Основы математики. Неопределенный и определенный интеграл

1.5. ∫(x2 + y2 )			dl, l : x = acost, y = asint,	0 ≤ t ≤ 2π.
l
1.6. ∫(x − y)dl,			где l – участок прямой от A(0,0) до B(4,3).
l
1.7. ∫			где l – первая арка	циклоиды x = a(t − sint),
	2ydl,
l

y = a(1− cost).

Задача 2.
Вычислить криволинейные интегралы II рода:
2.1. ∫ xdy − ydx,		где O(0,0),	A(1,2), если ОА – отрезок прямой линии.
	OA
2.2. ∫ xdy − ydx,		где O(0,0),	A(1,2), если ОА – ломаная, состоящая из
	OA
отрезка ОВ оси ОХ, из отрезка ВА, параллельного оси ОУ.
2.3. ∫(x2 − 2xy)dx + (y2 − 2xy)dy, где l – парабола y = x2 (−1≤ x ≤1).
	l
2.4.	∫ dxsin y + dysin x, где		АВ –	отрезок прямой между точками
	AB
A(0,π) и B(π,0).
2.5.	∫(x − y)2 dx + (x + y)2 dy,		если	l – ломаная ОАВ, где	O(0,0),
	l
A(2,0), B(4,2).
2.6.	∫ 2xydx − x2dy, где ОВА –			ломаная линия, O(0,0),	B(2,0),
	OBA
A(2,1).
2.7.	∫ 2xydx − x2dy, где ОСА – ломаная линия, O(0,0), C(0,1), A(2,1).
	OCA

70

Задача 3.

Найти функцию U(x, y), если известен ее полный дифференциал

dU = P(x, y)dx + Q(x, y)dy .

3.1.dU = (x2 + y)dx + (y2 + x)dy

3.2.dU = (2xy − y2 + 3)dx + (x2 − 2xy − 4)dy

3.3.dU = (2x + y)dx + (x − 4)dy

3.4.dU = (x + y2 )dx + 2xydy

3.5.dU = (1− 2xy)dy − y2dx

3.6.dU = (x + 2xy − y2 )dx + (x2 − 2xy − y2 )dy

3.7.dU = e− ydx + (1− xe− y )dy

71

5. ВИДЫ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Понятие определенного интеграла вводится в предположении, что промежуток интегрирования [a; b] конечен и функция f (x) непрерывна на нем. Такие интегралы называют еще собственными.

Если хотя бы одно из этих условий нарушается, то интеграл называется несобственным.

5.1. Интеграл с бесконечными промежутками интегрирования

(несобственный интеграл I рода)

Пусть подынтегральная функция f (x)			непрерывна на промежутках
[a;+∞), (−∞;b]	или на всей числовой оси (−∞;+∞) и если существует ко-
	+∞	A	+∞
нечный предел	∫	f (x)dx = Alim→+∞ ∫ f (x)dx, то	∫ f (x)dx называют несобст-
	a	a	a

венным интегралом I рода. Если указанный предел существует, то несоб-

+∞

ственный интеграл ∫ f (x)dx называется сходящимся. Если же предел не

a

+∞

существует или бесконечен, то несобственный интеграл ∫ f (x)dx называ-

a

ется расходящимся.

Примеры. Вычислить несобственные интегралы или установить их

+∞

1

+∞

расходимость: 1) ∫

dx ;

2) ∫

dx

.

x2

x

1

1

+∞

1

A dx

1

A

1

1)

∫1

dx = lim

∫1

= lim

−

=

lim 1

−

=1

– интеграл сходится;

2

2

x

A→+∞

x

A→+∞

x

1

A→+∞

A

A

+∞

A

2. ∫

dx

= lim

∫

dx

= lim ln

x

= ∞ интеграл расходится.

1

x

A→+∞

1

x

A→+∞

1

72

Аналогично определяются несобственные интегралы для непрерыв-

ной функции, заданной на промежутке (−∞;b]			или (−∞;+∞):
b	b	+∞	A
∫ f (x)dx = Blim→−∞ ∫ f (x)dx ;		∫ f (x)dx = Blim→−∞∫ f (x)dx
−∞	B	−∞	A→+∞ B
+∞	C	+∞
Замечания. 1) ∫	f (x)dx = ∫	f (x)dx + ∫	f (x)dx , где С – любая точка
−∞	−∞	C

числовой оси (−∞;+∞). Этот несобственный интеграл является сходящимся, если оба слагаемых справа интеграла сходятся.

2) Для несобственных интегралов сохраняются свойства определенного интеграла: интеграл от четной функции на интервале (−∞;+∞) можно свести к вычислению интеграла на интервале [0;+∞), а интеграл от нечет-

+∞	x2
ной функции на (−∞;+∞) равен нулю. Поэтому, например, ∫ xe−		dx = 0.
	2
−∞
5.2. Интеграл от разрывных функций
(несобственный интеграл II рода)

Пусть область задания функции y = f (x) – промежуток [a,b) или [a,b],

но в точке b предел lim f (x) = ∞ (при x = b функция имеет бесконечный

	x→b
разрыв). При этом	x = b называется особой точкой. Если существует ко-
b	b−ε	b
нечный предел ∫ f (x)dx = limε→0 ∫ f (x)dx, то интеграл		∫ f (x)dx называется
a	a	a

несобственный интеграл II рода. Если предел в правой части существу-

b

ет, то несобственный интеграл ∫ f (x)dx сходится. Если указанный предел

a

b

не существует или бесконечен, то ∫ f (x)dx расходится. Аналогично опре-

a

73

деляется несобственный интеграл от функции, заданной на промежутках

[a,b) или [a,b], но при этом lim f (x) = ∞ :	b		b
	∫	f (x)dx = lim	∫	f (x).
x→a		ε→0
	a		a+ε

Наконец, если функция задана на всем отрезке [a,b] за исключением

его внутренней точки c [a,b] , т. е. функция определена на промежутках

[a,c) и (c,b] и lim f (x) = ∞ , то несобственный интеграл определяется так:
x→c
b	c−ε	b
∫ f (x)dx = limε→0	∫	f (x)dx + limδ→0 ∫ f (x)dx
a	a	c+δ

Если хотя бы один из пределов не существует (или равен ∞), то несобственный интеграл расходится. Чтобы несобственный интеграл был сходящимся, требуется сходимость обоих пределов.

4

dx

Пример. Вычислить ∫

.

0

x

Решение. x = 0 – особая точка подынтегральной функции

4

dx

4

dx

4

)

= 4 4

dx

∫

= lim

∫

= lim2 x

= lim

4 − 2

ε

– сходится.

x

ε→0

x

ε→0

ε→0 (

∫

x

0

ε

ε

0

b

b

Формула Ньютона–Лейбница: ∫ f (x)dx = F(x)

, где F′(x) = f (x) .

a

a

• При исследовании несобственных интегралов от разрывной функции на сходимость можно применять формулу Ньютона–Лейбница только

тогда, когда первообразная функция от f (x)			в особой точке непрерывна.
	8		dx				1	dx
Пример. Сходится ли интеграл 1)	−∫1					; 2)	−∞∫		?
								1+ x2
			3 x

Решение. 1) x = 0 – особая точка функции	1			. Первообразная
	3 x

F(x) = 32 3x2 – непрерывна в особой точке x = 0 можно применять фор-

74

8

dx

3

8

3

2

9

2

мулу Ньютона–Лейбница

−∫1

=

3 x

=

83 −1

=

данный не-

2

−1

2

2

3 x

собственный интеграл сходится.

2) f (x) =

1

– всюду непрерывна

1+ x2

1

dx

1

π

π

π

π

3

−∞∫

= arctg

x

= arctg1

− arctg(−∞) =

−

−

=

+

=

π сходится.

1+ x

2

−∞

4

2

4

2

4

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить или установить расходимость несоответственного интеграла:

+∞

xdx

1

dx

∞

dx

1

x4dx

1.

∫0

2. ∫0

3. ∫1

4. ∫0

x −1

x2 + x

x2 +1

1− x5

+∞

dx

2

dx

∞

dx

2

xdx

5.

∫

6. ∫

7. ∫

8. ∫

xln x

x x

4 + x2

4 − x2

4

1

1

0

2

dx

4

dx

∞ ln x

∞ arctgx

9.

−∫2

10.

∫0

11.

∫1

x dx

12.

∫1

dx

(x + 2)2

1+ x2

x

∞

xdx

1

dx

5

dx

+∞ ln3 x

13. ∫3

14.

∫0

15.

∫0

16.

∫2

dx

x2 − 4

x3 x

25 − x2

x

∞

xdx

+∞

dx

+∞

dx

1

dx

17. ∫

18.

∫

19.

∫

20.

∫

x4 +1

1+ x2

2x −1

(x −1)3

1

−∞

1

−1

75

ТЕСТЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Задание

1.	∫		+	1
		1					dx
				cos	2
						4x

2. ∫4sin2xdx

3.	∫		2x +	3
					dx
				2x

4.∫(x dx+ 2)2

5.∫cos2 xdx

6.∫ x −x 3dx

Вариант № 1

Укажите правильный ответ

1)

x + 4cos3 4x + C

2)

x − sin3 4x + C

3)

x + 1 tg4x + C

4) 1−

4

cos2 4x + C

4

3

5) 1+ sin2 4x + C

6) правильного ответа нет

1)

8cos2x + C

2)

C − 2cos2x

3)

C − 8sin 2x

4)

C + 2cos2x

5)

4cos2x + C

6) правильного ответа нет

1)

2x2 + 3ln

2x

+ C

2)

x2 + 3 x + C

3

2

3)

2x +

+ C

4)

x +1,5ln

2x

+ C

2x2

5)

x2 +1,5ln

x

+ C

6) правильного ответа нет

1) ln

x + 2

2 + C

2) C + ln

x + 2

3)

(x + 2)2

+ C

4)

(x + 2)

2

+ C

3

5)

C −

1

6) правильного ответа нет

x + 2

1)

0,5x + 0,25sin2x + C

2)

0,5+ 0,25cos2x + C

3)

0,5x − 0,25sin2x + C

4)

0,5− 0,25sin2x + C

5)

0,5x − 0,25cos2x + C

6) правильного ответа нет

1)

(x − 3)2 + C

2)

x − 3ln

x

+ C

3)

(x −3)2 ln

x

+ C

4)

x2

− 3ln

x

+ C

2

x −1,5x2 + C

5)

6) правильного ответа нет

76

7. ∫(2x − 3)sin xdx 1)	(2x − 3)cos x − 2sin x + C	2)	3sin x + 3cos x + C
3)	(2x − 3)sin x − 2cos x + C	4)	(3 − 2x)cos x + 2sin x + C
5)	(3 − 2x)sin x − 2sin x + C	6) правильного ответа нет

8.∫ln(x −1)dx

9.∫x3+ x2 dx

10.∫e2x x−1dx

e

		π
	24					2dx
	11. ∫
				sin	2		2x	+	π
	0
									4

1) C − x + (x −1)ln x −1

3) xln x −1 − ln x −1 + C

5) ln2 x −1 + C

1) 13 3 + x2 (3 + x2 ) + C

3) 23+ x2 + C

	5)		2		+ C
			(3 + x2 )2

1) e2x + lnex + C

3) ex + e−x + C

5) ex + lnex + C

1) 3 −1

3) 2 +1

5) 1− 3

	12.	3	2x			dx	1) ln4
		∫ x2		+1
		0

2) 0,5ln2 x −1 + C

	4)	1		+ C
		x −1

6) правильного ответа нет

2) 12 3+ x2 + C

	4)		1		+ C
			3 + x2

6) правильного ответа нет

2) (e2x −1)2 + C 2

4) ex (e2x −1)2 + C

6)правильного ответа нет

2)2 −1

4) 0,25

6) правильного ответа нет

2) ln10

3)	ln9	4)	2ln5
5)	2ln3	6) правильного ответа нет

13. Площадь плоской пластинки, ограниченной линиями y = 6x − x2 и y = 5, равна:

77

	1) 52			1		2) 44		1	3) 93				1			4) 4,5 5) правильного ответа нет
								3
	3								3
	14. Длина дуги кривой x = 4 −											t4			,	y =	t6	, где 0 ≤ t ≤1,					равна:
									4							6
	1)	1	(1− 2				)	2) 23(2			−1)					3)			3	(2		−1)	4)	1	(2		−1)
						2															2					2
										2
																								6
		6																	8

5)правильного ответа нет

15.Площадь фигуры, расположенной внутри кривой ρ = 5cosϕ, равна

1)	6,25π 2) 6,25(π −1)	3) 6,25(π − 0,5) 4) 12,5π
5) правильного ответа нет

Задание

1.∫e7−2xdx

2.∫cos(1−1,5x)dx

3.∫x +1dx

4.∫5dx+ x

Вариант № 2

Укажите правильный ответ

1) C + 17 e7−2x

3) C + 17 e7−2x

5) e6−2x + C

1) C + 23 sin(1−1,5x)

3) C +1,5sin(1−1,5x)

5) C −1,5sinx

1

1) 2x +1 + C 3) 32 x +1 + C

5) 23 (x +1)x +1) + C

1) ln 5 + x + C

2) C − 0,5e7−2x

4) e8−2x + C

6) правильного ответа нет

2) C −1,5sin(1−1,5x)

4) C − 23 sin(1−1,5x)

6) правильного ответа нет

2) (x +1)2 + C

4) (x +1)2 + C

6) правильного ответа нет

2) 12 (5 + x)2 + C

78

	3)	C −				1		4)	C −		2
					5	+ x				(5	+ x)2
	5)	ln(5 + x)2 + C						6) правильного ответа нет
5. ∫sin3xcos5xdx	1)		1	cos3xsin5x +C				2)	C + 0,25sin4x − 0,5sin2x
		15
	3)	C − 0,25cos 4x + 0,5cos 2x						4)	sin2 3x + C
	5)	cos2 5x + C						6) правильного ответа нет
6. ∫(3x − 2)sin xdx	1) (3x − 2)cos x − sin x + C							2)	(3x − 2)cos x + C
	3)	C + 3sin x + (2 − 3x)cos x						4)	(2x − 3)sin x + C
	5)	C − 3sin x + (3x − 2)cos x						6) правильного ответа нет

7. ∫ln(x + 2)dx

8. ∫ xxdx2 − 3

9. ∫ x2 − 2x +1dx x

10. ∫cos xsin2 xdx

1)		xln(x + 2) + ln(x + 2) + C
3)	ln2 (x + 2) + C
5)		1 ln2					(x + 2) + C
	2
1)	ln				x2 − 3 + C
		1
3)				(x2 − 3)3										+ C
	3
5)	C −								1
								x2 − 3
1)					x2						4
	ln x									−				x x + x			+ C
							3				3

3) 3 − 2x + ln x + C

5) правильного ответа нет

1) − 13sin3 x + C

3) sin x − 14 cos4 x + C

5) правильного ответа нет

2)ln(x + 2) − x + C x + 2

4) C − x + (x + 2)ln(x + 2)

6)правильного ответа нет

2)C + x2 − 3

4) C + 2x2 − 3

6)правильного ответа нет

2)ln x − x + 0,5x2 + C

	4) x + ln x −	x	+ C
		2

2) 13cos3 x + C

4) 13sin3 x + C

79