2. Особенности организации обучения математике в малокомплектнои школе
* Кордемский Б. А. Математическая смекалка.— М.: физматиз, 1963; Игнатьев Е. И. В царстве смекалки.— М.: Наука, 1978; Сорокин П. И. Занямательные задачи по математике.— М.: Просвещение, 1967; Труднеб В. П. Считай, смекай, отгадывай.— М.: Просвещение, 1970.
Задачи для занятий кружка учитель может почерпнуть из многочисленных сборников занимательных задач*. Большое место в содержании кружковой работы могут занимать дидактические игры. Кружок групповое занятие. В начальных классах на заседания кружка приглашаются, как правило, все учащиеся класса. Кружок проводится 2—З раза в месяц. Продолжительность занятия 35—50 мин. Еще одной формой организации систематической внеурочной работы учащихся по математике является математический уголок. В нем могут быть представлены номера стенной газеты, посвященные занимательной математике, работе кружка, лучшие учебные работы учащихся по математике, подборки вырезок из пионерских газет и журналов, в частности из Кванта». В математическом уголке могут помещаться, например, задания для учащихся, включающие занимательные задачи. Ответы (решения) ученики опускают в специальный ящик. В конце недели учитель подво4ит итоги победители, решившие наибольшее количество задач, поощряются. Большой интерес вызывают у учащихся и другие формы внеурочной работы: математические конкурсы, викторины, олимпиады, утренники, смотры-конкурсы знаний по математике. С опытом проведения этих мероприятий можно ознакомиться по публикациям в журнале Начальная школа» (см., например: Купров В. д. Конкурс- смотр знаний по математике//Начальная школа.— 1982.— З б.— С. 45—47; Кондратенко Е. А. Математический утренник//Начальная школа.— 1982.— З б.— С. 47—49 и др.).
Малокомплектные начальные шкколы организуются в небольших населенных пунктах, где число учащихся, принимаемых в i класс, меньше норм, установленных для комплектования отдельного класса. Особенность такой школы состоит в том, что учитель на каждом уроке одновременно обучает учащихся разных классов. Малокомплектные школы бывают одно-, двух- и трехкомплектными. В однокомплектной школе работает только один учитель, который одновременно обучает учащихся с первого по третий класс. В двухкомплектной школе — два учителя. Каждый из них ведет по два класса. При четырехлетнем начальном обучении возможна трехкомплектная школа. В ней три учителя, один из которых ведет два класса. Работа учителя в малокомплектной школе имеет ряд негативных особенностей. Это, во-первых, отсутствие или малочисленность учительского коллектива, который, как известно, способствует повышению творческой активности каждого учителя; во-вторых, повышенная нагрузка, которую испытывает учитель, готовясь ежедневно к двум и даже трем урокам по каждому предмету. Однако наиболее сложная проблема выполнение в полном объеме учебной программы во всех классах. Методика изучения учебного материала по математике в каждом классе малокомплектной школы не отличается от методики изучения этого же материала в обычной школе. Поэтому качественное изучение программы в условиях малокомплектной школы возможно при выполнении двух условий: 1) если правильно организован учебный процесс в целом; 2) если разработан оптимальный вариант работы каждого класса в рамках отдельного урока.
Рассмотрим подробнее эти условия.
1. Под правильной организацией учебного процесса изучения математики понимают выбор учителем наиболее удачного сочетания математики с другими учебными дисциплинами в рамках одного урока. Изучение математики можно сочетать с обучением чтению, природоведением, рисованием. Считают также, что удобнее изучать математику одновременно во всех классах малокомплектной школы. Это объясняется тем, что особенности данного предмета позволяют организовать и эффективно контролировать самостоятельную работу учащихся. Например, в начале урока учащиеся могут самостоятельно работать над устными вычислениями. Соответствующие упражнения записываются учителем на доске, в тетрадях учащиеся пишут только ответы. Затем ученикам можно предложить самостоятельно выполнить задания, что облегчило бы восприятие нового материала. После изучения новой темы легко организовать самостоятельную работу по ее закреплению.
Концентрическое строение программы также обусловливает целесообразность изучения математики одновременно в двух и даже трех классах. Например, на множестве чисел в пределах ста младшие учащиеся могут выполнять операции сложения и вычитания, а ученики более старших классов — умножение и деление. В одном классе на множестве трехзначных чисел могут отрабатываться приемы письменного сложения и вычитания, а в другом — приемы письменного умножения и деления.
Иногда по каким-либо причинам для учителя однокомплектной школы может оказаться нежелательным сочетание урока математики в одном классе с уроками в другом (или других) классе. В этом случае учитель может распределить уроки таким образом: первый урок — математика — проводится только в одном классе, уроки в двух других классах начинаются позже на один урок и на один урок позже заканчиваются.
С переходом начальной школы на четырехлетнее обучение подобный вариант расписания уроков и малокомплектной школе используется чаще. Так, первые два урока учитель работает с двумя классами (старшим и младшим), два следующих —с четырьмя, последние два урока — с двумя классами (рис. 11).
2. План урока математики, разрабатываемый учителем, должен обеспечить эффективное изучение учащимися каждого класса, с которым он работает на данном уроке. Большую помощь в этом оказы
Работая по такой программе, учитель должен уделять больше времени учащимся первого класса, у которых навыки самостоятельной работы еще только формируются, а также классу, у которого на данном уроке более сложная .(важная) тема.
Наличие у учащихся навыков самостоятельной работы имеет в малокомплектной школе большое значение. для формирования таких навыков учитель должен использовать систему специальных методических приемов.
Выделяют три группы таких приемов*.
1. Приемы, обеспечивающие правильное понимание учащимися содержания задания для самостоятельной работы и предъявляемых к ним требований.
Планируя в начале урока работу с одним из классов, учитель дает задания для самостоятельной работы учащимся других классов. При этом он лишен возможности отвечать на вопросы, которые могут возникнуть у учеников в процессе выполнения этих заданий. для того чтобы предупредить возможные неясности, учитель вместе с заданием показывает учащимся образец его выполнения.
Например, учащимся нужно самостоятельно выполнить упражнение: Реши примеры, проверяя ответ умножением: 48:24, 32: 16, 84:14, 51:17, 87:29». Ученикам дается образец решения первого примера: 48:24= 2; 24. 2=48.
2. Приемы, позволяющие учитывать индивидуальные особенности учащихся.
Немногочисленность учащихся в малокомплектной школе позволяет индивидуализировать задания для самостоятельной работы.
Пусть, например, учащимся нужно решить задачу: «Сколько килограммов масла получится из 75 л молока, если из 25 л молока получается 1 кг масла?»
Сильным учащимся может быть предложено задание: «Реши задачу. Составь похожую задачу со следующими данными: З кг, 75 л, 25 л».
Более слабым ученикам вместе с условием задачи можно дать чертеж, иллюстрирующий ее содержание.
для слабоуспевающих учащихся, кроме этого, может быть записано выражение: 75:25. Требуется: «Вычисли ответ к задаче. Запиши пояснение к действию 100:25=4».
3. Приемы, обеспечивающие формирование у учащихся навыков самоконтроля.
Н. Ф. Вапняр предлагает два вида приемов такого рода:
1) учащимся предлагается задание и ряд числовых значений. Требуется проверить, есть ли среди этих чисел ответ к данному примеру;
2) учащимся дается задание решить систему примеров. Одновременно им сообщается число, которое равно, например, сумме полученных в этих примерах ответов.
Эти приемы позволяют осуществлять эффективный контроль за самостоятельной работой учащихся.
Например, учащимся вместе с заданием дается система ответов. Только один из них верен, а остальные подобраны с учетом наиболее вероятных ошибок. Ученики выполняют задание и подчеркивают соответствующий ответ. Это позволяет учителю не только определить, справился ли ученик с заданием, но и оперативно выяснить характер допущенной ошибки.
Проиллюстрируем использование этого приема,
для проверки усвоения правила определения неполного делимого (при использовании алгоритма письменного деления) учащимся может быть предложено следующее задание:
Определи неполное делимое и подчеркни полученный ответ:
13. СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Учебники. Из курса педагогики известны принципы построения учебников для начальной школы, общие требования, которым должны удовлетворять их содержание и структура. Рассмотрим наиболее важные методические особенности учебников математики для начальных классов.
Процесс обучения математике можно рассматривать как последовательное усвоение учащимися фрагментов теоретического материала (определений, аксиом, теорем) и выполнение ими соответствующих систем упражнений. Работая над упражнениями, учащиеся, о’ одной стороны, глубже усваивают изучаемую теорию, с другой приобретают практические навыки, умения, которые пригодятся им при изучении следующей порции теоретического материала. В соответствии с этим и учебники по математике, например для средних и старших классов, строятся по следующему принципу: теоретический материал и соответствующая система задач, следующий раздел теории и соответствующая ему система задач и т. д. Объем порций теоретического материала соответствует возрастным особенностям учащихся.
Принцип построения учебников математики для начальной школы специфичен. Известно, что в основе любой математической теории лежит конечное множество исходных понятий. Например,
в аксиоматической теории арифметики натуральных чисел (изучавшейся в вузовском курсе математики) в качестве исходных используются понятия «множество», «натуральное число», «единица», «следует за», «равенство», неравенство»; в школьной геометрии в качестве исходных используются понятия «точка», «прямая», плоскость> и др. Но у начинающих изучать математику нет исходного запаса математических понятий. даже у учащихся четвертого класса понятийный аппарат беден. Поэтому в учебниках для младших школьников не может быть учебного материал’ излагаемого в виде теории. Математические понятия вводятся в начальной школе, как правило, посредством систем специальных заданий. Таким образом, каждому понятию, предусмотренному программой, в учебнике соответствует система учебных заданий.
Приведем пример системы заданий, с помощью 1оторой вводится правило умножения числа на произведение, из учебника математики для iii класса.
Характер заданий в учебниках, например для 1 и IУ классов, различен. В начале учебы в 1 классе учащиеся еще не умеют читать, навыки работы над учебными заданиями у них отсутствуют. Соответственно в учебнике помещены не учебные задания, а лишь материал для них в виде картинок, изображающих реальные предметы, житейские ситуации. Сами же задания формулирует учитель. Позже задания даются в текстовой форме. Наконец, в учебниках для 111 и IУ классов формулируются не только задания, по и указания к ним, требующие от учащихся самостоятельного мышления.
Качество усвоения учащимися учебного материала во многом зависит от методической целесообразности содержания учебника. В не- меньшей степени оно зависит и от педагогического мастерства учителя. В самом деле, используя одни и те же учебники, разные учителя добиваются существенно разных результатов обучения. Работа с учебником будет эффективной, если учитель понимает, почему в систему заданий для формирования данного понятия включены именно эти, а не другое задания, почему именно в такой, а не в другой последовательности, какую функцию выполняет каждое из этих заданий.
В то же время целесообразность предлагаемой в учебнике системы заданий не есть объективная характеристика. Она зависит и от уровня методической подготовки учителя и от особенностей класса. Поэтому учитель должен уметь определять слабые места системы упражнений, предлагаемой в учебнике, и, если это необходимо, дополнять или изменять ее. Вернемся к рассмотренной выше системе заданий. Возможно, что индуктивное введение правила умножения числа на произведение (упражнение 556) покажется учителю недостаточно доступный для учащихся. В таком случае он может предложить учащимся еще до выполнения упражнения 556 задание, представляющее новое правило в более наглядном виде: 1) 3. (5. 2)=3. 10. Начерти отрезок длиной З клетки. Начерти отрезок в 10 раз больший; 2) 3. (5. 2) = (3. 5) . 2. Начерти отрезок длиной З клетки. Начерти отрезок в 5 раз больший. Начерти отрезок, в 2 раза больший полученного; 3) 3. (5. 2) = (3. 2) . 5 Начерти отрезок длиной З клетки. Начерти отрезок в 2 раза больший. Начерти отрезок, в 5 раз больший полученного. Сравни полученные отрезки. Какой вывод можно сделать? В некоторых ситуациях учитель может воспользоваться собственной методической идеей, отличающейся от заложенной в учебнике. Например, в учебнике математики для II класса предлагается такое упражнение, раскрывающее прием деления двузначного числа, оканчивающегося нулем, на двузначное, оканчивающееся нулем: 80:20 Целое число надо умножить 20, чтобы получилось 80? Попробуй умножить 20 на 2, на 3, на 4 80:20=4, так как 20. 4= 80. Авторы учебника используют формальное определение частного (которое, кстати, применяется и в вузовском курсе математики). Если учитель считает, что оно доступно не всем учащимся, он может, например, предложить им более простой прием деления. Реши задачу: <(8 десятков яиц разложили по 2 десятка в каждую корзину. Сколько корзин для это потребовалось? Тип этой задачи - деление по содержанию —. уже хорошо известен учащимся. Решить ее они должны самостоятельно — 8:2=4. Упражнение: 80:20 . 90:30=? 8 лес. :2 дес. = 4. 80:20=4. Итак, работа с учебником требует от учителя творческого отношения, хорошего знания общих и частных вопросов методики преподавания математики. Дидактические материалы. В начальном обучении широко применяются различные дидактические материалы. Карточки с математическими заданиями* представляют собой сборники задач и * Например: Моро М. И., Вапняр Н. Ф. Карточки с математическими заданиями ля 1 класса. — М., 1982; Моро М. И., Мелнцова Н. В. Карточки с математическими
упражнений. Они дополняют учебники и используются учителем для организации индивидуальной работы с учащимися и контроля за усвоением ими программного материала. На уроках математики могут применяться так называемые тетради с печатной основой*. В них также содержатся системы упражнений, дополняющие материал учебников. Системы упражнений соответствуют отдельным урокам. В каждую из них входит упражнение-образец . Пользуясь им, учащиеся самостоятельно или с незначительной помощью учителя могут выполнить всю систему упражнений. для малокомплектных школ, где объем самостоятельной работы, выполняемой учащимися, значительнее, чем в обычной школе, разработаны специальные дидактические материалы**. В методическом отношении они в большей степени, чем все названные мате- риалы, ориентируют учащихся на самостоятельную работу. Они со- держат образцы для выполнения упражнений а также задания, в которых учащимся необходимо восполнить специально оставленные пробелы. Наглядные пособия. Принцип наглядности является общедидактическим. Это означает, что его реализация имеет важное значение для полноценного обучения любой дисциплине, на любом уровне (и в начальной школе, и в старших классах школы, и в вузе). Вместе с тем отражение этого принципа в начальном обучении математике имеет ряд особенностей (см. § 6). рассмотрим важнейшие из них. 1. Как известно, у учащихся начальных классов превалирует конкретнообразное мышление. Вследствие этого им легче дается запоминание учебного материала, чем осмысленное его усвоение. При изучении математики у учащихся формируется словеснологический тип мышления. Важным условием этого является использование при обучению наглядных пособий. Однако в некоторых случаях применение наглядных пособий может оказаться не очень эффективным. рассмотрим это на конкретном примере. На уроке учащиеся знакомились с правилом умножения числа на сумму: а (Ь + с) = аЬ + ас. При объяснении нового материала широко использовались наглядные пособия. Учащиеся работали над иллюстрацией, помещенной в учебнике и демонстрировавшейся учителем на магнитной доске. Новое правило было сформулировано учителем, затем уча1ЦимиСя. Класс выполнил систему упражнений на закрепление. Аналогичные упражнения были заданы на дом. заданиями для 2 класса.— м., 1983; Моро М. И., Вапняр Н. Ф. Карточки с математическими заданиями для З класса.— М., 1984. * Например: Вапняр Н Ф., Пышкало А. М., Янковская Н. А. Тетрадь по математике для 2 класса.— М., 1983; Вапняр Н. Ф., IIышкало А. М., Янковская Н. А. Тетрадь по математике для З класса—М., 1981. ** Чеiсмарева Т. К Задания к учебнику математики 1 класса: Пособие для малокомплектной Школы.— М., 1982; Вапняр Н. Ф. Задания к учебнику математики 2 класса: Пособие для малокомплектной школы.—- м., 1983; Чекмарева Т. К. Задания к учебнику математики З класса: Пособие для малокомплектной школы.— М., 1981. В начале следующего урока учитель провел самостоятельную работу. Ее результаты показали, что значительная часть учащихся (и среди них успевающие по математике на хорошо») не справилась с заданием: «Вычисли разными способами 5 (3 + 4)». В беседе с этими учениками выяснилось, что при изучении правила они старались запомнить его. Формулировка, данная учителем, оказалась для них слишком сложной, поэтому они сами придумывали мнемонические правила, которые основывались на несущественных признаках изученного материала. Например, один из учеников пользовался таким правилом: «При умножении числа на сумму должно получаться выражение, в котором два действия умножения и одно — сложения». Выражение 5. (3 +4) он преобразовал так: 5. 3+З 4. На основании данного факта учитель высказал мнение, что время, затраченное на демонстрацию наглядных пособий, целесообразнее использовать на закрепление формулировки правила умножения числа на сумму, т. е. на запоминание. С этим согласиться нельзя. Ориентировать учащихся только на запоминание допустимо тогда, когда другой путь усвоения ими знаний невозможен. В противном случае обучение математике будет сводиться к тренировке и развитию памяти учащихся, а не развитию мышления. Описанная педагогическая ситуация может быть истолкована по-другому: средства наглядности — необходимое, но не достаточное условие понимания учащимися учебного материала. Оно образует достаточное условие в совокупности со следующим требованием: учитель должен организовывать работу учащихся с индивидуальными средствами наглядности. В рассмотренном случае после объяснения учителя учащимся нужно было предложить самостоятельно выполнить иллюстрацию, например, к выражению 2. (3 +4). для этого можно использовать наборы вырезанных из бумаги кружков, треугольников и т. д. Итак, работа учителя со средствами наглядности должна по возможности сочетаться с индивидуальной работой учащихся с раздаточным наглядным материалом. На первых порах затраты времени на индивидуальную работу учащихся с наглядностью будут довольно значительными. Однако систематическое привлечение учащихся к такой деятельности обеспечит формирование у них соответствующих навыков. Это в дальнейшем облегчит организацию работы учащихся со средствами наглядности, приведет к сокращению времени, необходимого на ее проведение. 2. Одна из важных целей обучения математике — развитие у учащихся абстрактного мышления. Средства наглядности способствуют ее достижению в том случае, если с течением времени их характер изменяется: натуральные наглядные пособия (в которых используются предметы из окружающего ребенка мира) уступают место изобразительным (в которых используются образы предметов), а они в свою очередь — символическим наглядным пособиям (где предметы, отно1ения. изображаются символами — кружками, квадратами, отрезками, стрелками, скобками, буквами и т. д.). При
этом важно, чтобы переход к новому типу наглядности соответствовал возможностям учащихся абстрагироваться от несущественных свойств объектов, используемых для иллюстраций. Уровень абстрактного мышления у учащихся данного класса может оказаться неодинаковым. В таком случае на уроке одновременно используют разные по уровню абстрактности наглядные пособия, например натуральные и изобразительные. 3. В системе наглядных пособий для начальной школы отражаются особенности содержания курса математики для 1—IУ классов. Известно (см. 11), что центральное место в нем занимает понятие целого неотрицательного числа: нумерация, арифметические операции, отношения «больше», «меньше», «равно» на множестве целых неотрицательных чисел. Поэтому и наглядные способ, которые должны помочь учащимся усвоить нумерацию, приемы устного и письменного выполнения арифметических операций, сравнения чисел, можно отнести к основным наглядным пособиям для начальной школы. Это арифметический ящик и его модификации, наборы счетного материала, различные виды абаков. Конструкция этих пособий, методика их использования будут подробно описаны в соответствующих раздел ах данного пособия. Помимо рассмотренных существуют и другие средства обучения математике*. Оригинальные пособия для отдельных разделов программ предлагаются в журнале «Начальная школа>**. В методической литературе широко представлен также опыт использования технических средств обучения на уроках математики*** Роль учителя не ограничивается использованием известных средств обучения. Важным аспектом творческого подхода к обучению является разработка им наглядных пособий, методики их использования.
Вопросы и задания для самостоятельной работы
К §10
1. Какие требования предъявляются к уроку математики в начальных классах? 2. Назовите структурные Элементы урока математики в начальных классах и обоснуйте необходимость каждого из них. 3. Каким образом и на каких уровнях осуществляется планирование учебного материала? Средства обучении математике в начальных классах /Сост. М. И. Моро, А. М. Пышкало. М 1981; Моро М 14., Степанова С. В. Наблюдай, сравнивай, считай: 26 таблиц и методические указании к Ним. для 1 класса четырехлетней начальной школы. М., 1986 и др. ** Еремина Е. М. Наглядное пособие при изучении нумерации 7/ Начальная школа.— 1982.— Н’ 10.— С 62- 64; перевертень !. 11. Пособие для изучения частей целого//Начальная школа. 1984. !‘д 3 С. 54 56. ‘‘ Подручная М. В., Ходорчук А. 1. Использование ТСО на уроках математики//Начальная школа--- 1980. Х 10. С. 53- 56; Бондаренко А. В. технические средства обучения на уроках Математики// Начальная школа.— 1982.— 1я 12.— С. 44 48.
4. Расскажите о методических особенностях проведения внеурочной работы с отстающими учащимися. 5. Назовите основные направления внеурочной работы с учащимися, направленной на углубление их знаний по математике. Расскажите об опыте проведения какого-либо внеурочного мероприятия такого рода. Воспользуйтесь для этого материалами, публикуемыми в журнале Начальная школа?. К §12 б. В чем состоят особенности процесса обучения математике в малокомплектной школе? 7. Сформулируйте принципы планирования уроков математики в малокомплектной школе. 8. Раскройте содержание методических приемов формирования у учащихся малокомплектных школ навыков самостоятельной работы на уроке математики. К §13 9. Учебникам математики для начальных классов присущи специфические особенности. В чем они заключаются? 10. Подготовка к уроку творческий процесс. Какими возможностями для творчества, если иметь в виду учебники математики, располагает учитель? 11. Познакомьтесь с известными видами дидактических материалов по математике для начальной школы. Опишите их структуру, назначение. 12. В чем состоят особенности реализации принципа наглядности при начальном обучении математике? Приведите соответствующие примеры.
IУ. ИЗУЧЕНИЕ ЧИСЕЛ: НУМЕРАЦИЯ, СРАВНЕНИЕ, ОПЕРАЦИИ 14. ДЕСЯТОК Нумерация и сравнение. В теме «десяток» учащиеся начинают изучать язык для устного и письменного именования чисел. При этом необходимо учитывать, что поскольку изучается десятичная система счисления, то алфавит этого языка содержит десять различных знаков-цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (нуль, один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять). , При изучении нумерации чисел в пределах десяти выделяются два этапа — подготовительный и этап изучения. дети приходят в первый класс, имея разный уровень подготовки, в том числе и математической. К началу изучения концентра «Десяток» учащиеся должны уметь: 1) пересчитывать предметы ,множества, содержащего не более десяти предметов, с помощью количественных и порядковых числительных; 2) по результатам этого пересчета уметь отвечать на вопрос: «Сколько предметов в данном множестве?»; З) сравнивать численности двух множеств; 4) иметь представления о моделях отношений: «меньше» («больше»); «ниже» («выше»), «левее» («правее), «лежать между» («перед», «после»); «следовать за»; «предшествовать». 1- Продолжительность подготовительного этапа зависит от уровня подготовки класса. Упражнения на отработку навыка пересчета предметов строятся по такой схеме: учащимся предъявляется некоторое множество предметов и предлагается сосчитать их. При этом необходимо учитывать уровень подготовки школьников. Слабо подготовленным ученикам необходимо начинать с упражнений такого типа: дается множество определенных предметов (вырезанные из картона геометрические фигуры, предметные картинки, камешки, палочки и т. п.) и.предлагается сосчитать их. учащийся считает, сопровождая счет перекладыванием предметов из одной кучки в другую. Более сложными являются упражнения на пересчет предметов, которые нельзя перекладывать: изображений предметов на рисунке, предметов из окружающей обстановки. Еще более сложен пересчет объектов, которые после воздействия на наши органы чувств исчезают, например звуков (хлопков), движений (шагов, взмахов рук), вспышек света, прикосновений и пр. При этом важно, чтобы объектами счета были воздействия на разные органы чувств. В результате выполнения таких упражнений ученик должен овладеть умением счета, знать последовательность натуральных чисел до 10 (за «один» следует «два», за «два» следует «три» и т. д.) и вместе с тем уяснить, что последнее из произнесенных при счете числительных является ответом на вопрос типа «Сколько?». Кроме того, школьники должны усвоить, что результат счета не зависит от последовательности пересчета. При этом важно, чтобы ни один из предметов не был пропущен при счете и не был сосчитан два или более раз. Необходимо, чтобы этот вывод учащиеся сделали сами, выполняя соответствующие практические упражнения.
Чтобы внести разнообразие в работу по пересчету предметов, учитель может предложить учащимся посчитать предметы, обладающие одним или несколькими заданными свойствами. Покажем, как можно организовать эту работу, используя в качестве примера рис.
12. На этом рисунке цвет (красный, голубой) заменен штриховкой
(не заштриховано, заштриховано). Кружки различаются по трем признакам: размеру (большой или маленький), цвету (заштрихован или не заштрихован), местонахождению (в верхнем или нижнем ряду).
Упражнения в счете можно организовать и таким образом, чтобы одновременно знакомить учащихся со структурой линейного порядка на множестве натуральных чисел. для этого необходимо использовать не только количественные числительные, но и порядковые, т. е. упражнения типа «Который по счету?». Первые упражнения этого типа можно начинать следующим образом: «Считай так:
первый, второй, ...» - Упражнения этого типа знакомят учащихся с отношениями «следует за» и «предшествует».
‘‘— Важной задачей подготовительного этапа является выработка
При этом начинать нужно с упражнений на установление между множествами биективного (взаимно однозначного) соответствия. Основой таких упражнений могут служить различные ситуации из обыденной жизни:. каждому ученику в классе взаимно однозначно соответствует его ранец, каждой чашкё в чайном приборе взаимно однозначно отвечает блюдце, на которое ставят чашку, каждой пластинке в домашней фонотеке взаимно однозначно соответствует конверт, в который помещают пластинку, и т. п. Полезны также различные упражнения с использованием раздаточного материала. Например, учащиеся получают наборы предметов двух видов — квадратов и треугольников, причем наборы содержат равное количество предметов. Затем, накладывая треугольник на каждый квадрат (при этом можно использовать наборное полотно), ученик устанавливает между множествами квадратов и треугольников взаимосоответствие. Упражнения на установление биективного соответствия между множествами заканчиваются выводом: предметов одного вида столько же, сколько предметов другого вида где предметов одного и другого видов поровну. -
По такому же принципу определяется, какое из двух множеств содержит больше (меньше) предметов. Больше предметов в том множестве, в котором остались предметы без пары.
Полезно ознакомить учащихся с различными приемами попарного соотнесения предметов двух множеств. 0дним из таких приемов является описанный выше прием расположения пар предметов определенным образом (на наборном полотне; положив друг на друга и т. д.). В общем — изымание по одному предмету из каждого множества и откладывание получаемых пар. Третий прием — се двух множеств, элементы которых нельзя изымать, например множеств предметов, изображенных на рисунке. При этом предметы, образующие пару, соединяются стрелкой. В классе можно не рисовать всякий раз на доске два множества предметов, а использовать две полоски бумаги с нарисованными на них множествами предметов, расположив эти предметы в одну линию. Прикрепив полоски к доске на небольшом расстоянии друг от друга, учащимся предлагают сравнить численность этих множеств, образуя пары предметов с помощью стрелок. пр ем целесообразно применять для сравнения двух множеств нарисованных предметов, если эти предметы не расположены линейно. В таком случае предметы, поочередно участвующие в образовании пар, определенным образом помечаются, например, перечеркиваются. Предлагая учащимся упражнения на сравнение численности множеств, целесообразно начинать с множеств, каждое из которых составлено из однородных предметов, например, одно множество состоит из треугольников, а другое из квадратов. Через некоторое время переходят к сравнению множеств разнородных предметов, например, каждое из сравниваемых множеств содержит и треугольники, и квадраты. При выполнении упражнений желательно обращать внимание на важнейшие свойства отношений «столько же», «меньше», «больше». Во-первых, установив, что, например, множество квадратов равномощно множеству кругов, наряду с выводом «квадратов столько же, сколько и кругов» делают вывод «кругов столько же, сколько и квадратов», тем самым привлекая внимание учащихся к тому, что отношение равенства обладает свойством симметричности. Во-вторых, целесообразно выполнить упражнения, иллюстрирующие транзитивность отношения «равно». Приведем пример: ученики / устанавливают, что данное множество зайцев равномощно данному множеству морковок, а множество морковок равномощно данному множеству кочанов капусты. Учащиеся убеждаются, что мощности зайцев и кочанов одинаковы. В-третьих, установив, например, что при попарном сравнении остались квадраты (круги все исчерпаны), делают сначала вывод о том, что квадратов больше, чем кругов, а затем — что кругов меньше, чем квадратов, устанавливая тем самым связь между взаимно обратными отношениями «меньше и «больше». Кроме того, если установлено, что квадратов больше, чем кругов, то поясняется, что в этом случае кругов не может быть больше, чем квадратов, и тем самым иллюстрируется свойство транзитивности отношения «больше». Аналогично поясняется свойство антисимметричности отношения «меньше». ( В-четвертых, желательно решить несколько упражнений, иллюстрирующих транзитивность отношения «больше» («меньше»). Установив, что квадратов больше, чем прямоугольников, а прямоугольник больше, чем кругов, учитель обращается к учащимся с вопросом: «Чего больше: квадратов или кругов?». Получив ответ, проверяют его, сравнивая множества квадратов и кругов. Упражнения такого рода могут сочетаться с упражнениями на счет предметов. Установив вначале, что два множества равномощны, учаиеся затем определяют, сколько элементов в одном и другом множествах. Получив в результате счета одно и то же число, ученики начинают осознавать, что число является общей характеристикой равномощных множеств. Если же путем сравнения устанавливается, что множества неравномощны, то в таких случаях учащиеся приобретают опыт сравнения соответствующих чисел. Ознакомление учащихся с отношениями «равно» (столько же»), «меньше», «больше», которое осуществляется при выполнении упражнений на сравнение мощностей множеств, целесообразно продолжить, предлагая упражнения, содержащие физические величины длину, объем, массу. Сравнивая различные предметы по длине, объему, массе, учащиеся приходят к заключениям типа: «карандаш короче ручки», «ручка длиннее карандаша», «тетради одинаковы по ширине», «учебник тяжелее тетради», «тетрадь легче учебника и т. п. Тем самым учащиеся знакомятся с другими конкретными моделями отношений «равно», «меньше», «больше». Изучение нумерации чисел первого десятки. Основная цель изучения нумерации чисел первого десятка ознакомление учащихся как с каждым числом множества О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1О, так и со свойствами начального отрезка натурального ряда в объеме: школьники учатся называть •и записывать числа — усваивают взаимное расположение чисел в натуральном ряду, их состав. Учащиеся уже знают названия чисел первого десятка. Теперь же они усваивают печатное изображение этих чисел с помощью цифр. демонстрируя различные, но равномощные множества, учитель произносит, например: Пять палочек, пять пуговиц, пять девочек,. . Как видим, все эти множества содержат по пять предметов. Число пять обозначается знаком (цифрой) 5. Эта цифра выставляется на наборном полотне, учащиеся находят ее в своих кассах. Выполняются и обратные упражнения. Учитель показывает на карточке или пишет на доске число и предлагает учащимся взять в руки столько же палочек или других предметов. Учитель держит определенное число предметов в руках и предлагает ученикам показать карточку, на которой записано число демонстрируемых предметов. На этом же уроке дети учатся писать цифру 5. Учитель приводит на доске образец написания цифры. Учащиеся вначале несколько раз обводят образец цифры, написанный учителем в тетрадях, а затем пишут сами одну-две строки. Закрепляющие упражнения проводят и на последующих уроках. Параллельно с изучением письменной нумерации происходит знакомство учащихся с операциями сложения и вычитания. Рассмотрим, например, методику введения числа 2. Вначале учитель должен объяснить, как образуется число 2. Он предлагает учащимся взять в руку одну палочку, затем еще одну палочку и посчитать, сколько теперь в руке палочек. Затем делается вывод, что если к одной палочке прибавить еще одну палочку, то получится две палочки. Подобное проделывается в с другими предметами — геометрическими фигурами, пуговицами, картинками и т. п. Теперь проводим описанную процедуру в уме, решая, например, такую задачу: «У Наташи была одна кукла. На день рождения мама подарила ей еще одну куклу. Сколько сейчас кукол у Наташи?». Наконец, задаются вопросы: «Как можно получить число 2?» («К одному прибавить один»), «Как получить число 1?» («Число 1 получается, если из двух вычесть одних’). По описанной методике объясняется и образование чисел 3, 4, 5 и т. д. Одновременно учащиеся вспоминают, как были получены предыдущие числа. Тем самым они готовятся к обобщению: «Всякое число можно получить прибавлением числа 1 к предшествующему числу или вычитанием числа 1 из последующего числа». Постепенно знакомясь с натуральными числами первого десятка, ученики усваивают последовательность натуральных чисел. Приведем в качестве примера фрагменты уроков. Возьмите одну палочку, затем еще одну. Сколько палочек у вас в руках? Как получили число 2? Возьмите еще одну палочку. теперь сколько вы палочек держите? Как получили число З? Упражнение выполняется до тех пор, пока не получится наибольшее известное на данном уроке число. В результате учащиеся усваивают следующее свойство: за числом 1 следует число 2, за числом 2 число З, за числом З — число 4 и т. д. Число 2 получается из числа 1 прибавлением числа 1, число З получается из числа 2 прибавлением числа 1, число 4 получается из числа З прибавлением числа 1 и т. д. Возьмите 5 палочек. Уберите одну палочку. Сколько палочек у вас в руках? Как получили число 4? Уберите еще одну палочку. Сколько палочек вы держите? Как получилось число З? Упражнение выполняется до тех пор, пока не получится число 1. В итоге учащиеся должны усвоить свойство: числу 5 предшествует число 4, числу 4 — число З, числу З число 2, числу 2 число 1. Число 4 получается из числа 5 вычитанием числа 1, число З получается из числа 4 вычитанием числа 1, число 2 получается из числа З вычитанием числа 1 число 1 получается из числа 2 вычитанием числа 1. Обобщая результаты такой работы, учитель помогает школьникам сформулировать еще одно свойство натурального ряда: «Число 2 находится между числами 1 и 3, ЧИСЛО З находится между числами 2 и 4, число 4 находится между числами З и 5 и т. д’. для закрепления полученных знаний можно предложить учащимся упражнения таких типов: а) назовите пропущенные числа: 1. 2, 3, п, п, б, П, П, П, 10; б) присчитывайте по одному. начиная с числа З; в) отсчитывайте по одному, начиная с числа 7; г) расположите данные числа в порядке счета: 5, 7, 3, 1, 2; д) расположите данные числа в порядке, обратном счету: 3, 9, 7, 1, 5, 6. В результате ученики должны научиться нести счет в прямом и обратном порядке, сразу без счета указывать число, предшествующее данному и непосредственно следующее за ним. С отношениями «равно», меньше, <больше> на множестве натуральных чисел первого десятка учащиеся знакомятся путем сравнения соответствующих множеств. при этом следует иметь в виду, что при изучении нумерации чисел сравниваются только Числа, стоящие рядом в натуральном ряу. Ученики учатся называть и записывать знаки =, . -
ведение знака можно осуществить, ВЫПОЛНЯЯ такое упражнении . Учитель на доске, а учащиеся в тетрадях рисуют один предмет, например квадрат (закрашивают одну клетку). Отступив немного (эти клетки) вправо, рисуют 2 квадрата. Ученики делают вывод, что слева квадратов меньше, чем справа. Под одним квадратом пишут цифру 1, под двумя цифру 2, произносят: «Число 1 меньше числа » и между написанными цифрами 1 и 2 ставят знак . Учащиеся учатся читать запись — 1 .е 2: «Один меньше, чем два». Подобным образом вводятся записи вида 1 = 1, 2 1, которые используются при изучении нумерации. Чтобы учащиеся не путали знаки с И полезно воспользоваться следующим мнемоническим приемом: «знак с направлен острием к меньшему числу». для закрепления знаний об отношениях между числами выполняются разнообразные упражнения: 1) сравнить два написанных числа и вставить между ними один из знаков: 2) правильно ли сделаны записи: 5.’с4, 5.с5, 5=5, 56, 5=6 и т. п. Как исправить эти записи? З) какие числа нужно написать в клетках, чтобы получить правильные записи: П 2; З С; С с 0; 0 = 2; С = С и т. п.? После изучения чисел 1—9 учащиеся, согласно программе, знакомятся с числом 0. Следует отметить, что ученики уже встречались с цифрой 0: работая с линейкой, они замечали, что начало отсчета помечено этой цифрой; кроме того, она встречается в названии числа 10 на письме. Однако в обоих случаях знак О не воспринимается учащимися как обозначающий некоторое число. Число 0, как и другие числа, вводится путем выполнения учащимися практических упражнений. При этом можно использовать рисунки из учебника, моделируя рассматриваемые ситуации на множествах предметов, которыми располагают школьники. Упражнения строятся по такому плану: из данного множества предметы изымаются по одному до тех пор, пока не останется ни одного предмета. Выполнение упражнения сопровождается последовательными записями: З — 1 = 2, 2 — 1 = 1, 1 — 1 = 0. При этом учащиеся неявно усваивают, что число О связывается с множеством, не содержащим предметов, является характеристикой пустого множества, далее, так как число О получается из числа 1 вычитанием числа 1, то, следовательно, число О на единицу меньше числа 1 и в числовом ряду должно стоять перед числом 1 как число, ему предшествующее. После этого вывода записывают: О 1. Чтобы у учащихся не сложилось впечатление, что числа образуются только в результате прибавления и вычитания числа 1, важно показать, что некоторые из них могут быть получены из двух чисел, отличных от единицы. Например: 4 = 2 + 2. При изучении нумерации чисел первого десятка следует добиваться, чтобы учащиеся усвоили состав числа из двух слагаемых только для чисел 2, 3, 4, 5. для чисел 6, 7, 8, 9, 10 эта задача з теме «Нумерация» не решается. рассматриваются только отдельные примеры, но от учащихся не требуется их запоминания. Соответствующие упражнения выполняются практически: данное множество разделяется на две части, подсчитывается количество элементов в каждой из них. Например, учитель выкладывает 5 кружков и/делит их на две группы. Учащиеся подсчитывают, сколько кругов в каждой группе. Пусть в одной оказалось 2, а в другой З кружка. Этот результат записывается: 5.= 2 + З. / Сложение и вычитание. Подготовительная работа к обучению учащихся операциям сложения и вычитания в пределах первого десятка начинается уже с первых уроков. Основой изучения операции сложения является практическое действие по объединению дух данных множеств предметов. Например, учитель предлагает учащимся взять предметные картинки с изображением трех кленовых листьев, затем картинки с дубовыми листьями и спрашивает, сколько листьев они взяли. При изучении операции вычитания надо начинать с упражнений на выделение некоторой части множества по определенному признаку и последующему удалению этой части. Например, учащимся предлагается картинка, на которой изображены голуби и воробьи, причем отдельными группами. Учитель спрашивает, сколько птиц изображено на картинке, сколько среди них голубей. Затем говорит, что голуби улетели, и закрывает соответствующую часть картинки. Учащимся предлагается ответить, сколько птиц осталось. На последующих уроках можно перейти к решению простейших текстовых задач уже без использования иллюстраций. Например: «У Толи было З книги, мама купила ему еще 2 книги. Сколько книг стало у Толиных или ‘Лена нашла 4 каштана, 2 каштана она отдала Тане. Сколько каштанов осталось у Лены?» К концу изучения нумерации чисел первого десятка учащиеся долины прочно знать, что последующее число получается из предшествующего присчитыванием единицы, а предшествующее число получается из последующего отсчитыванием единицы, и свободно выполнять прибавление и вычитание единицы (без пересчитывания). Их следует подвести к выводу: «Прибавить число 1 к данному числу — значит назвать следующее за ним число; вычесть число 1 из данного числа — значит назвать (непосредственно) предшествующее ему число». На первом уроке, посвященном изучению операций сложения и вычитания, систематизируются знания учащихся по прибавлению и вычитанию числа 1, составляются и заучиваются таблицы (<Прибавить 1, «Вычесть Ь. Изучая нахождение сумм и разностей вида а 1, нужно учитывать следующее: хотя все суммы и разности вида а 1 уже рассматривались при изучении нумерации, но тогда при выполнении упражнений использовались иллюстрации и счетный материал, сейчас, чтобы выполнить подобные упражнения, необходимо хорошо знать взаимное расположение чисел в натуральном ряду. При затруднениях можно использовать в качестве наглядного пособи натуральный ряд чисел, например последовательность чисел на линейной сантиметровой шкалой. Усвоением учащимися таблиц прибавления и вычитания числа 1 заканчивается первый этап обучения сложению и вычитанию в пределах 1О..Второй этап — обучение прибавлению и вычитанию чисел 2, ‚ 4. Программой предусматривается использование при этом метода прибавления вычитания по частям, а также знаний учащихся составе чисел 2, 3, 4. При подготовке выполняются упражнения в прибавляется или вычитается два раза. т. е. упражнения вида а + 1 + 1 или Ь — 1 —1. в результате учащиеся приходят к обобщению: «Если прибавить 1, а затем еще раз 1, то всего прибавим 2; если вычесть 1, а затем еще 1, то вычтем 2». Выполнение упражнений при необходимости можно сопровождать действиями предметами. Затем учитель приступает к обучению прибавления вычитания числа 2. Вначале вспоминается состав числа 2. Первое упражнение можно выполнить, опираясь на действия с предметами. Пусть, например, решается упражнение 3+2. Учитель говорит учащимся: «Пусть уже посажено 3 сливы. Надо посадить еще 2 сливы. Как мы будем это делать?» Наиболее вероятным 1ветом будет такой: (<Сначала посадим одну сливу, а затем еще одну». Делается вывод: «Итак, чтобы к числу 3 прибавить число 2, можно прибавить 1, а затем к полученному числу еще 1; после прибавления 1 к З получим 4.., а после прибавления 1 к 4 получим 5». На доске записывается: 3+1=4 4+1=5 причем подчеркнутое число 5 записывается последним. Подобным образом поясняется и процесс вычитания числа 2. в дальнейшем такие упражнения выполняются с пояснениями. Например вычисляя разность 6—2, учащиеся говорят: сначала вычтем из б число 1, получим 5, затем из 5 вычтем еще 1, получим 4, значит, если из б Вычесть 2, получим 4. На последующих уроках учащиеся, ВЫПОЛНЯЯ многочисленные упражнения с одной стороны, осваивают метод прибавления по частям, с другой — постепенно составляют таблицы «Прибавить 2» и «Вычесть 2>, которые подлежат заучиванию. Выполняя упражнения следует иметь в виду, что подробные пояснения при вычислениях даются только на первых уроках, затем они сокращаются и, наконец, исключаются совсем. Итогом обучения должно быть заучивание всех табличных случаев наизусть. Методика изучения прибавления и вычитания чисел 3 и 4 в целом такая же, как и прибавления и вычитания числа 2. Вначале вспоминается состав числа 3, а затем 4. При этом число З представляется либо как сумма 2i-1, либо как сумма 1+2, а число 4 как сумма 2+2. Можно использовать и такие представления числа 4, как 3+1 или 1 Представление чисел З и 4 суммами единиц ецелес00браз но. Как видим, метод прибавления (вычитания) 110 частям с ростом прибавляемого (вычитаемого) числа разнообразится все большим числом приемов, каждый из которых связан с тем ИЛИ ИНЫМ представлением прибавляемого (вычитаемого) числа. учащиеся постепенно осваивают и запись решения упражнения цепочкой равенсТв, неявно знакомясь со свойством транзитив ости отношения равенства. Если вначале решение записывается толбиком 9—4 = 5 или 9-—3=6 6—1 = 5 то в дальнейшем используются более краткие записи. Работа по изучению случаев а+3, а4 заканчивается оставлением таблиц сложения и вычитания. На последующих уроках основное внимание уделяется упражнениям на запоминание таблиц и состава чисел: 6=4+2; 7=5+2; 8=6+2; 9=742; 10=8+2; 6=3+3; 7=4+3 и т. п. для поддержания у учащихся интереса к учебе необходимо разнообразить виды упражнений, использовать игры, математические диктанты. Эффективно использование нестандартных упражнений, в частности [10 исправлению ошибок в неправильных решениях. С интересом воспринимаются и упражнения на определение пропущенного числа или знака операции в записях типа: П +2= 7; 8+П=10;2+3=п;п—2=7;5--П=1;7—2=Е;6П2=8; 60 2=4. К тому же такие упражнения ПОДГОТОВКЕ к введению понятий переменной и уравнения. Можно предлагать упражнения, в которых одновременно требуется подобрать и число, и знак операции: 2 0 0 = 4, 5 П П = 2. Целесообразно также предлагать упражнения типа 7= п + п. Программой предусматривается выполнение различных упражнений на сравнение числовых выражений: 5 + 2*5; 5—2*5; 5—2*3. В подобных упражнениях требуется вместо знака * поставить один из знаков , =, так, чтобы получилось верное равенство или неравенство. На третьем этапе обучении сложению и вычитанию в пределах десяти учащиеся осваивают случаи а + 5, а + 6, а + 7, а + 8, а +9. При этом второе слагаемое больше первого, прибавление его по частям осуществить ТруДио. Перед учащимися ставится проблема отыскания более ПРОСТОГО метода. Учитель знакомит их с коммутативным (переместительным) законом сложения. При этом не обязательно учащимися названия свойства, важно, чтобы они усвоили смысл этого закона. Коммутативный закон поясняется с помощью упражнений, в основе которых лежит рассмотрение некоторого множества однородных предметов, различающихся некоторыми свойствами. При ЭIОМ МОЖНО использовать, например, рис. 12. Учащиеся определяют количество больших кругов, затем малых и составляют сумму 2+5. После этого они определяют количество малых кругов, затем количество больших кругов и составляют сумму 5+2. Равенство этих сумм для учащихся очевидно: общее число кругов на рисунке при любом способе счета одно и то же. Выполняется запись’: 2+= 5+2=7. Возможны и другие упражнения по этому рисунку, например подсчет кругов в первом и во втором рядах и т. п. Выполнив ряд подобных упражнений, учащиеся с помощью читателя делают вывод: от перестановки слагаемых сумма не изменится. Ученики понимают, что все случаи прибавления большего числа меньшему в пределах первого десятка сводятся к уже известным им, если переставить слагаемые. Выполняя упражнения, школьники убеждаются в полезности применения перестановки слагаемых. Составляется таблица случаев, которые необходимо знать на память:
Все не записанные случаи могут быть получены перестановкой слагаемых. К концу изучения темы <десяток» учащиеся должны твердо знать таблицу сложения и состав чисел до 10. Четвертый этап обучения сложению и вычитанию — освоение /: 2 учащимися связи между суммой и слагаемыми: если из суммы двух . слагаемых вычесть одно из них, получится другое слагаемое. Подготовительная работа ведется с самого начала изучения операций сложения и вычитания, решаются специальные упражнения на сложение и вычитание с использованием одного и того же рисунка. Например, пусть на рисунке изображены 4 муравья, навстречу которым движутся еще З муравья. Учащиеся вместе с учителем выясняют, сколько муравьев изображено справа (4), сколько — слева (3), сколько муравьев всего (4+3= 7). Затем ученики определяют, сколько муравьев на рисунке (7), сколько справа (4), сколько слева (7 4= 3). Аналогично составляется равенство 7—3=4. Равенства 7 — 4 = З и 7 — З = 4сравниваютсясравенством4 + З = 7. Рассмотрев достаточное количество таких примеров, на отдельном уроке учащихся подводят к формулировке предложения, выражающего связь между суммой и слагаемыми: если из суммы вычесть первое слагаемое, то получится второе слагаемое; если из суммы вы- честь второе слагаемое, то получится первое слагаемое. Знание этой связи в дальнейшем используется для нахождения результатов вычитания. Подготовительными являются упражнения на дополнение одного числа до другого (сколько нужно прибавить к 6, чтобы получить 8) или упражнения с использованием квадратиков (3+ 0=9, 10=4+0). На основании этого при вычислении, например, разности 10 —‚7 учащиеся могут рассуждать так: число I0естьсумма чисел 7 и 3; значит, если вычесть из 10 число 7, то получится 3. Рассуждения такого рода будут понятны учащимся, если они на предыдущем этапе хорошо усвоили состав чисел первого десятка и хорошо решают упражнения на до другого. Не следует требовать от учащихся указанного рассуждения в полной форме, важно, чтобы они усвоили смысл этого способа вычитания. Можно рекомендовать и такой вид рассуждения: нужно вычесть из 10 число 7; как дополнить число 7 до 10? 7+3= 10; значит, сколько будет, если из 10 вычесть 7? 10—7=3. Конечной целью изучения сложения и вычитания в концентре <десяток» является заучивание учащимися табличных случаев сложения и соответствующих случаев вычитания в пределах десяти. В этом же концентре усваивается терминология: «слагаемое», %сумма», «уменьшаемое», «вычитаемое», «разность». Например, К рассматривая с учениками равенство 5—2= 3, учитель сообщает им, что 5 уменьшаемое, 2 вычитаемое, З разность. Смысл этих названий можно пояснить так: из числа 5 вычитают, оно уменьшается, поэтому называется уменьшаемым; число З вычитается и называется вычитаемым, 5—2, или 3, показывает разницу, то, что осталось, на сколько число 5 отличается от числа 2, поэтому эту разницу называют разностью. При изучении сложения и вычитания в пределах десяти учащиеся усваивают основные свойства числа 0. В конце изучения нумерации чисел первого десятка оно было введено как характеристика пустого множества. Изучая данную тему, школьники усваивают индуктивно следующие свойства числа 0: а — а = 0, а + О = а, О + а = а, а О = а. Таким образом, при изучении операций сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся должны усвоить: таблицы сложения и вычитания; состав чисел, термины (слагаемое, сумма, уменьшаемое, вычитаемое, разность); связь между операциями сложения и вычитания.