Основы математики. Неопределенный и определенный интеграл

Вариант № 7

Задание

Укажите правильный ответ

1.∫sin3xdx

2.∫7 − 2xdx

3.∫4x ln4dx

4.∫3dx− x

5.∫sin2 xdx

6.∫(3x −1)e−xdx

	1)	cos3x													2)	3cos x + C
	3)	−3cos3x + C													4)	−			1				cos3x + C
																3
	5)		1			cos3x + C									6) правильного ответа нет
		3
					1																				1
															2) C −												(7 − 2x)3
	1) −							7 − 2x + C
					2																			3
	3)	C −					1
															4) 2 7 − 2x +C
									7 − 2x
	5)		1			(7 − 2x)3/2 + C									6) правильного ответа нет
		7
	1) 4x+1 ln4 + C														2) 4x−1 ln4 + C
	3) 4x + C														4) 4x+1 + C
	5)	4x−1 + C													6) правильного ответа нет
	1) C − ln										3− x				2) ln						3 − x								+ C
	3)	− 12 (3 − x)2 + C													4)									1						+ C
																	2(3− x)2
	5)	2(3 − x) + C													6) правильного ответа нет
	1)		1 sin3 x + C												2) cos3 x + C
		2
	3)	2sin2x − cos x + C													4)		x	−							1 sin2x + C
																2
																								4
	5)		x			−	1 cos2x + C								6) правильного ответа нет
		2
							2
	1) C − (1+ 3x)e−x														2) C + (5 − 3x)e−x
	3) (1− 3x)e−x − C														4) C − (1− 3x)e−x
	5)	(3x − 2)e−x + C													6) правильного ответа нет

90

7. ∫ln xdx	1)	1	+ C
		x
	3)	x(ln x −1) + C
	5)	1		+ C
		ln x

	8. ∫		xdx
					1) ln x2 +1 + C
			x2 +1

3) 12 x2 +1 + C

5) x2 +1 + C

9.

∫sin2 x − 2sin x + cos x dx1)							C + ln		sin x					− 2x − sin x
			sin x			3)	C − ln				sin x				− 2x + sin3 x
						5)									3
10.	∫cos3 xdx						C + cos x − 2x − ln									cos x
						1)	cos4 x + C
						3)	3sin2 x + C
						5)	C − 1 cos4 x
							4
	1		dx				π
11.	∫					1)
							3
			4 − x2
	0
						3)	π
							6
						5)	π + C
							6
	π						1
	2					1)
12. ∫sin xcos2 xdx							3
	0
						3)	0

2) 12 − ln2 xdx

4) (x −1)ln x + C

6) правильного ответа нет

2)	2		x2 +1 + C
4)			1			+ C
	3			x2 +1

6) правильного ответа нет

2) ln sin2 x − 2sin x + cos x + C

4) C + ln sin x − 2x − cos x

6) правильного ответа нет

2) sin x − sin3 x + C

3

4) C − cos2 x

6) правильного ответа нет

2) 3 − 2

4) 2 − 3

6) правильного ответа нет

2) − 13

4) – 1

91

				5)			π						6) правильного ответа нет
							6
13. Площадь плоской пластинки, ограниченной линиями y = 4 − x2 и
y = x + 2 , равна:
1)	4,5			2) 3,5					3) правильного ответа нет 4) C + 3,5 5) 13,5
14. Длина				дуги окружности x = 2cost, y = 2sint , расположенной
в первой четверти, равна:
1)	4		2) 2 2				3) 2			4) 1 5) правильного ответа нет
15. Площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком
спирали Архимеда ρ = aϕ(a > 0),										равна
1)	1		π3a2	2)				2	π2a3	3)	1	πa2	4) правильного ответа нет
	3						3			3
5)		4	π2a2
	3

92

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Вариант 1

1+ 3x2 + 2

3xdx

1.

∫

x

dx

2.

∫

x

x

3

+ 9

3.

∫(x + 1)ln xdx

4.

∫

1

dx

(x − 2)(x +1)2

5.

∫

2x − 3

6.

∫sin xcos

2

xdx

dx

x(x2 + 4)

dx

3x

x

7.

∫

8.

∫sin 2 cos

dx

4 − 3sin x + 4cosx

2

9.

π

5xdx

9

1+ x

∫cos2

10. ∫4

x + 2dx

5

0

1.Вычислить площадь фигуры, заключенной внутри одного лепестка кривой r = 2sin3ϕ.

2.Найти длину дуги линии y = x3 от точки (0; 0) до точки (4; 8).

3.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограничен-

ной линиями y = 4 + x2 ; x ≥ 0; y ≥ 0 вокруг оси Ох.

4. Найти функцию U(x, y), если задан ее полный дифференциал

dU = (x + 2xy − y2 )dx + (x2 − 2xy − y2 )dy

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

0 xdx

ла −∞∫ x2 +1

93

Вариант 2

1.

∫

x − 25

x

+ x4

dx

2.

∫xe−3x2 dx

3

x

2

∫xln(x −1)dx

3.

∫

dx

4.

(arcsin x)3 1

− x2

5.

∫

1− 2xdx

6.

∫

3x + 2

dx

x2 + 4x + 40

(x +1)(x2 + 2x + 2)

7.

∫sin3 xcos2 xdx

8.

∫cos2xcos3xdx

9.

π

3xdx

1

x2

∫sin2

10. ∫0 1+ xdx

3

0

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой x = cos3 t, y = sin3 t.

2. Найти длину дуги первого витка архимедовой спирали r = αϕ;

(0 ≤ ϕ ≤ 2π) .

3. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y2 = x + 4; x = 0; y = 0 вокруг оси Ох.

4. Найти функцию U(x, y), если задан ее полный дифференциал dU = (sin x + cos y)dx + (y − xsin y)dy

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

1

ла −∫1 xdx−1

94

Вариант 3

x − 2x2 + x3

1.

∫

dx

2.

∫cos

x dx

x

x

3.

∫

9x2dx

4.

∫x arctgxdx

2 − 3x3

5.

∫

x

dx

6.

∫

sin x

dx

x2 + 6x + 13

sin x +cosx

7.

∫

2x + 3

dx

8.

∫cos4 xsin xdx

(x −1)2 (x + 4)

9.

π

1

xdx

∫sin3 xdx

10. ∫0 1+ 4

x

2

0

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией y = 8 − 0,5x2 и

y = 35.

2.Найти длину параболы y = x2 от точки (0, 0) до точки ( 2;1).

3.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограничен-2

ной линиями y = 1− x2 ; y = 0 вокруг оси Ох.

4. Найти функцию U(x, y), если задан ее полный дифференциал

dU = (1− 2xy)dy − y2dx

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

0	x		2	dx
ла ∫
		x2 +1
−∞

95

Вариант 4

1.

∫

(x +1)2

dx

2.

∫sin(1− 3x)dx

x

4. ∫

3.

∫

xdx

x lnxdx

4 − x4

5. ∫

x2dx

6. ∫

x2dx

x3 + 8

(x +1)2 (x + 2)

7.

∫

sin x

dx

8.

∫cos4 xdx

1+ cos2 x

4

2x

4

9.

∫

dx

10. ∫

4 − x2 dx

x + x

1

0

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x и

y = x3.

2.Найти длину линии y = ln x от x = 3 до x = 8.

3.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограничен-

ной линиями y = (x − 1)2 и x = 3, y ≥ 0 вокруг оси Ох.

4. Найти функцию U(x, y), если задан ее полный дифференциал

dU =	y		dx −	xy +1	dy
		2
	x			x

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

e

ла ∫1 xdxln x

96

Вариант 5

3

2

x dx

1.

∫ 3+ x xdx

2.

∫

3+ x4

3.

∫xln xdx

4.

∫

x2 +1

dx

x(x2 −1)

5.

∫

dx

6.

∫

dx

x3 −1

1+sin x +cosx

7.

∫sin2 xcos3 xdx

8.

∫sin3 xdx

π

9

1+ x − 5

4 sin2 x

10.

∫6

dx

9.

∫cos4 x dx

x − 5 + 4

0

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой y = 5 и x

прямой y = 6 − x.

2. Найти длину линии y =1− lncos x от x = 0 до x = π4 .

3.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной параболой x = y2 − 4 и осью Оу вокруг оси Ох.

4.Найти функцию U(x, y), если задан ее полный дифференциал

		1		x				x		x
	dU = 1+		ey dx + 1				−		ey dy
								2
		y						y

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

5

dx

ла −∫3 (x + 3)2

97

Вариант 6

∫

1

x2 + 2

1.

+

x + 2

2.

dx

dx

∫ x

2

−1

x

3.

∫

dx

4.

∫x2 lnxdx

5

− 3x

cos x

xdx

5.

∫sin3 xdx

6.

∫

x2 + 2x + 3

7.

∫

dx

8.

∫

dx

x4 + x2

5+ 4sin

x

1

xdx

1

4x + 5

9.

∫

10. ∫

dx

0

3

+ x

0

4 − x2

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой x = acos3 t,

y= a sin3 t, если t 0; π2 .

2. Найти длину дуги полукубической параболы y2 = x3 от x = 0 до

x = 5.

3.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной осью координат и кривой x = y2 − 4 вокруг оси Ох.

4.Найти функцию U(x, y), если задан ее полный дифференциал

dU = (x + y2 )dx + 2xydy

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

∞ xdx

ла ∫5 x2 − 9

98

Вариант 7

x

−1

1. ∫

dx

2. ∫x3 2 + x4 dx

3

2

x

3.

∫

xdx

4. ∫(x +1)cos2xdx

1− 2x2

5.

∫

5x + 2

dx

6. ∫

x2 + 8

dx

(x − 3)(x +1)

x3 + 8

7.

∫

cosx

dx

8. ∫sin3 xcos3 xdx

sin x + cosx

π

1

x

9.

∫sin2 3xdx

10. ∫0 1+ 3 xdx

3

0

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y = x2 + 3x

и прямой y + 3x − 4 = 0.

2.Найти длину дуги полукубической параболы y2 = (x + 1)3 отсеченной прямой x = 4.

3.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной параболой y2 = −3x и прямой x = −3 вокруг оси Ох.

4.Найти функцию U (x, y), если задан ее полный дифференциал

dU =		x		dx +		y		dy
		x2 + y2				x2 + y2

5. Вычислить или установить расходимость несобственного интегра-

ла ∞∫ x3dx

0 x4 +1

99