1 Основные понятия о математическом моделировании

Моделирование – это метод изучения объектов и систем, при котором вместо оригинала (исследуемого объекта) эксперимент проводят на модели, а результаты эксперимента количественно распространяют на оригинал. Следовательно, результаты опытов с моделью дают представление о поведении оригинала в рабочих условиях.

К процессу моделирования предъявляются два основных требования.

Во-первых, эксперимент на модели должен быть проще, быстрее и экономичнее, либо безопаснее, чем эксперимент на оригинале.

Во-вторых, должно быть известно правило, по которому проводится расчет параметров оригинала на основе испытания модели.

По априорной информации, выдвинутым гипотезам и предположениям проводится выбор и обоснование вида модели.

В зависимости от характера изучаемых процессов возможны следующие виды моделирования /1/:

- детерминированное - описывает процессы, в которых отсутствуют всякие случайные воздействия;

- стохастическое - отображает вероятностные процессы и события, протекающие в объекте-оригинале;

- статическое - описывает поведение объекта в какой-либо момент времени (такт); используется для описания как дискретных, так и стохастических систем;

- динамическое - отражает поведение объекта во времени;

- дискретное - описывает процессы, которые предполагаются быть дискретными;

- непрерывное - отражает непрерывные процессы в объекте-оригинале.

Для исследования технологического процесса может быть выбран следующий вид моделирования:

- дискретно-непрерывное (D-схема) - используют, когда хотят выделить как дискретные так и непрерывные процессы в поведении объекта-оригинала. Непрерывно–детерминированные модели описывают поведение объекта (процесса) во времени. Для их представления в качестве математической модели используются дифференциальные уравнения;

- дискретно-детерминированные (F-схемы) – описывают поведение объекта (системы, процесса) в определенный момент времени (такт);

- дискретно-стохастические (Р-схемы) – описывают дискретные системы, проявляющие статически закономерное случайное поведение;

- непрерывно-стохастические (Q-схемы) – применяются для формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания объектов (систем).

Математическое моделирование основано на том, что реальный процесс, протекающий в объекте, описывается определенными математическими соотношениями, называемыми математической моделью.

Таким образом, математическая модель представляет собой систему уравнений

, (1)

где x – вектор входных возмущающих и управляющих воздействий; y – вектор выходных координат; a – вектор параметров.

К математической модели предъявляется ряд требований:

– адекватность её исследуемому объекту;

– простота и полнота описания свойств объекта;

– простота определения вектора а.

Наиболее важным является требование адекватности. Пусть в (1) известен вектор а^* и найдено решение y(x,a^*). Математическая модель считается адекватной объекту по y, если для произвольного x⁰ величина расстояния  между рассчитанным значением y(x⁰,a^*) и экспериментально полученным y(x⁰) на объекте при x=x⁰, меньше заданного числа Δ, т.е.

,

Δ – величина, характеризующая допустимую ошибку модели.

Математические модели нестационарных режимов (тепло-, массообменные процессы) можно подразделить на два класса: модели с сосредоточенными параметрами и модели с распределенными параметрами.

Математическая модель с сосредоточенными параметрами включает в себя переменные, которые зависят только от времени и не зависят от координат. Математическая модель с сосредоточенными параметрами имеют вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Основная физическая предпосылка, которая приводит к таким моделям – предположение об идеальности (например, процесс перемешивания фаз).

Математическая модель с распределенными параметрами содержит переменные, зависящие от пространственных координат, и представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных или систему интегро-дифференциальных уравнений. Важной характеристикой дифференциальных уравнений является их порядок. Порядок производных по времени в большинстве динамических моделей – первый. Производные по координатам могут быть и более высоких порядков.

1. Классификация моделей

В зависимости от описываемых режимов работы объектов математические модели бывают динамические и статические.

Динамические модели описывают переходные и неустановившиеся режимы работы объекта. Структура и вид уравнений динамики зависят от свойств объекта.

Поведение объекта с сосредоточенными координатами x, y и неизменными во времени t свойствами описывается стационарной математической моделью динамики

,

которую часто записывают как систему дифференциальных уравнений в нормальной форме

. (2)

Если переменные x, y распределены по пространственной координате l (длина, радиус, высота), то имеет место стационарная математическая модель динамики объекта с распределенными переменными

. (3)

Если в (2) и (3) параметры a и a(l) зависят от времени t, то получаем нестационарные модели с сосредоточенными и распределенными параметрами.

Установившиеся (статические) режимы объекта с сосредоточенными параметрами описываются стационарными математическими моделями статики

,

которые, как правило, разрешаются относительно y:

.

Стационарные модели статики объектов с переменными, распределенными по l, имеют вид

или в нормальной форме .

По структуре функции f математические модели классифицируются на линейные и нелинейные. Решение y(x,a) системы, линейной по y удовлетворяет условиям аддитивности и однородности

где x₁, x₂ – произвольные сигналы, c – вещественное число.

Решение y(x,a) называется линейным по а, если

где а₁, а₂ – произвольные параметры математической модели.

Если для математической модели не выполняется хотя бы одно из условий принципа суперпозиции, то она относится к классу нелинейных.

По методу составления функции f математические модели можно подразделить на формальные и неформальные.

Структура функций f математической модели задается на основе некоторых формальных соображений, не имеющих связи с типом объекта, его конструкцией, механизмами протекающих процессов. Примерами формальных математических моделей могут служить уравнения:

- статики объекта с n входными и одной выходной координатами

,

где n₁ равно числу сочетаний из n₁; i≠j ;

- динамики объекта с одним входом

.

Следует отметить, что формальные математические модели применяют для описания стационарных и нестационарных объектов только с сосредоточенными параметрами.

При построении неформальных математических моделей функции f выводят на основе анализа физико-химических процессов, происходящих в объекте. При этом учитываются гидродинамические режимы перемещения веществ, скорости химических превращений, диффузии, передачи тепла, уравнения материального и энергетического балансов и т.д.

Неоднородные математические модели применяются преимущественно для решения задач оптимального управления и планирования.

1.2 Основные этапы построения математической (концептуальной) модели /1, с. 74/:

1) Постановка задачи компьютерного моделирования объекта/системы: цель и задачи концептуальной (математической) модели, выбор методики решения задачи.

2) Анализ задачи моделирования системы: выбор критериев оценки эффективности процесса функционирования системы, определение зависимых и независимых переменных модели, алгоритмизация математической модели. Рассмотрим на примере системы передачи данных в локальной вычислительной сети (СПД ЛВС), представляющей собой Q-схему.

В качестве критериев оценки эффективности процесса функционирования СПД выбираются вероятностно-временные характеристики: вероятность передачи пакета данных по КС (каналу связи) за время t_д не превышающее заданное Т_д^зад, т.е. Р(t_д≤ Т_д^зад ) вероятность передачи пакета подтверждения за время t_п, не превышающее заданное Т_п^зад, т.е. P(t≤Т_п^зад); математическое ожидание и дисперсия полного времени передачи пакета из одного АРМ (автоматизированного рабочего места) в другое М[t_п] и D[t_п].

В качестве эндогенных переменных выбираются: среднее время передачи пакета от АРМ1 к АРМ2 и средняя длина очереди в накопителе. В качестве экзогенных переменных – интенсивности входящих потоков пакетов АРМ1, АРМ2, времена обработки пакетов ЦП (центральным процессором - сервером) и передачи пакетов по КС. Необходимые уточнения могут быть сделаны после выбора конкретных типовых математических моделей для формализации процессов, происходящих в СПД.

Дискретный характер процессов, происходящих в СПД (поступление пакетов от различных источников, освобождение и занятие каналов и процессора и т.д.), позволяет сделать вывод о целесообразности использования "принципа δz" (особых состояний).

При моделировании, исходя из выбранных критериев оценки эффективности процесса функционирования СПД, организуется сбор статистики для оценки характеристик передачи и ожидания пакетов по различным направлениям, включая функции распределения, первые и вторые моменты распределения.

3) Определение требований к исходной информации об объекте моделирования и организация ее сбора (входных, выходных данных, внешних и управляющих воздействий), анализ имеющихся экспериментальных данных, выбор методов и средств обработки информации.

Данные – это факты и/или понятия, описанные в формализованном виде. Различают пользовательские и управляющие данные. Пользовательские данные – это данные, вводимые в систему передачи данных или получаемые из сети. Управляющие данные – это данные, используемые для управления системой.

4) Выдвижение гипотез и принятие предположений, для чего анализируются следующие факторы: достаточен ли объем имеющейся информации для решения задачи моделирования, задается ограничение на ресурсы времени, ожидаемые результаты. Исходя из исходных (априорных) сведений, делается вывод о возможности построения модели и ее последующей реализации на ЭВМ при условие принятия ряда гипотез и предположений относительно функций распределений и воздействий внешней среды Е. Относительно входных воздействий выдвигаются гипотезы об ожидаемых результатах моделирования для целей построения модели.

5) Определение параметров и переменных модели, т.е. их определение и краткая характеристика, символьное обозначение, единицы измерения, технологический диапазон изменения, место применения в модели.

В примере в качестве параметров выбираются емкости (L) буферных накопителей УК (узел коммутации), которые представляют собой объем памяти, необходимой для промежуточного хранения информации, содержащейся в пакете, измеряемые в количестве пакетов, которые можно поместить в БН; в модели параметр L задается в исходных данных и служит для фиксации при моделировании состояния занятости (заполненности) БН при оценке потерь (переполнений) и времени ожидания.

В качестве эндогенных переменных модели фрагмента СПД выбираются: L - средняя длина очереди в каждом БН, которая представляет собой среднее число пакетов, ожидающих в БН дальнейшей обработки (передачи); L_ср - средняя длина очереди в каждом БН, которая измеряется в количестве пакетов, диапазон изменения L_ср- 0÷20; в модели выходная характеристика (переменная) оценивается на основании обработки статистики, собираемой по каждому БН; Т_п - среднее время передачи сообщений по КС, измеряемое в единицах времени с диапазоном изменения Т_п - 0÷20 единиц времени; в модели входная характеристика (переменная) оценивается на основании обработки статистики, собираемой по передаче пакетов по ДКС (дискретному каналу связи).

В качестве экзогенных переменных модели фрагмента СПД: t - время передачи каждого пакета по КС, представляющее случайную величину с законом распределения, определяемым числом повторных передач из-за наличия ошибок в КС, измеряемым в единицах времени от времени передачи одного пакета до времени, умноженного на число допустимых передач пакета; в модели переменная имитируется исходя из состояния КС; t^CPU - время обработки каждого пакета в ЦП, представляющее собой случайную величину с законом распределения, определяемым занятостью КС, измеряется в единицах времени, и имитируется исходя из наличия пакетов на входе ЦП. Переменная t^CPU задается в исходных данных и получается путем генерации датчиком случайных чисел с требуемым законом распределения.

В качестве воздействий внешней среды Е рассматривается: λ_х - интенсивность входящего потока пакетов на АРМ, представляющего суммарный поток из всех потоков пользователей и из других АРМ, измеряемая в количестве поступивших пакетов за единицу времени.

6) Установка основного содержания модели. На этом этапе выбирается метод построения модели, для чего учитываются: цели и задачи моделирования, структура системы и алгоритм ее поведения, внешние воздействия, возможные методы и средства решения задачи.

Для примера. Процесс функционирования СПД по своей сути является процессом массового обслуживания. Поэтому рационально описать этот процесс Q-схемой (дискретно-детерминированной моделью), не заботясь пока о возможности получения вероятностно-временных характеристик аналитическими методами.

Основное внимание обращается на адекватность перехода от имитационной модели Ми (реализованной на ЭВМ) к конкретной Q-схеме.

Если результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемом объекте, то говорят, что модель адекватна объекту.

При этом адекватность модели зависит от цели моделирования и принятых критериев.

7) Обоснование критериев оценки эффективности моделируемой системы. Математическая задача сводится к получению соотношения для оценки эффективности как функции параметров и переменных системы. Эта функция представляет собой поверхность отклика в исследуемой области изменения параметров и переменных и позволяет оценить реакцию системы. Эффективность системы можно оценить с помощью интегральных или частных критериев, выбор которых зависит от рассматриваемой задачи.

В примере в качестве оценки эффективности процесса выбраны показатели вероятностно-временных характеристик.

8) Определение процедур аппроксимации. Обычно используют три вида процедур: детерминированную, вероятностную, определение средних значений (когда интерес представляют средние значения выходных переменных).

В примере используется вероятностная процедура и процедура определения средних значений. Этого требуют заданные для оценки вероятностно-временные характеристики и необходимость учета фактора стохастичности при моделировании СПД.

9) Описание концептуальной модели системы (объекта), при котором проводится подробный анализ задачи, рассматриваются возможные методы ее решения и дается подробное описание для использования на следующем этапе моделирования.

10) Проверка достоверности концептуальной модели, которая сводится к проверке замысла модели, проверке достоверности исходной информации; повторное рассмотрение постановки задачи моделирования; анализ принятых аппроксимаций; исследование гипотез и предположений. Только после проверки концептуальной модели следует переходить к этапу разработки имитационной модели и реализации ее на ЭВМ.

11) Составление технической документации по данному этапу моделирования.