Лаб. практ. исправленный

dϕ		Mêð	dϕ
	=		≤		.	(2.6)
dx		GI
			dx
		ρ

Условие прочности ограничивается допускаемым касательным напряжением [τ], а условие жесткости ограничивается углом поворота на метр длины вала, либо на длину, равную 20 диаметрам вала

[1–3].

Угол закручивания j получается в результате интегрирования выражения (2.6) по х и соответственно равен

ϕ=	Mêl	.	(2.7)
	GI
	ρ

Из выражения (2.7) получаем исходную формулу для определения модуля сдвига G в виде:

G=

Mêl

.

(2.8)

ϕIρ

Полярный момент инерции сечения для полого вала Iρ рассчитывается по выражению:

I	=0,1(d4−d4),	(2.9)
ρ	í â

где dн – наружный диаметр вала, а dв – внутренний диаметр вала.

31

Лабораторная работа № 4

Определение модуля сдвига при кручении

Цель работы: определение механических характеристик материалов валов (модуля сдвига).

Описание лабораторной установки

Внешний вид установки представлен на рис. 2.4. Установка состоит из основания 1, на котором закреплена стойка 2, а слева закреплена цилиндрическая стойка 3 с выдвижным винтом 4, обеспечивающим исключение прогиба свободного конца вала 6.

На стойке 2 закреплен корпус 5 с валом 6, на конце которого расположен шарикоподшипник 7, опирающийся на винт 4. На полой частивала6установленыдвакронштейна8.Индикаторнаяголовка 9 рычага индикатора, с помощью которой фиксируются перемещения ∆П, закреплена на одном из кронштейнов. Рычаг индикатора закреплен на другом кронштейне. Рычаг нагружения 11, создающий с помощью грузов 10 крутящий момент на валу, установлен на конце вала 6. Для устойчивости установки на основании 1 имеется поворотная опора 12.

Момент внешних сил М равен

М = Ра,

где Р – суммарная нагрузка; а – длина рычага нагружения 11.

Порядок выполнения работы

1. Установить на индикаторной головке 9 стрелки на нулевое значение (рис. 2.4).

2. Замерить расстояние l между центрами кронштейнов 8. Замерить наружный диаметр вала на участке между кронштейнами 8. Замерить длину b рычага индикатора. Замерить длину a рычага нагружения.

3. Фиксировать показания индикаторной головки 9, последовательно устанавливая грузы 10, тем самым осуществляя прямой ход нагружения. Затем последовательно снимая грузы 10, зафиксиро-

32

		C
		M
				B

Рис. 2.4. Принципиальная схема лабораторной установки

вать показания обратного хода. Построить график перемещения ∆П от нагрузки Р и провести его усреднение.

4. Определить угол поворота вала j по выражению:

ϕ=arctg ∆bΠ ≈ ∆bΠ [ðàä],

где Π – показания индикатора, [мм]; b – длина рычага индикатора, [мм].

5. Определить модуль сдвига G на основании выражения (2.8) по формуле

	G=	P			abl	,
		∆	Π I
					ρ

P

где ∆Π – усредненное значение по графику ∆П = f(P) прямого и об-

ратного хода нагружения; а – длина рычага нагрузки; Iρ – определяемый по формуле (2.9) полярный момент инерции сечения.

6. Сравнить полученные значения модуля сдвига G со справочными данными.

2.2. Сложное сопротивление при кручении

Сложное сопротивление при кручении имеет место, если оно сочетается с другим видом деформации, чаще всего с изгибом вала. В общем случае (рис. 2.5) изгибающий момент имеет произволь-

33

ное направление, а плоскость изгиба поворачивается относительно нейтральной оси. Однако при практических расчетах рассматриваются, как правило, изгибающие моменты относительно вертикальной оси Z и горизонтальной Y.

Суммарный момент изгиба Ми равен геометрической сумме моментов Миу и Миz:

Mè =

Mè2y +Mè2z

.

(2.10)

По теории наибольших касательных напряжений расчетный

момент Мр будет равен
M =		M2	+M2	.	(2.11)
ð		ê	è
Условие прочности принимает вид:
	σ2è +4τ2ê		≤[σ].		(2.12)

Наибольшие касательные напряжения при кручении в этом слу-

чае определяются по выражению

τ

ê

=

Mê

=

Mê

,

(2.13)

2W

W

p

0

где W – осевой момент сопротивления сечения при изгибе, для кру-

глого вала соответственно равный

W =

πd3 ≈0.1d3,

а для полого

32

вала – W = πd3 (1−α3), α = d/D; d, D – внутренний и наружный

32

диаметры вала.

;

"

1Ç

.Á

.Á[

0

0

.ÁË

:

1a

1aaÇ

¦¾ÂËɹÄÕƹØ

Ç

¨ДЗКГЗКЛХ

ÇÊÕ

ÁÀ¼Áº¹

E S

Рис. 2.5. Принципиальная

Рис. 2.6. Реализация правила

схема изгиба вала

параллельного переноса

окружного усилия к оси вала

34

Наибольшие напряжения растяжения и сжатия при изгибе определяются по выражению:

σè =	Mè	.	(2.14)
	W

В частном случае, например для зубчатых колес, водила внешнийкрутящиймоментсоздаетсяокружнымусилием Ро.Нарис. 2.6 показаноправилопараллельногопереносасилPо кцентрувалаО.В точке О прикладывают две противоположно направленные равные силы Po′ и Po″. Силы Pо и Po′ образуют пару сил и создают крутящий момент Мк = rPo = Pod/2, где d – диаметр вала. Оставшаяся сила Po″, приложенная в точке О, вызывает прогиб вала.

Данные условия характерны для решения задач статики, когда силы и моменты являются постоянными во времени величинами.

Рассмотрим характер изменения напряжений в сечениях вала при различных видах внешних воздействий. На рис. 2.7, а показано распределение касательных напряжений в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и условия формирования элементарного момента dM на радиусе ρ. На рис. 2.7, б показано распределение касательных напряжений по линии АВ, перпендикулярной оси стержня (вала), касательные напряжения будут изменяться по линейному закону. Нормальных напряжений по этим плоскостям не будет. На

B						¹
				¦			¦
		S
º					»
								¦¾ÂËɹÄÕƹØ
						¦	%	ÇÊÕ
								9
	$			%		$

Рис. 2.7. Распределение напряжений:

а) касательное напряжение в плоскости; б) касательное напряжение по сечению; в) направление нормальных напряжений в плоскости вала; г) главные напряжения при совместном действии кручения и изгиба

35

рис. 2.7, в показано формирование нормальных напряжений под углом 45°. В этом случае σ1 = 2τк, сжимающее напряжение σ3 = 0.

Главные напряжения в случае сложного сопротивления при совместном действии кручения и изгиба показаны на рис. 2.7, г. Касательные напряжения имеют тот же характер относительно линии АВ, что на рис. 2.7, б. Эта картина будет сохраняться, если линия АВ будет поворачиваться относительно оси Х. Нормальные напряжения, расположенные по линии CD, меняются по линейному закону с разными знаками относительно линии, перпендикулярной нейтральной оси. При прохождении этой линии через центр О нормальные напряжения σ имеют максимальные значения в точках C и D. По мере движения из точки О в направлениях точек А и В нормальные напряжения уменьшаются, а в точках А и В они равны нулю.

Расчетнаясхемаизгибапредставленанарис.2.8.Точкойприложения силы Р является точка В, а измерение осуществляется в точке С.

Прогиб в точке В определяется по формуле

Pl3 fB =−3EIè ,

где E – модуль упругости материала; E = G·2(1+μ); I – осевой момент инерции плоской фигуры.

Для круглого вала осевой момент инерции I = 0,5Iρ. Угол поворота сечения θ в точке В равен

Pl2

θB =−2EIè .

Суммарный прогиб в точке С определится следующим образом: fC =fB +lkθB,

где lê – свободный конец стержня.

¨

		©
MÁ		MÃ

Рис. 2.8. Расчетная схема деформации изгиба в плоскости

36

Поскольку прогиб в точке С зависит только от силы Р при прочих одинаковых параметрах изгибаемого участка вала, то в первом приближении расчет усилий в направлении осей y и z можно проводить по измеренным прогибам в точке С.

Полученные соотношения f от нагрузки Р на индикаторных головках 15,16 (рис. 2.11) позволяют определить угол действия суммарной силы согласно рис. 2.9 в следующем виде:

ϕ=arctg Py =arctgfy .

Pz fz

Используя усредненные значения соотношений f и Р, можно определить величину суммарного воздействия РΣ для фиксированного ранее момента Мк и рассчитать максимальное значение нормального напряжения при изгибе:

PΣ =Py2 +Pz2,

σèmax = PWΣlè .

Кроме нормальных напряжений при изгибе действуют еще и касательные напряжения. Поэтому для сложного сопротивления при изгибе с кручением необходимо установить общую картину распределения напряжений.

Общая зависимость касательных напряжений имеет вид [1]:

τè =	4P	cos2 ϕ=	16P	cos2	ϕ.
	3πr2
			3πd2

GË	1Ë
	Z
G[
1[
[

Рис. 2.9. Векторное представление деформаций в направлении рассматриваемых осей

37

;
Á
0	Ã
	:
Ã	Ã
Ã
Á	9
	Á

Рис. 2.10. Общее распределение напряжений при совместном действии кручения и изгиба

Угол j отсчитывается от нейтральной оси.

При j = 0 получаем максимальное значение касательного напряжения в следующем виде:

τ 16P maxè = 3πd2 .

Таким образом, τmax в 11/3 раза больше среднего значения τи (касательное напряжение среза от силы Р).

Общее распределение напряжений приведено на рис. 2.10. Здесь индексы “к” и “и” характеризуют причину их возникновения.

Поскольку крутящий момент является определяющим, то согласно теории прочности по касательным напряжениям условие прочности представляется следующим образом:

σ2è +4τ2ê ≤[σ].

38

Лабораторная работа № 5

Определение главных напряжений при кручении и при совместном действии изгиба и кручения

Цельработы:определениеглавныхнапряженийвсеченииполого вала при кручении, а также определение положения главных осей и значений главных напряжений при совместном кручении и изгибе.

Описание лабораторной установки

Конструкция установки представлена на рис. 2.4 и рис. 2.11. Часть конструкции лабораторной установки для исследования кручения, представлена на рис. 2.4 и описана подробно в лабораторной работе №4. Конструктивные изменения, вызванные необхо-

15	z	6

16

y

14

13

a

Рис. 2.11. Вид лабораторной установки с торца для наблюдения совместной деформации кручения и изгиба

39

димостью измерения прогибов в направлении осей y и z приведены на рис. 2.12. С этой целью на цилиндрической стойке 3 установлена дополнительная втулка 13, к ней прикреплен Г-образный кронштейн 14. Для измерения отклонения конца полого участка вала 6 в горизонтальной и вертикальной плоскости на кронштейне 14 установлены индикаторные головки 15,16.

Подготовка и проведение работы

1. Поместить собранную согласно рисункам 2.11 и рис. 2.4 установку на ровную горизонтальную поверхность стола. Замерить расстояние l между центрами кронштейнов 8. Замерить расстояние а между центром первого кронштейна 8, на котором устанавливаются грузы 10, и центром подшипника 7.

2. Замерить длину рабочей части изгиба полого вала от конца конической части вала 6 до центра второго кронштейна 8, на котором закреплена индикаторная головка 9. Замерить расстояние от центра второго кронштейна 8 до точки касания подвижной части индикатора. Установить на всех индикаторных головках нулевые значения.

3. Зафиксировать показания индикаторных головок 15, 16 при прямом ходе нагружения, последовательно устанавливая грузы 10. Затем зафиксировать показания индикаторных головок 15, 16 при обратном ходе нагружения, последовательно снимая грузы 10.

4. Построить график зависимости перемещения f от нагрузки Р и провести его усреднение для каждой индикаторной головки.

5. Рассчитать значение Iρ полых валов по выражению (2.9). 6. Используя выражение (2.4), построить график изменения

касательного напряжения τρ по сечению вала для фиксированного значения крутящего момента Мк, равного Мк = Ра.

2.3. Крутильные колебания

При учете динамических воздействий для вращательного движения необходимо учитывать момент сил инерции. В этом случае уравнение движения принимает вид:

		(2.15)
Iϕ+µϕ+cϕ= Mê,

где I – момент сил инерции подвешенной массы системы; μ – коэффициент демпфирования; с – жесткость торсиона (вала).

40