Задание 7

Пример 1.Найти работу силыпри перемещении материальной точки вдоль линииL:y=x³от точкиM(0; 0) к точкеN(1; 1).

Решение. Работу переменной силыпри перемещении материальной точки по дуге кривойLопределяем по формуле (2.3) (как криволинейный интеграл второго рода от функциипо кривойL).

Так как векторная функция задана уравнениеми дугаплоской ориентированной кривой определена явно уравнениемy=y(x),x[x₁;x₂], гдеy(x) непрерывно дифференцируемая функция, то по формуле (2.7)

.

В рассматриваемом примере y=x³,,x₁=x_M= 0,x₂=x_N= 1. Поэтому

Пример 2. Найти работу силыпри перемещении материальной точки вдоль линииL:x²+y²= 4 от точкиM(0; 2) к точкеN(–2; 0).

Решение. Используя формулу (2.3), получаем

.

Рис. 5

В рассматриваемом примере дуга кривой L(MN) – это четверть окружности, задаваемой каноническим уравнениемx²+y²= 4.

Для вычисления криволинейного интеграла второго рода удобнее перейти к параметрическому заданию окружности: x=R cost,y=Rsintи воспользоваться формулой (2.5)

.

Так как x= 2cost,y= 2sint,,,получаем

Задание 8

Пример 1. Вычислить модуль циркуляции векторного полявдоль контураГ:

Решение.Для вычисления циркуляции векторного полявдоль замкнутого контураГвоспользуемся формулой (2.4)

Так как задано пространственное векторное поле и пространственный замкнутый контурГ, то переходя от векторной формы записи криволинейного интеграла к координатной форме, получаем

.

Кривая Гзадана как пересечение двух поверхностей: гиперболического параболоидаz = x²–y²+ 2 и цилиндраx²+y²= 1. Для вычисления криволинейного интеграла удобно перейти к параметрическим уравнениям кривойГ.

Уравнение цилиндрической поверхности можно записать в виде: x=cost,y=sint,z=z. Выражение дляzв параметрических уравнениях кривой получается подстановкойx=cost,y=sintв уравнение гиперболического параболоидаz =2 +cos² t–sin² t= 2 +cos2t. Итак,Г:x=cost,y=sint,z= 2 +cos2t, 0 ≤t≤ 2.

Так как входящие в параметрические уравнения кривой Гфункцииx(t) =cost,y(t) =sint,z(t) = 2 +cos2tявляются непрерывно дифференцируемыми функциями параметраtприt[0; 2], то криволинейный интеграл находим по формуле (2.6)

Учитывая, что ,,, а также тригонометрические формулы sin 2t= 2sintcost,получаем

так как cos 4 = cos 0 = 1, sin 8 = sin 0 = 0.

Пример 2.Вычислить модуль циркуляции векторного полявдоль контура

Решение.Если одна из поверхностей, при пересечении которых образуется замкнутый контурГ, представляет собой плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей, то циркуляцию удобно находить, используя формулу Стокса:

где – часть двухсторонней поверхности, ограниченной замкнутым контуромГ, – единичный вектор нормали к поверхности, и выбор стороны поверхности и направление обхода контураГсогласованы.

Находим ротор векторного поля по формуле (2.11):

В качестве выбираем верхнюю сторону плоскости z = 1. Тогда и скалярное произведение

.

По формуле Стокса получаем

где S– площадь части поверхности, ограниченной контуромГ. КриваяГзадана как пересечение поверхности эллиптического параболоидаи плоскостиz= 1, то есть представляет собой эллипс, расположенный в плоскостиz= 1 и задаваемый уравнениями

Как известно, площадь эллипса, задаваемого каноническим уравнением вычисляется по формулеS =ab. Поэтому

.