Лаб. практ. исправленный

Поскольку демпфирование в колебательной системе достаточно мало и им можно пренебречь, то особое внимание уделяется собственному движению, и уравнение (2.4) принимает в этом случае следующий вид: Iϕ+cϕ=0.

Частота собственных колебаний ωо в этом случае соответственно равна

ωî =	c	.	(2.16)
	I

Жесткость торсиона с определяется на основании выражения (2.7) и соответственно равна

c=	GIρ	.	(2.17)
	l

При исследовании крутильных колебаний основное внимание уделяется влиянию полярного момента инерции сечения Iρ на частоту собственных колебаний ωо, поскольку он зависит от формы сечения торсиона.

Момент инерции I зависит от формы подвешенной массы. Если она имеет простейшую симметричную объемную форму, то можно воспользоваться известными выражениями для определения моментов инерции масс простейших тел [1]. В качестве основных геометрических тел в данном случае можно рассматривать цилиндры (рис. 2.12). Экваториальный момент Iэ инерции отдельного цилиндра определяется по выражению

I =0,298
	h2	+3(R2 +r2),		(2.18)
ý

где h – высота горизонтального расположенного цилиндра.

3

S

I

Рис. 2.12. Цилиндр с отверстием

41

Если ось цилиндра смещена относительно оси вращения торсиона на расстояние а, то приведенный момент инерции к оси вращения торсиона цилиндра Iэпр равен

Iýïð = Iý +ma2,

(2.19)

где m – масса цилиндра; Iэ – экваториальный момент инерции цилиндра.

Масса цилиндра определяется по выражению

m=γπ(R2 −r2)h,

(2.20)

где γ – плотность материала цилиндра.

Полный момент инерции подвешенной массы определяется как сумма приведенных к оси торсиона моментов инерции его элементов и равен

n

I=∑Iïði,

i=1

где n – число элементов подвешенной массы.

42

Лабораторная работа № 6

Исследование частот крутильных колебаний

Цель работы: исследование влияния параметров торсиона и моментов инерции подвеса на изменение частот собственных крутильных колебаний подвесов измерительных элементов авиационных приборов и приборных комплексов.

Описание лабораторной установки

Принципиальный вид лабораторной установки приведен на рис. 2.13. На массивной Г-образной стойке 1 с помощью торсиона 2 подвешен сборный подвес 3. Сменные перемещающиеся грузы 4 позволяют изменять момент инерции подвеса. Сменные торсионы 2 позволяют менять жесткость подвеса. Составляющие элементы лабораторной установки приведены на рис. 2.14–2.17.

Для выполнения эксперимента необходимо собрать лабораторную установку, используя при сборке три вида торсионных подвесов, основной элемент подвеса (рис. 2.16) и предлагаемые грузы (рис. 2.17). Перед сборкой установки студенты измеряют длину, толщину и ширину торсиона в подвесе (рис. 2.15). Затем они

2

3

1

4 a

Рис. 2.13. Принципиальная схема лабораторной установки

43

A

1

A

2

3

Рис. 2.15. Подвес

1

2

Рис. 2.14. Стойка установки

Рис. 2.17. Грузы

Рис. 2.16. Подвешиваемая масса

определяют параметры основного элемента подвешиваемой массы (рис. 2.16), необходимые для определения экваториального момента инерции и массы усиков, с помощью которых устанавливаются грузы (рис. 2.17), а также геометрические размеры грузов.

На рис. 2.15 представлены крепежные детали подвеса торсиона (верхняя плата 1 и нижняя плата 3), необходимые для крепления торсиона 2 к стойке установки (рис. 2.14), а также крепления основного элемента подвешиваемой массы в подвесе (рис. 2.16). Для фиксации торсиона 2 в стойке установки (рис. 2.14, вид А)

44

в верхней плате 1 имеются два отверстия: гладкое – под штифт и резьбовое – под винт. На нижней плате 3 закреплен штифт, необходимый для фиксации основного элемента подвешиваемой массы с помощью прорезей в ее ушках. На стержни основного элемента (рис. 2.16) устанавливаются симметрично грузы, показанные на рис. 2.17, которые закрепляются с помощью винтов, ввернутых в

отверстия грузов. После сборки установка должна соответствовать принципиальной схеме, приведенной на рис. 2.13. Крутильные колебания задаются начальными условиями поворота элемента подвеса на угол, равный 180°.

Подготовка и проведение работы

1. Измерить необходимые геометрические параметры элементов подвешенной массы, описанных ранее, и рассчитать экваториальный момент инерции Iэ и жесткость торсиона c. Определить теоретическое значение собственной частоты крутильных колебаний ωо

с использованием выражений (2.14), (2.15), (2.16), (2.17), (2.18). 2. Поместить стойку (рис. 2.14) на ровную горизонтальную по-

верхность стола.

3. Закрепить верхнюю плату торсионного подвеса (рис. 2.15) в верхней части стойки с помощью винта. С помощью прорезей в ушках основного элемента подвеса осуществить сборку его с торсионным подвесом.

4. Зафиксировать показания индикаторных головок, задав начальный угол отклонения j.

5. Установить предложенные грузы на «усики» симметрично относительно оси вращения торсионного подвеса. Зафиксировать расстояние оси симметрии груза 4 от оси вращения торсиона. Задав начальный угол, повторить описанный ранее эксперимент. Изменив положение грузов относительно оси вращения торсиона, повторить эксперимент еще раз.

6. Определить экспериментальное значение частоты ωоэ по выражению

ωîý =	2π n	,
	T

где n – число колебаний; T – измеренный промежуток времени в процессе эксперимента.

45

7. Определить относительную погрешность по следующей формуле:

γ = ωî −ωîý 100%.

ωî

8. Взять торсион другого сечения, осуществить сборку лабораторной установки и провести эксперимент по методике предложенной выше (пп. 1…7). Далее осуществить измерение только параметров торсиона, поскольку остальные элементы подвешенной массы остаются неизменными. Затем определить ωо и ωоэ по результатам эксперимента, и рассчитать относительную погрешность γ.

9. Далее взять третий торсион и полностью повторить эксперимент.

10. Полученные результаты эксперимента и расчета свести в итоговую таблицу.

Таблица 2.1

Результаты экспериментов

№	Параметры тор-				Жесткость торсио-	Момент инерции		T,	ωо,	ωоэ,
		сиона					n				ε, %
п/п					на c, Н·мм/рад	подвеса I, Н·мм·с		с	1/с	1/с
	ℓ, мм	b, мм		h, мм
1
2
3

Втабл. 2.1 указывается порядковый номер эксперимента, и за-

носятся параметры торсионного подвеса. Если торсион имеет круглое сечение, то в графе «b» ставится значок диаметра Ø, а в графе «h» ставится прочерк.

Вграфу моменты инерции и далее в строку табл. 2.1 заносятся полученные результаты при разных положениях грузов в последовательности эксперимента. Таким образом, три строчки в эксперименте№1даютвозможностьоценитьвлияниемоментовинерциина частоту. Сравнение одинаковых строк в различных экспериментах

46

дает возможность оценить влияние жесткости торсиона на частоту крутильных колебаний. Для удобства сравнения экспериментальных данных желательно, чтобы моменты инерции в одноименных строках были одинаковыми. Этого легко добиться одинаковым расположением грузов при экспериментах с различными торсионными подвесами.

3. Изгиб

Одним из основных видов деформаций валов редукторов с цилиндрическимииконическимиколесами,червячнойпередачи,элементов стержневых механизмов и микромеханических устройств, а также частей несущих конструкций и продольно сжатых стержней является деформация изгиба. Деформация изгиба имеет место, как в плоскости, так и в пространстве.

3.1. Деформация изгиба в вертикальной плоскости

Для оценки величины нормальных напряжений и характера их распределения рассмотрим стержень прямоугольного сечения, подвергающийся чистому изгибу парами внешних моментов М. Двумя бесконечно близкими сечениями 1–1 и 2–2 выделим из него элемент длиной dx. Вид этого элемента до и после деформации показан на рис. 3.1. Оба поперечных сечения 1–1 и 2–2, оставаясь плоскими, повернутся вокруг нейтральных осей (точки О1 и О2 на фронтальной плоскости) и образуют угол dα [1–3].

Линия О1О2, принадлежащая нейтральному слою, после деформации сохранит свою первоначальную длину dx. Все волокна, лежащие выше нейтрального слоя, укорачиваются, а ниже – удлиняются. Нейтральный слой на рис. 3.1 показан пунктиром. Нейтральный слой – это слой продольных волокон, не изменяющих своей длины при деформации, т.е. поверхность, разделяющая сжатую зону от растянутой.

Возьмем волокно AB, которое расположено на расстоянии z от нейтрального слоя. Первоначальная длина волокна dx при изгибе не меняется и равна dx = ρ∙dα. Длина волокна АВ после деформации равна AB = (ρ+z)dα. Его относительное удлинение можно определить по формуле

47

	ε=	(ρ+z)dα−ρdα	=	z	,	(3.1)
		ρdα		ρ

где ρ – радиус кривизны нейтрального слоя.

Используя закон Гука при растяжении, вычислим нормальные напряжения при изгибе:

	σ=E ε=	E z	,	(3.2)
		ρ

где E – модуль упругости материала при растяжении (модуль Юнга первого рода).

0	0	.
.
	[

" #

	EY
	$

E

.	.
0	0
	[

"#

Рис. 3.1. Расчетная схема деформации изгиба элемента dx

48

Уравнение (3.2) показывает, что величина нормальных напряжений при изгибе меняется прямо пропорционально расстоянию z от рассматриваемой точки сечения до нейтрального слоя. Значит, напряжения распределены по высоте сечения по линейному закону с переменой знака. Максимального значения они достигнут на поверхности стержня, у верхнего и нижнего краев сечения при z = zmax. Уравнение (3.2) дает только характер распределения нормальных напряжений по сечению, но им нельзя воспользоваться для вычисления их величины.

Характер распределения нормальных напряжений по высоте сечения показан на рис. 3.2.

Для определения величины нормальных напряжений в любой точке сечения составим уравнение внешних и внутренних моментов относительно оси y. Обратимся к рис. 3.3. На нем показана одна из

NBY

¦¾ВЛЙ¹ДХЖФВ КДЗВ

.

NBY

Рис. 3.2. Характер распределения нормальных напряжений по высоте поперечного сечения стержня

.

	Z
	Y

E/ E4

[

	[	Z
		ET
		Z
		[

Рис. 3.3. Расчетная схема внутренних изгибающих моментов в поперечном сечении стержня

49

отсеченных частей стержня, подвергающегося чистому изгибу парами внешних моментов М. В каждой точке поперечного сечения стержня действуют нормальные напряжения σ. На выделенную вокруг любой точки с координатами (y,z) элементарную площадку dS действует элементарная внутренняя сила dN = σdS. За ось z принята линия пересечения плоскости симметрии стержня с плоскостью сечения. За ось y принята нейтральная ось сечения. Ось x взята вдоль нейтрального слоя перпендикулярно к осям y и z.

Уравнение внешних и внутренних моментов относительно оси y имеет вид

∑My =0, M−∑dNz=0 или M−∫ σdSz=0.

S

Раскрывая значение σ по формуле (3.2) и подставляя его в уравнение ∑My =0, получим:

	E	2
		∫z dS=M.	(3.3)
	ρ
		S

Обозначим интеграл ∫z2dS=Iy. Он называется осевым момен-

S

том инерции площади сечения относительно оси y. Поскольку ось y – нейтральная ось, то Iy есть момент инерции площади сечения стержня относительно нейтральной оси. Обозначим Iy для краткости просто I.

Используя выражения (3.2) и (3.3), получим формулу для определения нормальных напряжений в любой точке сечения в следую-

щем виде:

σ= MIz.

Максимальное нормальное напряжение σmax соответственно равно

σmax =	M zmax	=		M	=	M	,	(3.4)
			I			W
	I			zmax

где W = I/zmax – осевой момент сопротивления площади сечения относительно оси y.

Значения I и W для большинства стандартных форм сечений известны и приводятся в табл. [1–3].

50