы в другую невозможен, то для этого компонента условия равенства Х.п. нарушаются и в системе возникает осмотическое давление. Х.п. оказывается очень важным при описании свойств открытых систем (систем с переменным числом частиц). Численно X.п. выражается в единицах энергии на единицу массы (Дж/кг), или на единицу кол-ва вещества (Дж/моль), или на 1 частицу.

ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ МОЛЕКУЛЫ. Число i независимых координат, которые описывают движение молекулы в пространстве. Каждая молекула обладает тремя степенями

H TS.

F TS.

U TS.

213

свободы поступательного движения. При умеренных и высоких температурах все линейные (как правило, двухатомные) молекулы обладают дополнительно двумя, а плоские и объѐмные молекулы, содержащие три и более атома,– тремя степенями свободы вращательного движения. При высоких температурах к ним добавляются степени свободы колебательных движений атомов внутри молекул. Согласно теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы молекулы на каждую поступательную и вращательную степень свободы приходится энергия теплового движения, равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы в среднем приходится энергия kT, где k – постоянная Больцмана, T – термодинамическая температура.

ЭНЕРГИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА, свободная энергия F. Функция состояния термодинамической системы, равная разности между внутренней энергией и произведением термодинамической температуры на энтропию: F

Энергия Гельмгольца является характеристической функцией, если объем и термодинамическая температура являются независимыми переменными. Комплекс TS иногда называют связанной энергией системы. Внутреннюю энергию системы можно представить в виде суммы свободной энергии F и связанной энергии TS: U Следовательно, именно комплекс TS характеризует ту часть внутренней энергии, которая не может быть полезно (в форме работы) израсходована в изотермическом процессе.

ЭНЕРГИЯ ГИББСА, свободная энтальпия G. Функция состояния термодинамической системы, равная разности между энтальпией и произведением термодинамической температуры на энтропию: G

Энергия Гиббса является характеристической функцией, если давление и термодинамическая температура являются независимыми параметрами. Из определения

энергии Гиббса следует, что эта величина имеет размерность	L2 MT 2	и выражается в
джоулях.
ЭНТАЛЬПИЯ H. Функция состояния термодинамической	системы,	равная сумме
внутренней энергии и произведения объема на давление: H U	PV.

Энтальпия является характеристической функцией, если энтропия и давление являются независимыми параметрами.

ЭНТРОПИЯ S. Одно из важнейших понятий физики. Введено в термодинамику Р. Клаузиусом в 1865 г. для определения меры необратимого рассеяния энергии и теплового хаоса в термодинамической системе. Э. – экстенсивный параметр теплового состояния системы, дифференциал dS которого в обратимых процессах однозначно связан с поглощаемой теплотой δQ соотношением:

Q T dS dS TQ ,

где T – термодинамическая температура процесса.

В соответствии с первым началом термодинамики полный дифференциал Э. в обратимых процессах

	dS		1	d U PdV .
		T

Изменение Э. в термодинамическом процессе, переводящем систему из состояния 1 в состояние 2

	2	Q
	S		.
	1	T

Например, изменение Э. ν молей идеального газа:

S S	S	C ln	T2	R ln	V2	.
	2 1	V	T1		V1

214

П Р И Л О Ж Е Н И Е Б

ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Отличительным свойством теплового движения атомов и молекул является его случайный характер. Невозможно точно предсказать, с какой скоростью будет двигаться та или иная молекула, какой она будет обладать энергией, импульсом и т.д. Имеет смысл постановка лишь одного вопроса: какова вероятность того, что какая-либо физическая величина будет иметь то или иное значение?

Статистической вероятностью (или частотой)	(A) события A называется
отношение числа mА опытов, в которых появилось событие А, к общему числу n
произведенных независимых опытов (испытаний):

~	m	A	.	(Б.1)
P A
	n

При увеличении n частота приближается к некоторой средней постоянной величине,

называемой вероятностью случайного события.

Вероятность может принимать значения в интервале от 0 до 1: 0

(A) 1.

Например, при бросании монеты на твердую горизонтальную поверхность, неясно, как она ляжет: цифрой вверх или гербом. Вероятности этих событий, при определенных условиях, равны 1/2. При бросании игральной кости нельзя с уверенностью сказать, какая из шести цифр окажется на верхней грани. Вероятность выпадения каждой из цифр при определенных предположениях (кость – однородный куб без сколотых ребер и вершин падает на твердую, гладкую горизонтальную поверхность) равна 1/6.

Не обязательно многократно повторять одинаковые испытания. Можно одновременно выполнить большое количество испытаний (например, бросание сразу множества монет или игральных костей). Результаты оказываются в среднем одинаковыми.

Событие, которое реализуется обязательно в каждом испытании, называется достоверным. Вероятность такого события A = 1. Если A – невозможное событие (оно вообще не реализуется), то mA = 0 и A = 0.

События называются независимыми (несовместными), если появление одного из них

вединичном испытании исключает появление другого в том же испытании.

Пр а в и л о с л о ж е н и я в е р о я т н о с т е й . Вероятность того, что произойдет какоелибо одно из нескольких независимых событий, равно сумме вероятностей рассматриваемых событий.

Пример 1. Пусть в ящике находится 15 шаров, различающихся только по цвету (7 красных, 3 зеленых, 5 белых). Какова вероятности вытащить: а) белый шар; б) белый или красный шар; в) белый или красный или зеленый шары?

~ 5 1				~ 5 7 12						4		~ 5 7 3
а) P				; б) P								; в) P							1.
15			3	15		15		15		5		15		15			15
П р а в и л о ум н ож е н и я в е р о я т н о с т е й . Вероятность																	того, что произойдут

сразу несколько независимых событий, равна произведению вероятностей этих событий.

Пример 2. Бросают два кубика (игральных кости) одновременно. Какова вероятность того, что выпадут два одинаковых числа (например, две четверки)?

~ 1		1		1		.
P
6		6		36

215

Пусть X – случайная величина, т.е. величина, значения которой изменяются случайным образом от одного испытания к другому, причем каждое из значений реализуется с той или иной степенью вероятности. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Для полной характеристики случайной величины необходимо и достаточно знать закон распределения этой случайной величины, то есть

1)перечень всех возможных значений этой случайной величины;

2)вероятность каждого из этих значений.

Закон распределения может быть задан в виде таблицы, формулы или каким-то другим способом.

Возможные значения X	X1	X2	…	Xm	…	XS
Соответствующие вероятности	1	2	…	m	…	S

Очевидно, если реализуется одно из значений Xm, то сумма вероятностей всех возможных событий равна 1:

~	~	~	S	~	(Б.2)
P	P	P	P 1.
1	2	S		m
			m 1

Среднее значение дискретной случайной величины X (математическое ожидание)

есть сумма произведений значений этой величины на соответствующие вероятности

		~		~			~	S		~
X X			X			X		X			(Б.3)
	1	P		P			P		m	P
		1		2 2			S S			m
								m 1

Если случайная величина X непрерывна, то она может принимать любые значения на каком-то промежутке X1 < X < X2. При этом вероятность (т.е. возможность априорного предсказания) реализации какого-либо конкретного значения Xm равна нулю. Возможно только с некоторой вероятностью предсказать область, в которую может попасть случайная величина.

Для характеристики непрерывной случайной величины используют не вероятность, а

плотность вероятности (дифференциальную функцию распределения) f(r).

Ее можно определить аналогично известной плотности массы ρ. Плотность массы ρ, масса m и объем V связаны соотношениями

	dm			(Б.4)
	dV ; m		dV .
			V

Плотность вероятности и вероятность связаны аналогичными соотношениями:

		~		~
		dP			f r dV .	(Б.5)
	f r		;	P r
		dV
					V

В одномерном случае вероятность (X) реализации значений случайной величины X в промежутке от Х1 до Х2 выражается через плотность вероятности следующим образом:

~	X	2
		f X dX .	(Б.6)
P X
	X1

Если промежуток от X1 до X2 охватывает все возможные значения X, то этот интеграл равен единице:

~	X	2
		f X dX 1,	(Б.7)
P X

X1

216

так как это достоверное событие.

В общем случае условие нормировки можно записать как
	f	X		dX			1			(Б.8)
Среднее значение непрерывной случайной величины
X	X		f	X			dX			(Б.9)
В теории вероятностей и математической статистике большую роль играет
нормальный закон распределения (распределение Гаусса):
		1					X	a 2
f X						e	2	2 ,		(Б.10)
		2
где a – среднее значение (математическое ожидание) случайной величины;										ζ – среднее

квадратическое отклонение, которое характеризует разброс случайной величины относительно среднего значения.

Кривая нормального распределения имеет колоколообразную форму, симметричную

относительно прямой x = a. В точке x = a функция достигает максимума	f	X		1		.
			max
				2

По мере возрастания |x = a| функция f(X) монотонно убывает, асимптотически приближаясь к нулю. С уменьшением ζ кривая становится все более узкой и высокой. Изменения a не влияют на форму кривой, а лишь сдвигают ее вдоль оси абсцисс. Площадь под кривой, согласно условию нормировки, всегда равна единице.

217

П Р И Л О Ж Е Н И Е В

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИКИ

В1 Геометрия

Треугольник. Обозначения: S – площадь; a, b, c – стороны; α, β, γ – соответствующие противолежащие углы; h – высота.

c2 a2 b2 2bc cos (теорема косинусов);

a		b				c			(теорема синусов);
sin		sin				sin
		S		1	ah			1	ab sin ;
			2			a	2
		ha			b sin				c sin .

Параллелограмм. Длины сторон a, b; длины диагоналей d1 и d2.

S

ah

bh

ab sin

; S

1

d d

sin .

a

b

2 1

2

Квадрат.

S

a2 ;

прямоугольник S

ab .

Ромб. S

1

d d

;

трапеция: S

a

b

h

ch.

2

1

2

2

Длина окружности и площадь круга:

L 2 r d ; S r 2	d	2	,
	4

где π = 3,141592653589…≈ 3,142; r – радиус окружности, d – диаметр.

		d				r
Длина дуги окружности: L r								.
	360					180
Площадь эллипса:
	S		ab ,

где a – большая полуось, b – малая полуось эллипса. Цилиндр. Площадь боковой поверхности цилиндра:

S 2 rh.

Площадь полной поверхности цилиндра и его объем:

S

2 r r

h ;

V

Sоснов

h ; V

r 2h .

Конус. Объем конуса:

V

1

S

h ;

V

1

r 2h .

основ

3

3

Шар. Площадь поверхности и объем шара радиуса r:

	S 4 r 2	d 2 ; V	4	r3	1	d 3 .
			3		6

218

В2 Формулы алгебры и тригонометрии

Формулы сокращенного умножения

a	b a	b	a2	b2 ;
a	b 2	a2	2ab b2 ;
a	b 2	a2	2ab	b2 ;

a b 3 a3			3a2b		3ab2		b2 ;
a b 2 a3			3a2b		3ab2		b2 ;
a	b	a2	ab	b2		a3	b3;
a	b	a2	ab	b2		a3	b3.

Полное квадратное уравнение

ax	2	bx c 0, x	b		b2 4ac	.
		1,2		2a

Приведенное квадратное уравнение

x2 px q 0,	x	p			p 2		q
	1,2	2	2

Основные формулы тригонометрии

Определение тригонометрических функций угла. В прямоугольном треугольнике a и

b – катеты, с – гипотенуза; a2 b2

c2 ; угол α – противолежащий катету a.

sin

a

;

cos

b

; tg

a

;

b

ctg ;

c

c

b

a

sin 2

cos2

1;

sin

tg

;

cos

ctg

;

tg

ctg

1

cos

sin

Формулы суммы и разности двух углов

sin

sin

cos

cos

sin

cos

cos

cos

sin

sin

tg

tg

tg

1 tg

tg

Функции двойного и половинного угла

sin 2

2sin

cos

;

1

cos

sin 2

2

cos 2

cos2

sin 2

;

1

cos

cos 2

2

2

1

;

2

x

1

.

sin

2 1

cos 2

cos

2 1 cos 2

219

tg 2

2 tg

;

tg

1

cos

.

1 tg2

2

sin

В3 Логарифмы

Определение. Если loga x

b , то x

ab (x > 0, a > 0, a ≠ 1).

Основные свойства:

log 0

;

log1

0;

loga a

1;

log xy

log x

log y;

log

x

log x

log y;

y

log xn

1

log x.

nlog x;

log n

x

n

Переход к другому основанию в логарифмах

loga x

logb x

;

loga x

1

.

logb a

log x a

В4 Определители

Определитель (детерминант) второго порядка:

a1	b1	= a1b2 – a2 b1.
a2	b2

где a1, a2, b1, b2 – числа – элементы определителя; элементы a1b2 образуют главную диагональ; элементы a3b2 образуют побочную диагональ.

Определитель (детерминант) третьего порядка:

à1 b1 c1 a2 b2 c2 ;

a3 b3 c3

∆ = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 – c1b2a3 – b1a2c3 – a1c2b3.

Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Например,

à1

b1

c1

b2

c2

a2

c2

a2

b2

a2

b2

c2

a1

b1

c1

b c

a c

a b

a3

b3

c3

3

3

3

3

3

3

Решение системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.

Если определитель системы

a1x b1 y

c1z

u

a2 x

b2 y

c2 z

v

a3 x

b3 y

c3 z

w

220

отличен от нуля ∆≠0, то существует, и притом единственное, решение этой системы, определяемой формулами Крамера:

x

x

; y

y

; z

z

,

b1

c1

u b1

c1

à1

где

a2

b2

c2

;

x

v

b2

c2

,

a3

b3

c3

w b3

c3

u

c1

b1

u

à1

à1

y

a

2

v

c

2

,

z

a

2

b

v

.

2

a3

w

c3

a3

b3

w

В5 Некоторые формулы аналитической геометрии

Уравнение прямой в общем виде

ax by c 0

Уравнение прямой с угловым коэффициентом y kx b ,

где k – угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой относительно оси x; b – отрезок, отсекаемый на оси y.

Уравнение прямой в отрезках

x		y	1,
a		b

где a и b – отрезки, отсекаемые прямой на осях x и y.

Уравнение эллипса в канонической форме
					x2		y2		1,
				a2			b2
где a – большая полуось и b – малая полуось эллипса (a > b); c										a2 b2 –
расстояние от центра эллипса до фокусов (полуфокусное расстояние).
Уравнение окружности с центром в начале координат
	x2		y2		1		x2 y2 R2 .
	R2		R2
Уравнение гиперболы в канонической форме
					x2		y2		1,
				a2			b2

где a и b – полуоси.

Уравнение параболы в канонической форме

y2 2 px ,