Линейная Алгебра КР№1

									1 2		1		2		3	6				4		8		3 4	6 8		1		2
						t
	X 3A 4B						3		3 4		4	5	7		9	12				20 28				9 20	12 28			29	40	.
									5 6			6	8			18				24	32				18 32			39	50
															15									15 24
				1				2
					29			40
Ответ:
					39			50
Задача 2.								Вычислите определитель												1		.
																			1
																			3	2
Решение.
		1		1 2				1 3 5.
	1
	3 2

Ответ: 5

Задача 3. Вычислите определитель

3	2	3
7	3	3
2	4	2

Решение. Разложим определитель по первой строке.

3	2	3	( 1)1 1 3		3	3		( 1)1 2 2		7	3		( 1)1 3 3		7	3
7	3	3
2	4	2			4	2				2	2				2	4

3 (3 (2) 3 4) 2 (7 (2) 2 3) 3 (7 4 2 3) 52.

Ответ: 52.

Задача 4. Найдите матрицу, удовлетворяющую матричному уравнению

1		5		1		6
	6	4	X		7	8	.

Решение. Перепишем уравнение в виде AX=B, где

1		5			1		6
A	6	4		,	B	7	8	.

Умножим уравнение слева на матрицу, обратную к A.

A-1AX=A-1B.

Формула для решения уравнения имеет вид X=A-1B.

Найдем обратную матрицу с помощью присоединенной матрицы.

det A 1 4 5 6 26.

Вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы A.

A ( 1)1 1a		4,	A ( 1)1 2 a		6,	A ( 1)2 1a		5, A	( 1)2 2 a 1.
11	22		12	21		21	12	22	11

Обратная матрица A-1 равна

	A	1		1		A11
							A12
				det A
	A 1			1		4
							6
				26

A		,
21
A22
			2							5
5
			13					26
												.
1			3							1
										26
		13

Находим искомую матрицу X.

													2						5															2				1			5				7					2			6			5				8		31						8
																								1		6
X A1B								13											26															13							26							13								26							26				13		.
																								.
								3													1			7		8								3			1				1			7				3				6				1			8						1		14
								13																								13																13							26										26
																			26																				26																												13
Проверим.
			31											8								1		31		5			1				1				8		5				14
1	5																																															1					6
			26										13											26		26										13							13
																																																						.
6	4				1								14									6		31		4			1				6				8				4		14							7			8
					26																			26												13							13
													13													26
					31													8
Ответ:					26								13
																			.
								1					14
								26					13

Задача 5. Решите систему уравнений 5x 7 y 30,

3x 2 y 13.

Решение. Решаем систему методом Гаусса.

																						1
5					30			5	7		30						5	7	30		(II )
		7					(I ) (1)							(I ) 3(II ) 5
																						31
	3	2			13			3	2		13						0	31	155
5		7		30			(I )(II ) 7	5 0		5		(I )		1	1 0		1
														5
																		.
	0 1			5				0 1		5					0 1		5

Ответ: (-1;-5)

Задача 6. Решите систему уравнений

5x 5y 4z 30,

3x 2 y 2z 13,

2x 4 y z 22.

Решение.

Решение этой системы методом Гаусса показано выше. Решим эту систему с помощью формул Крамера. Нам потребуется вычислить четыре определителя.

	5	5	4
	3	2	2	17,
	2	4	1

				5	4
		30
1		13		2	2			17,
		22		4	1
			5	30	4
2			3	13	2			85,
			2	22	1
			5	5	30
3			3	2	13			0.
			2	4	22

По формулам Крамера

x	1	1,	y	2	5,	z	3	0.

Ответ: (-1;-5;0)

	4x 7 y 17z 26t 6,
Задача 7. Решите систему уравнений		2x 4 y 10z 14t 4,
		y 3z 2t 2.

Решение. Решим систему методом Гаусса.

4		7 17		26	6		(II )	1	4		7 17		26	6					4	7	17 26				6
																(I )		(II ) 4								(II )	(III )
								2
2		4	10	14	4					1	2	5	7	2	0					1	3 2				2
	0	1 3		2	2					0	1 3		2	2					0 1		3 2				2
4		7 17		26	6					4		7	17 26		6			4	7	17	26		6
	0	1	3	2	2		(II ) (III )				0	1	3	2	2
																				3				.
	0	1 3		2	2						0	0	0	0	0			0 1			2		2

Перейдем от матричной записи к уравнениям.

4x 7 y 17z 26t 6,

y 3z 2t 2.

У нас имеется два линейно независимых уравнения и четыре неизвестных. В качестве свободных переменных выбираем z и t. . Пусть z=с1 и t=с2 ; с1 ,с2- произвольные числа. Тогда

4x 6 17c1 26c2 7 y,

y 2 3c1 2c2 ,z c1,

t c2 .

x 2 c1 3c2 ,y 2 3c1 2c2 ,z c1,

t c2 .

Ответ: (2+с1+3с2 ; 2+3с1-2с2; с1;с2), где с1 ,с2-произвольные числа.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Комплексные числа

1.1.Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами.

1.2.Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение.

1.3.Комплексная плоскость.

1.4.Тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел. Действия с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме.

1.5Извлечение корня из комплексного числа. 2. Элементы линейной алгебры

2.1.Матрицы. Действия над матрицами.

2.2.Определитель матрицы.

2.3.Обратная матрица.

3. Примеры решения задач по линейной алгебре

3.1. Задачи компьютерной части контрольной работы для технических специальностей.

3.2.Задачи аудиторной части контрольной работы для технических специальностей.

3.3.Задачи контрольной работы для экономических специальностей.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры /М., Физматлит, 2006

2.Беклемишева Л.А., Беклемишев Д.В., Петрович А.Ю. и др. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре /СПб, Лань,

2008

3.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра /М., Физматлит, 2007

4.Фаддев Д.К, Соминский И.С., Задачи по высшей алгебре /СПб, Лань,

2008

5.Письменный Д.Т, Лунгу К.Н., Федин С.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. /М., Айрис-Пресс, 2011 г.

6.Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах /СПб, Лань, 2008

7.Соловьев И.А., Шевелев В.В., Червяков А.В. Практическое руководство к решению задач по высшей математике. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия, введение в

математический анализ, производная и ее приложения. /СПб, Лань,

2009