- •I. Элементарная математика
- •1.1. Арифметика
- •1.1.1. Некоторые основные понятия
- •1.1.2. Действия над обыкновенными дробями
- •1.1.3. Пропорция. Средние величины
- •1.2. Расширение понятия о числе
- •1.2.1. Основные множества чисел и некоторые обозначения
- •1.2.2. Действительные числа
- •1.2.3. Комплексные числа
- •Формы записи комплексных чисел.
- •Алгебраические действия над комплексными числами
- •1.3. Алгебраические выражения и действия над ними
- •1.4. Многочлены и их корни
- •1.4.1. Квадратный трехчлен
- •1.4.2. Теорема безу и схема горнера
- •Формулы сокращенного умножения
- •1.5. Алгебраические дроби
- •1.6. Свойства степеней
1.4. Многочлены и их корни
• Многочленом степени n называется всякое выражение вида:
где и– старший коэффициент,– свободный член.
Обычно многочлен n-ой степени обозначается Тогда, например, выражение – многочлен второй степени,– многочлен первой степени, а всякое, отличное от нуля, вещественное число А принято считать многочленом нулевой степени.
• Число х0 называют корнем многочлена , еслиВ этом случае многочленбез остатка делится на
1.4.1. Квадратный трехчлен
Квадратный трехчлен – это многочлен второй степени, который записывается так: где
Графиком квадратного трехчлена является парабола, ветви которой направлены вверх при (рис. 4,а) или вниз при (рис. 4,б).
Корни квадратно-го трехчлена есть абсциссы иточек пе-ресечения параболы с осью 0х и находятся по формуле:
где – дискриминант квадратного трехчлена.
• –два действительных различных корня, тогда
• –два действительных равных корня, тогда
• нет действительных корней и нет точек пересечения парабол с осью 0х. Считая, что получим два сопряженных комплексных корнягде α и β – действительные числа.
Примеры. Найти корни квадратного трехчлена и разложить его на мно-жители.
1.
2.
3.
● Теорема Виета
Если и– действительные корни уравнениягдетои.
● Квадратный трехчлен можно записать в следующем виде:
Такое преобразование называется выделением полного квадрата.
Например, 1.
2.
3.
1.4.2. Теорема безу и схема горнера
Для любого многочлена степении любого числанайдется такой многочлен степени
что справедливо равенство:
(Теорема Безу)
Коэффициенты многочлена могут быть вычислены по следующему алгоритму:
Результаты вычисления коэффициентов многочлена удобно записывать в специальную таблицу, называемуюсхемой Горнера:
|
|
|
|
… |
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
… |
|
|
|
Понятно, что если – корень многочлена, тои, следовательно,(следствие из теоремы Безу).
Таким образом, чтобы выяснить, является ли число корнем многочлена, нужно заполнить схемуГорнера. Если окажется равным 0, то– корень. В противном случае– не корень .
Замечание. Все рациональные корни многочлена
с целыми коэффициентами являются целыми и являются делителями свободного члена .
Пример. Найти целые корни уравнения
Решение. Целые корни ищем среди делителей свободного члена: ± 1, ± 2. Проверяем по схеме Горнера каждое из этих чисел.
|
1 |
3 |
1 |
–3 |
–2 |
|
1 |
1 |
4 |
5 |
2 |
0 |
корень |
1 |
1 |
5 |
10 |
12 |
|
не корень |
–1 |
1 |
3 |
2 |
0 |
|
корень |
–1 |
1 |
2 |
0 |
|
|
корень (кратности 2) |
–2 |
1 |
0 |
|
|
|
корень |
Данное уравнение имеет 3 корня: 1; –1; –2, причем –1 – корень кратности 2. Следовательно,
Основная теорема алгебры. Всякое уравнение имеетn корней действительных или комплексных.
Если действительные корни многочлена равны: α, β, …, λ и, соответственно, их кратностиk, l, ..., p, то данный многочлен можно разложить на множители следующим образом:
где старший коэффициент .
Если комплексное число является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то корнем этого многочлена обязательно будет и число, т. е. комплексные корни многочлена всегда попарно сопряженные.
Следствие. Каждый многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на множители следующим образом:
причем дискриминант для квадратных трехчленов.
Примеры.
1.
2.
При разложении многочлена на множители удобно применять