Решение

1. Запись данных компонент в виде тензора напряжений

Подставив численные значения получим:

(МПа).

2. Вычисление инвариантов тензора напряжений I₁, I₂, I₃.

0. Первый инвариант вычисляется по формуле:

(МПа)

0. Второй инвариант вычисляется по формуле

(МПа)

0. Третий инвариант вычисляется по формуле

(МПа)

3. Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений

Кубическое уравнение запишем в виде:

(1)

После подстановки значений инвариантов получим

Первый корень кубического уравнения определим, например, подбором делителя для свободного члена уравнения (1): ±1 ... ±10 ... и т.д.

σ' = 90,79716278

Правильность подбора первого корня б' проверим его подстановкой в уравнение (1).

Второй и третий корень определим, применив, например, теорему БЕЗУ, согласно которой кубическое уравнение типа (1) де­лится без остатка на величину (σ - σ '), где σ ' - первый ко­рень, определённый подбором.

Применение этой теоремы позволяет не производить упомянуто­го деления вообще, а коэффициенты нового (теперь уже - квадратно­го уравнения, полученного в результате такой операции, определяют в последовательности, показанной в таблице 2.

Таблица 2- Определение коэффициентов квадратного уравнения

Исходное (кубическое) уравнение
—	a0=+1	a1=±(I1)	a2=±(I2)	Свободный член a3=±(I3)
—	1	-190	-200	836000
Искомое (квадратное) уравнение:
Первый корень σ'=90,79716	a0=b0=+1	b1= σ'· b0+a1	b2= σ'· b1+a2	b3= σ'· b2+a3=0
	b0=+1	b1=90,79716·1+ +(-190)	b2 = 90,79716 · · (-99,20283722) + +(-200)	b3 = 90,79716 · · (-9207,336159) + +836000
	+1	-99,20283722	-9207,336159

При составлении квадратного уравнения на основании исходного (кубического) значения степени для "σ" кубического уравнения уменьшаются на единицу.

Второй и третий корни кубического уравнения (1) находим, решая квадратное уравнение.

Корни этого уравнения находятся по формуле

Вычисление корней квадратного уравнения

157,618255

-58,41541752

Корни этого квадратного уравнения являются вторым и третьим корнем кубического уравнения.

С учетом известного соотношения σ₁> σ₂> σ₃ найден­ным корням кубического уравнения присваивают соответствующие индексы "1", "2", "3".

σ₁=157,6182547 (МПа);

σ₂=90,79716278 (МПа);

σ₃=-58,41541752 (МПа).

Выполним проверку найденных корней кубического уравнения

I₁=157,6182547+90,79716278 +(-58,41541752)=190 (МПа)

I₂= - [157,6182547 · 90,79716278 +90,79716278 · (-58,41541752) +

+ (-58,41541752) · 157,6182547] = -[ 14311,29033+(-5303,954173)+

+ (-9207,3362)] = 200 (МПа)

I₃=157,6182547 · 90,79716278 · (-58,41541752) =-836000 (МПа)

4. Вычисление направляющих косинусов нормалей к главным площадкам.

Аналитически направлявшие косинусы нормалей к главный площадкам с главными нормальными напряжениями σ_г (то есть σ₁ или σ₂ или σ₃) определяют по формулам:

,

где ,,-направляющие косинусы нормалей к соответствующей главной площадке;

, . Значенияи вычисляют решая систему