Линейная Алгебра КР№1

1		2	3	1		0	3
Пример.	4	5	6		0	1	0
	7	8	0		2	0	7

1 1 2 0 3 2			1 0 2 ( 1) 3 0	1 3 2 0 3 7		7		2	24
	4 1 5 0	6 2	4 0 5 ( 1) 6 0	4 3 5 0 6 7		16		5	54	.
	7 1 8 0	0 2	7 0 8 ( 1) 0 0	7 3 8 0 0 7			7	8	21

Определение. Единичной матрицей называется матрица, на главной диагонали которой стоят 1, а все остальные элементы равны 0.

1		0	0
E	0	1	0	.
	0	0	1

Определение. Транспонированием матрицы называется замена ее строк на ее столбцы. Транспонированная матрица обозначается At. Определение транспонирования в этих обозначениях записывается так: atji =aij.

Транспонирование квадратных матриц можно описать как отражение элементов матрицы относительно главной диагонали.

1		2	3 t			1		4	7
Пример.	4	5	6				2	5	8	.
	7	8	0				3	6	0

2.2. Определитель матрицы.

Каждой квадратной матрице сопоставляется число, называемое определителем, которое можно вычислить по известным правилам.

Существует						несколько				способов обозначения определителя. Если
a11				a12	a13
A a				a	a	, то определитель можно обозначить символами
	21			22	23
a				a	a
	31			32	33
		a11		a12	a13
det A,		a21		a22	a23		, или .
		a31		a32	a33
		Определение. Определитель матрицы размерности 2 2 вычисляется по
правилу
a11			a12					a12 a21.
det				a11 a22
a21			a22
		Пример. det						5	2	2 6 3.
									5 3
								6	3

Определитель матрицы 3 3 может быть вычислен разными способами. В качестве определения определителя третьего порядка выбрано разложение по первой строке.

Определение. Определитель матрицы размерности 3 3 вычисляется по правилу

det A

a11

a12

a13

a

a22

a23

a

a21

a23

a

a21

a22

a

a

a

.

21

22

23

11

a

a

12

a

a

13

a

a

a31

a32

a33

32

33

31

33

31

32

Эта формула выражает определитель третьего порядка через определители второго порядка. Знаки перед слагаемыми чередуются. Слагаемые конструируются по правилу: по очереди берется элемент, стоящий в первой строке, и умножается на определитель матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и столбца, содержащего этот элемент.

	1		2	3			5	6		4	6		4	5
Пример. det		4	5	6		1			2			3			27.
							8	0		7	0		7	8
		7	8	0

Определитель можно разложить по любой строке и любому столбцу. Пусть дана матрица A. Ведем еще два определения.

Определение. Минор Mij матрицы A - это определитель матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием строки с номером i и столбца с номером j.

		1		2	3					1	2
Пример. Минор M	матрицы A		4	5	6		равен M	23				6.
23										7	8
			7	8	0

Определение. Алгебраическое дополнение Aij к элементу aij матрицы

вычисляется по правилу Aij =(-1)i+jMij.

Введение понятия алгебраического дополнения к элементу матрицы позволяет получить формулу разложения определителя по любой строке и любому столбцу.

Разложение определителя матрицы размерности n n по строке с номером i имеет вид

det A ai1 Ai1 ai2 Ai2 ... ain Ain.

Разложение определителя по столбцу с номером j имеет вид

det A a			A		a		A				... a				A .
		1 j		1 j		2 j			2 j				nj		nj
		Например,								разложение определителя матрицы 3 3 по второму столбцу
имеет вид
det A		a11		a12		a13			a			( 1)1 2					a21		a23			a		( 1)2 2				a11		a13		a	( 1)3 2		a11	a13
		a		a		a																															.
		21		22		23					12						a31		a33			22						a31		a33		32			a21	a23
		a31		a32		a33
										1		2	3					4	6				1	3		1	3
		Пример. det									4	5	6		2					5					8					( 2) ( 42) 5 ( 21) ( 8) ( 6) 27.
																		7	0				7	0		4	6
											7	8	0

При вычислении определителей третьего порядка иногда используют формулу треугольников: определитель является суммой шести слагаемых, произведения трех элементов первых трех “треугольников” входят в сумму со знаками плюс, произведения трех элементов вторых трех треугольников входят в сумму со знаками минус.

a11 .		.			.	.	a13			.
С плюсами: .	a	.		,	a	.	.		,	.
	22				21
. .		a			.	a	.			a
		33				32				31

a12	.
.	a		,
	23
.	.

.	.	a13			a11 .		.			.	a12 .
С минусами .	a	.		,	. .		a		,	a	. .	.
	22						23			21
a	.	.			.	a	.			.	. a
31						32					33

det A a11 a22 a33 a13 a21 a32						a12 a23 a31 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33.
		1		2	3
Пример.	det		4	5	6		1 5 0 3 4 8 2 6 7 3 5 7 1 6 8 2 4 0 27.
			7	8	0

2.3. Обратная матрица.

Рассматриваются только квадратные матрицы.

Определение. Матрица A-1 называется обратной к матрице A, если их произведение равно единичной матрице: A 1 A A A 1 E.

Матрица A обратима (имеет обратную) тогда и только тогда, когда ее определитель не равен 0.

Приведем алгоритм нахождения обратной матрицы с использованием алгебраических дополнений (метод присоединенной матрицы).

1.Вычисляется определитель исходной матрицы A. Если определитель равен 0, обратная матрица не существует.

2.Вычисляются все миноры матрицы A.

3.Вычисляются все алгебраические дополнения к элементам матрицы A.

4.Составляется матрица из алгебраических дополнений к элементам матрицы A.

5.Выполняется транспонирование составленной матрицы. Полученная матрица называется матрицей, присоединенной к A. Обратная матрица получается делением элементов присоединенной матрицы на определитель

A.

Таким образом,

A 1	1	At .
	det A
			1		2	3
	Пример. Найдем матрицу, обратную к A			4	5	6	.
				7	8	0

1.	det A 27.							(см. выше)
2.						6										4		6								4	7
	M			5				48,		M	12									42, M									3,
	11			8		0										7		0				13				5	8
M21			3			24,			M22					1	3				21,		M23			1		2		6,
		2
		8	0											7	0									7		8
												1			3							1 2
M31		2 3				3,			M32								6, M33									3.
		5	6									4			6							4		5
3.	A11 48,							A12	42,		A13				3, A21						24,	A22 21,								A23 6,	A31 3,	A32 6,	A33 3.
		48					42		3
4.	A		24				21		6
										.
			3				6		3

													16			8					1
					48		42 3 t						9				9				9
5.	A	1		1		24	21	6				14						7	2				.
				27									9					9		9
						3	6	3
													1				2				1
													9			9					9

Второй способ нахождения обратной матрицы состоит в применении метода Гаусса к расширенной матрице. Если приписать к матрице A справа единичную матрицу, и с помощью эквивалентных преобразований строк привести A к единичному виду, то единичная матрица при этих преобразованиях перейдет в обратную к A.

A|E ~ E| A 1 .

3. Примеры решения задач по линейной алгебре 3.1. Задачи компьютерной части контрольной работы для технических специальностей.

Задача 1. Вычислите действительную часть числа z=(1+i)(2-3i)(2+i)(2-i). Решение. Применяя алгебраические преобразования, с учетом того, что i2=-1, получаем

(2 i)(2-i) 4 1 5,

(1 i)(2 3i) 2 3i 2i 3i2 5 i, z 5(5 i) 25 5i.

С учетом определения действительной части комплексного числа, Rez=25. Ответ: 25

Задача 2. Вычислите мнимую часть числа z	(3	2i)	.
	(1	3i)

Решение. Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное со знаменателем.

z

(3 2i)

(3 2i)(1 3i)

3 9i 2i 6i2

3 11i 6

3 11i

0,3

1,1i.

(1 3i)

(1

3i)(1 3i)

1 9i2

1 9

10

Im z 1,1.

Ответ: 1,1

Задача

3.

Укажите, какая

пара

чисел

является решением уравнения

5x2 16x 20 0.

x1 1,6 1, 2i,			x2 1,6 1, 2i;
x1 8 6i,			x2 8 6i;
x1 1,6 1, 2i,			x2 1,6 1, 2i;
x1 1, 2 1,6i,			x2 1, 2 1,6i;
x1 1,6 1, 2i,			x2 1,6 1, 2i;
x1 8 6i,			x2 8 6i;
x1	0, 4,	x2 2,8;
x1	0, 4,		x2 2,8;
x1	1,6 1, 2i,		x2 1,6 1, 2i;

решений нет.

Решение. С учетом двузначности квадратного корня, во множестве комплексных чисел формула корней квадратного уравнения приобретает вид

					b
a x2 bx c 0 x							D при D 0.
					2a
В нашей задаче
5x2 16x 20 0,
D 256 400 144,
	144 12i,
x		16 12i		1, 6 1, 2i,	x		16 12i		1, 6 1, 2i.
1			10		2	10
Ответ: x1 1.6 1.2i,						x2 1.6 1.2i.
											2	1	0
										4
Задача 4. Вычислите определитель										1	2	5	0	.
										4	2	0	1
										0	4	1	0

Решение. Применим разложение по четвертому столбцу, так как в нем наибольшее количество нулевых элементов.

4	2	1	0		4	2	1		4	2	1
1	2	5	0
				0 0 ( 1)3 4 1	1	2	5	0	1	2	5	.
4	2	0	1		0	4	1		0	4	1
0	4	1	0

Далее разложим определитель третьего порядка по третьей строке.

4	2	1		4 ( 1)3 2		4	1		1 ( 1)3 3		4	2
1	2	5	1 0			1	5				1	2
0	4	1

4 (4 5 ( 1) ( 1)) 1 (4 ( 2) ( 2) ( 1)) 86.

Ответ: -86

Задача 5. Решите систему уравнений

5x 5y 4z 30,

3x 2 y 2z 13,

2x 4 y z 22.

Ответ запишите в формате (x;y;z) Пробелы не использовать.

Решение. Применим метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Перейдем к матричной записи, расширенная матрица системы выглядит так

5		5	4
				30
	3	2
			2	13	.
	2	4	1	22

Цель преобразований Гаусса - привести матрицу системы (стоящую слева от черты) к треугольному или к диагональному виду. Для этого умножаем строки на подобранные числа и складываем с другими строками. Необходимо последовательно сделать равными 0 элементы, стоящие ниже главной диагонали. Номера строк, которые преобразуются при каждом шаге, указываются над стрелками римскими цифрами; там же указывается, как именно преобразуются эти строки. Каждое преобразование выполняется над

всей строкой расширенной матрицы, включая элемент, стоящий справа от черты.

В нашем случае для удобства умножим первую строку на -1 и третью строку на -1.

5		5						5				30
			4	30						5	4
	3	2				(I ) ( 1),	(III ) ( 1)		3	2
			2	13							2	13	.
	2	4	1	22					2	4	1	22

Далее умножим первую строку на 3¸ а вторую строку на 5, и сложим их. Результат запишем во вторую строку, элемент a21 при этом станет равным 0. Именно для этого были выбраны множители 3 и 5 соответственно. Затем первую строку умножим на 2, а третью строку умножим на 5, и вычтем из полученной второй строки третью полученную строку. Результат запишем в третью строку. Элемент a31 в результате этого преобразования станет равным 0.

5							5 5			4		30
		5	4	30
	3	2				(I ) 3 (II ) 5, (I ) 2 (III ) 5				2		25
			2	13				0	5				.
	2	4	1	22				0	10	13		50

Теперь обратим в 0 элемент a32.

5 5							5 5			4		30
			4	30
			2	25		(II ) 2 (III )				2		25
	0	5						0	5				.
	0	10	13	50				0	0	17		0

Получили треугольную матрицу. Для удобства сделаем диагональные элементы равными 1, поделив каждую строку на соответствующий элемент.

5 5			4		30			1		1			1		1 1			4 / 5		6
							(I )		, (II )		, (III )
								5		5			17
	0	5	2		25											0	1	2 / 5		5
																					.
	0	0	17		0											0	0	1		0

Для наглядности перейдем от матричной записи обратно к системе уравнений.

x y (4 / 5)z 6,
	y (2 / 5)z 5,
	z 0.

Из последнего уравнения получаем z=0. Подставив это значение во второе уравнение, находим y=-5. Подставив найденные значения z и y в первое уравнение, получим x=-1.

Окончание решения также можно провести в матричной форме. Обратим элемент a23 в 0.

1 1									1				6
			4 / 5	6		2					1	4 / 5
						(II ) (III )
	0	1	2 / 5	5		5				0	1	0	5
														.
	0	0	1	0						0	0	1	0

Теперь одним преобразованием сделаем равными 0 элементы a12 и a13.

1 1									1				1
			4 / 5	6		4					0	0
						(I ) (II ) ( 1) (III )
	0	1	0	5		5				0	1	0	5
														.
	0	0	1	0						0	0	1	0

Получили решение x=-1, y=-5, z=0 (правый столбец расширенной матрицы).

Так как определитель матрицы системы не равен 0, задача также может быть решена с применением формул Крамера.

Ответ: (-1;-5;0)

Задача 6. Определите коэффициенты a, b, c, d многочлена f(x)=ax3+bx2+cx+d, если известно что f(-1)=6, f(0)=-2, f(1)=-2, f(2)=0. Ответ запишите в формате (a;b;c;d) Пробелы не использовать.

Решение. Подставим последовательно в уравнение функции f(x)=ax3+bx2+cx+d аргументы -1, 0, 1, 2.

f ( 1) a b c d ,
	f (0) d,
	f (1) a b c d ,
	f (2) 8a 4b 2c d.
Задача свелась к решению системы уравнений
a b c d 6,
d 2,
a b c d 2,
8a 4b 2c d 0.
Используем, что d=-2, и перепишем систему в виде
	a b c 2 6,
	a b c 2 2,
8a 4b 2c 2 0.
	a b c 8,
	a b c 0,
8a 4b 2c 2.
Далее решаем систему методом Гаусса.
1 1		1		8			1 1 1			0			1 1 1			0
						I II		1 1 1				(I ) (II ), (I ) 4 (III )
	1 1	1		0						8				0 2 0		8
	4 2 1			1				4 2 1		1				0 2 3		1

1 1			1		0		(III ) (II ), (II )	1	1 1			1		0		(II )	1	, (III )	1		1		1	1		0			1		0 0			1
																												(I ) (II ) (III )
	0	2	0		8			2		0	2	0		8			2		3			0	1	0		4				0	1	0		4
	0	2	3		1					0	0	3		9								0 0		1		3				0	0	1		3

Получили a=-1, b=4, c=-3. Ответ: (-1;4;-3;-2)

3.2. Задачи аудиторной части контрольной работы для технических специальностей.

Задача 1. Изобразите на комплексной плоскости число z 3 33i, укажите его модуль и аргумент.

Решение. Известно, что всякому комплексному числу z=x+iy сопоставляется тоска на комплексной плоскости. Вычислим модуль данного комплексного

числа. r z x2 y2 32 (33) 2 6.

Для вычисления аргумента составим систему.

		x					x				3				1
cos																,
		r									6				2
							x2 y2
		y					y			3		3					3
sin																			.
	r						x2 y2					6					2

Решение 3 . системы уравнений является аргументом комплексного числа. На Рис. 6 изображено число z 3 33i.

Ответ: |z|=6 и 3 .

Рис. 6 Ответ к задаче 1

Задача 2. Представьте число		2 cos		2i sin	7
	z						в алгебраической форме.
			6		6

Решение.

							7				7		7 7				7		7								7
								7							7					7			3			i		6		6
z		2 cos		2i sin				2		cos		i sin			2	(cos		i sin		) 2								2	3 2 i.
			6								6						6		6				2 2
							6						6
Ответ:			26			26 i.
					3

Задача 3. Найдите матрицу, удовлетворяющую матричному уравнению

1	2	5		6
X					.
3	4	7		8
Решение.
Перепишем уравнение в виде XA=B, где
a		a			1	2		5	6
A	11	12					,	B	.
a21		a22			3	4		7	8

Умножим уравнение справа на матрицу, обратную к A.

XAA-1=BA-1 ,

отсюда формула для решения уравнения имеет вид X=BA-1.

Найдем обратную матрицу с помощью присоединенной матрицы. Вычислим определитель.

det A 1 4 2 3 2.

Вычислим последовательно алгебраические дополнения к элементам матрицы A. Учтем, что миноры матрицы второго порядка равны элементам матрицы.

A ( 1)1 1a							4,			A ( 1)1 2 a												3,	A ( 1)2 1a					2, A			( 1)2 2 a 1.
11					22				12												21			21		12				22	11
Обратная матрица A 1																				вычисляется по известному правилу
A 1			1			A11	A21					,
		det A A12					A22
		1			4		2			2							1
A 1																				.
												3						1
		2			3		1
												2						2
Находим искомую матрицу X.
																							3			1
						5	6	2							1						5 ( 2) 6			5 1 6						1 2
			1																				2			2
X	BA				7		8		3							1															.
																							3			1				2 3
								2								2					7 ( 2) 8			7 1 8
																							2
																										2
Ответ:					1		2
							.
					2		3

x 2 y 3z 6,

Задача 4. Решите систему уравнений 4x 5 y 6z 0,

7x 8 y 9z 6.

Решение.

Решим систему методом Гаусса.

1	2	3		6	(I ) 4 (II ),			1	2	3		6	1				1	1 2 3				6
					(I ) 7		(III )						(II )		,	(III )
																	6
4 5		6		0					3	6		24	3						1	2		8	.
					0								0
7	8	9		6				0	6	12		48						0	1	2		8

1 2 3					6			1 2 3					6
							(II ) (III )
	0	1	2		8				0	1	2		8	.
	0	1	2		8				0	0	0		0

В расширенной матрице имеется нулевая строка, ее можно вычеркнуть.

1		2	3		6		1 2 3			6
	0	1	2		8			0 1 2		8	.
	0 0 0				0

Вернемся к системе уравнений. У нас имеется два линейно независимых уравнения и три неизвестных.

x 2 y 3z 6,

y 2z 8.

В этом случае одну переменную следует сделать свободным параметром. Выбираем в качестве свободной переменной z. Пусть z=c, c-произвольное (действительное) число. Тогда

x 6 2 y 3z,y 8 2z,

z c.

x 6 2 (8 2c) 3c,y 8 2c,

z c.

x 10 c,y 8 2c,z c.

Ответ: (c-10;-2c+8;c), где c-произвольное число.

3x y z 7t 11,

Задача 5. Решите систему уравнений x y z 5t 5,

2 y 4z 8t 4.

Решение. Решим систему методом Гаусса.

3 1			1 7					11		1					1		1 1				5		5						1		1 1	5		5			1
										(III )		, (I ) (II )													(I ) 3 (II )											(II )
	1	1	1	5				5			2					3	1 1				7		11							0	2 4	8		4			2
	0	2	4 8					4								0	1 2				4		2							0	1 2	4		2
1 1			1	5			5					1		1		1	5		5				1			1	5		5
	0	1	2	4			2			(II ) (III )			0	1		2	4		2						1
																										2	4			.
	0	1	2	4			2						0 0			0	0		0				0 1						2

Перейдем от матричной записи к уравнениям.

x y z 5t 5,

y 2z 4t 2.

У нас имеется два линейно независимых уравнения и четыре неизвестных. В этом случае две переменных должны рассматриваться как свободные параметры. Выбираем в качестве свободных переменных z и t. Пусть z=с1 и t=с2 ; при этом с1 ,с2-произвольные числа. Тогда

x 5 c1 5c2 y,y 2 2c1 4c2 ,z c1,

t c2 .

x 3 c1 c2 ,

y 2 2c1 4c2 ,z c1,

t c2 .

Ответ: (3-с1+с2 ; 2+2с1+4с2; с1;с2), где с1 ,с2-произвольные числа.

3.3. Задачи контрольной работы для экономических специальностей.

	1		2			1		5	6
t		3	4		,
Задача 1. Вычислите X=3A+4B , если A						B	2	7	8	.
		5	6

Решение.