1. Предикат. Операции над предикатами.

Неформально предикат можно определить как некоторое высказывание, значение которого зависит от значений предметных переменных из множества M, на котором определен предикат.

Примеры:

1. P(x) : “x есть простое число”;

(Здесь и всюду в дальнейшем для задания предиката будем использовать краткую форму записи, которая подробно расписывается следующим образом: “x есть простое число”.)

2. D(x,y) : “x нацело делится на y”;

3. R(x,y) : “x > y”.

В качестве предметного множества для этих примеров можно рассматривать любые числовые множества, в частности, в примерах a), b) – M = , а в c) – M = .

Более строго предикат можно определить как отображение n-ной степени множества M, называемой местностью или арностью предиката в двухэлементное множество B = {1, 0}

.

При подстановке в предикат вместо предметных переменных набора значенийполучим логическое высказывание (так , а). Таким образом, предикат представляет собой переменное высказывание (или систему высказываний), истинность которого определяется подстановкой различных значений предметных переменных.

Так как предикаты принимают значения из множества B, то для них определены логические операции ~. Кроме того, для предикатов вводятся операции утверждения всеобщности и утверждения существования.

Операция утверждение всеобщности ставит в соответствие высказывательной форме P(x) высказывание (читается как,P(x) истинно для всех x из множества M, на котором определен предикат). Высказывание истинно тогда и только тогда, когда высказываниеP(a) истинно для любого элемента .

Операция утверждение существования ставит в соответствие высказывательной форме P(x) высказывание (читается как, существует такойx из множества M, для которого высказывание P(x) истинно). Высказывание истинно тогда и только тогда, когда высказываниеP(a) истинно хотя бы для одного элемента .

Знаки  и  называются кванторами всеобщности и существование (квантор в переводе с латинского – определение количества). Переход от высказывательной формы P(x) к высказываниям илиназывается навешиванием квантора или связыванием переменнойx (иногда – квантификацией переменной x). Переменная, на которую навешен квантор, называется связанной, несвязанная переменная называется свободной. Смысл связанных и свободных переменных в предикатных выражениях различен. Свободная переменная – это обычная переменная, которая может принимать различные значения из M, а выражение P(x) – переменное высказывание, зависящее от значения x. Выражения ине зависят от переменнойx и при фиксированных P и M имеют вполне определенное значение. Переменные, являющиеся по существу связанными, встречаются не только в математической логике. Например, в выражениях илипеременнаяx связана, при фиксированной f первое выражение равно определенному числу, а второе является функцией от a и b.

Таким образом, в высказываниях иговорится не о свойствах отдельных элементов множестваM, а о свойствах самого множества M. Истинность или ложность этих высказываний не зависит от того, как обозначена предметная переменная, входящая в них, и ее можно заменить любой другой предметной переменной, например y, и получить высказывания и, имеющие тот же самый смысл и те же самые значения истинности, что и исходные высказывания.

В общем случае для n-арного предиката, если , операции утверждения всеобщности или существования можно выполнятьk раз (порядок выбора переменных, по которым происходит навешивание квантора, может быть любым, исключая их повторение) и получить выражение

, (1)

где обозначает квантор всеобщности или существования. Переменныев высказывательной форме (1) являются связанными, а– свободными.

Высказывательная форма (1) при замене переменных элементами множестваM обращается в истинное или ложное высказывание. При k = n высказывательная форма (1) становится высказыванием. Изменение порядка следования различных кванторов изменяет смысл высказывания, что может изменить его истинностное значение.

Например, для предиката делимости D(x,y):

высказывание читается, как “для любогоx существует y, такое, что x делится на y”, и является истинным высказыванием, так как любое натуральное x делится на себя и на 1, т.е. y = x или y =1;

высказывание читается, как “существуетy, на который делится любой x ”, и также является истинным высказыванием, так как на значение y =1 делится любое натуральное x.