- •Математическая логика
- •Раздел I. Алгебра высказываний
- •1. Высказывания и операции над ними. Формулы
- •2. Следование, эквивалентность и преобразование формул
- •3. Использование законов логики в доказательстве теорем и построении схем
- •Преобразуем эту формулу, используя соответствующие эквивалентности u
- •4. Булевы функции
- •5. Нормальные формы
- •5. Полные системы операций. Алгебра Жегалкина
- •6. Выводимость
- •Раздел II. Алгебра предикатов
- •1. Предикат. Операции над предикатами.
- •2. Модель. Формула алгебры предикатов сигнатуры .
- •3. Формулы алгебры предикатов
- •Основные общезначимости алгебры предикатов
- •Раздел 3. Логические исчисления
- •1. Определение формального исчисления
- •2. Исчисление высказываний ив.
- •3. Отношение эквивалентности в ив
- •4. Исчисление секвенций ис.
- •Исчисления предикатов ип (ипс).
- •Прикладные исчисления предикатов.
- •Автоматическое доказательство теорем
- •Теория алгоритмов
- •Машины Тьюринга
- •2. Рекурсивные функции
- •3. Временная сложность алгоритма. Классы p и np.
- •4. Полиномиальная сводимость. Np-полные языки и задачи.
Основные общезначимости алгебры предикатов
Докажем формулу .
Так как единственная переменная в обеих частях эквиваленции связана, то обе они являются высказываниями. Поэтому для доказательства общезначимости формулы, покажем, что истинностные значения левой и правой части совпадают для любых одноместных предикатов , определённых на произвольном множестве M.
Пусть , тогда по определению операции утверждения существованиядля некоторогоa из M. Следовательно, , гдеM. Воспользовавшись снова определением операции утверждения существования, получим, что или, а, следовательно, истинна и их дизъюнкция.
Пусть теперь , тогдаили. В первом случае получим, что M, , во втором – M, . Однако в обоих случаях существует такой элементM, что , в первом случае, во втором –. А это означает, что.
На множестве формул алгебры предикатов можно ввести отношение эквиваленции.
Определение. Формула алгебры предикатов U называется эквивалентной формуле V (обозначается UV), если их эквиваленция общезначима.
Множество формул алгебры предикатов можно разбить на классы эквивалентности, включив в один класс эквивалентные между собой формулы. Каждой формуле U соответствует класс эквивалентности, который обозначается [U].
Определение. Формула алгебры предикатов называется приведенной, если она содержит операции утверждения всеобщности, существования, конъюнкции, дизъюнкции и операцию отрицания, относящуюся к атомарным формулам.
Теорема 3.1. Каждый класс эквивалентности [U] может быть представлен приведенной формулой, т.е. для любой формулы U существует эквивалентная ей приведенная формула V.
Для формул алгебры предикатов существуют предваренные нормальные формы.
Определение. Предваренной нормальной формой (ПНФ) формулы алгебры предикатов называется формула, имеющая вид
,
где – некоторые кванторы, аU – бескванторная приведенная формула. Выражение называется префиксом, аU – матрицей нормальной формы.
Будем говорить, что бескванторная формула U находится в ДНФ (КНФ), если U получается из формулы алгебры высказываний, находящейся в ДНФ (КНФ), подстановкой вместо пропозициональных переменных некоторых атомарных формул.
ПНФ называется пренексной нормальной формой (ПННФ), если её матрица имеет вид ДНФ, и предклазуальной (пкнф), если – КНФ.
Построим ПН-форму для формулы
.
Преобразуем формулу к приведенному виду
.
Так как для квантора и операции нет соответствующей эквивалентности, то переименуем связанную переменную y второго операнда дизъюнкции и вынесем кванторы по переменным, от которых не зависит другой операнд вперёд
.
В первом операнде конъюнкции последней формулы переменные x и y – связанные, а z – свободная, а во втором – наоборот. Переобозначив снова связанные переменные, получим
.
Полученная предваренная нормальная форма является предклазуальной.
Использование формул алгебры предикатов в информационных технологиях породило необходимость преобразования формул в бескванторные, так как работать с такими формулами значительно легче, чем с формулами, содержащими кванторы. Основой такого преобразования являются аксиомы Сколема:
;
.
Возможность удаления кванторов всеобщности непосредственно следует из определения операции, так как для произвольногоx.
Формула U находится в клазуальной нормальной форме, если она получена из формулы, находящейся в предклазуальной нормальной форме, удалением кванторов существования в соответствии с аксиомами Сколема и последующим удалением всех кванторов всеобщности. Процесс такого преобразования называется сколемизацией.
Так клазуальная нормальная форма для формулы предыдущего примера имеет вид
.