Плоское напряженное состояние может быть представлено как суперпозиция (наложение) двух ортогональных (взаимноперпендикулярных) одноосных напряженных

состояний. При этом:

σα =σ′α +σ′′α,

τα =τ′α +τ′′α,

где σ′α, τ′α – напряжения, вызванные действием σ1; σ′′α, τ′′α – напряжения, вызванные действием σ2. Напряжения при одноосном напряженном состоянии (от действия σ1) связаны между собой как

σ′α =σ1 cos2 α;

τ′α = σ21 sin 2α.

Напряжения σ′′α, τ′′α , вызванные действием σ2, можно найти аналогично, но

при этом необходимо учесть, что вместо угла α в формулы необходимо под-

ставить угол β= −(90o −α)

– угол между α-площадкой и напряжением σ2.

Отсюда получим

σ′′α =σ2 cos2 −(90o −α)

σ′′α =σ2 sin2 α;

τ′′α =

σ2 sin 2

−(90o −α)

τ′′α = −σ2

sin 2α.

2

2

Окончательно можем записать

sin2 α = σ1 +σ2

σ1 −σ2

σ

α

=σ cos2 α+σ

2

+

cos 2α;

1

2

2

(5.1)

σ1 sin 2α− σ2

σ1 −σ2

τα =

sin 2α =

sin 2α.

2

2

2

На площадке, перпендикулярной данной, значения напряжений можно найти из этих же формул, подставляя вместо угла α величину угла β= −(90o −α):

σβ =σ1 sin2 α+σ2 cos2 α = σ1 −2 σ2 + σ1 +σ2 2 cos 2α;

(5.2)

τβ = −σ21 sin 2α+ σ22 sin 2α = −σ1 −2 σ2 sin 2α.

Если сложить левые и правые части выражений для напряжений на α- и β-площадках, получим следующие равенства:

1) σα +σβ =σ1 +σ2 , из которого следует, что сумма нормальных напряжений по двум вза-

имно перпендикулярным площадкам есть величина инвариантная, то есть не зависит от поворота площадки.

36

2) τα=–τβ, которое еще раз указывает на закон парности касательных напряжений (знак «минус» связан с вышеприведенным правилом знаков для касательных напряжений).

Решая совместно уравнения (5.1) и (5.2) относительно напряжений σ1 и σ2, получим выражения для определения главных напряжений при плоском напряженном состоянии по известным напряжениям на произвольных взаимноперпендикулярных площадках:

	σmax =	σα +σβ	±	1		(σα
		2		2
	min

Обозначения главных напряжений σmax, σmin здесь ных напряжений равно нулю.

−σβ )2 +4 τα2 .

(5.3)

оправданы тем, что одно из трех глав-

Направление главных площадок найдем, исключая из выражений (5.1), (5.2) величины σ1, σ2 и решая полученное уравнение относительно угла α:

tg2α = −	2 τα				.	(5.4)
	σ		−σ
		α		β

Задачи, рассматриваемые в теории напряженного состояния, могут даваться в прямой и обратной постановке.

Прямая задача. В точке известны положения главных площадок и соответствующие им главные напряжения; требуется найти нормальные и касательные напряжения по площадкам, наклоненным под заданным углом α к главным (аналитическое решение прямой задачи дается формулами (5.1) и (5.2)).

Обратная задача. В точке известны нормальные и касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным произвольным площадкам, проходящим через данную точку; требуется найти направление главных площадок и главные напряжения (аналитическое решение обратной задачи дается формулами (5.3) и (5.4)).

Отметим, что именно обратная задача оказывается наиболее распространенной в сопротивлении материалов, так как наиболее часто удается определить (теоретически или экспериментально) нормальные и касательные напряжения (σα, τα, σβ, τβ) на некоторых произвольных площадках. Затем по этим данным требуется найти положение главных площадок и величину главных напряжений, по которым и производится дальнейший расчет на прочность.

37