учеб реология Арет

На вязкость сахарных растворов, проявляющие ньютоновские реологические свойства, влияет концентрация сахара и температура (таблица 5.7.16).

Таблица 5.7.16

Влияние температурыT,0C сахарного раствора на коэффициент динамической вяз-

кости 103 ,Па с при концентрации с = 0,7сахара в кг на 1 кг раствора.

T,0C	20	30	40	50	60	70	80
103 ,Па с	460	214	111	63	39	25	17

Вязкость сахарного раствора меняется в широких пределах. При температуре

T 800Cи концентрации сахара с = 0,6 коэффициент динамической вязкости са-

харного раствора 5,3 10 3 ,Па с ; при концентрации с = 0,8 и температуре

T 400C - 2160 10 3 ,Па с .

При температуре T 200Cи концентрации сухих веществ с = 0,15 кг/кг коэф-

фициент динамической вязкости виноградного сока 1,75 10 3 ,Па с. При температуре T 200Cи концентрации сухих веществ с = 0,2 кг/кг коэффициент динамической вязкости яблочного сока 2,23 10 3 ,Па с. При температуре

T 200Cи концентрации сухих веществ с = 0,2 кг/кг коэффициент динамической вязкости яблочного сока 2,23 10 3 ,Па с

При температуре T 200Cи скорости сдвига 100 с-1 коэффициент динамической вязкости абрикосового сока с мякотью 93 10 3 ,Па с.

Вязкость водно-спиртово-сахарных растворов ликероводочных изделий зависит от температуры, концентрации спирта и сахарозы и колеблется от

(1,5 30) 10 3 ,Па с.

С обширной информацией о пищевых массах хлебопекарной, макаронной,

дрожжевой и кондитерской промышленности, которые, как правило, представляют собой весьма сложные в реологическом отношении среды, целесообразно ознако-

миться в справочниках по редакцией Горбатова А.В. и Мачихина Ю.А.[1,2], кото-

рые данное пособие не предполагает подменять. Здесь лишь продемонстрирован

161

краткий обзор фактического материала и подходы к эмпирическому описанию дан-

ных реометрии некоторых пищевых продуктов. При проведении реодинамических расчетов конкретного оборудования следует детально разобраться в реологическом поведении перерабатываемого материала по специальной литературе, во многих случаях в публикациях периодических изданий.

4_3+4_5

4.5 Течение пищевых сред в трубах прямоугольного сечения

Предполагается, что среда обладает линейной вязкостью, несжимаема, процесс те-

чения изотермический и ламинарный.

Рис.4-5-1

Уравнение движения в проекциях на ось z имеет вид :

v

z

v

v

z

v

v

z

v

v

z

P

x

y

z

t

x

y

z

z

(1)

xz

yz

zz

g

z

x

y

z

162

Реологические уравнения ньютоновской жидкости в прямоугольных координатах имеют вид:

		v	z		v	x
xz								(2)
		x			z

vy

v

z

(3)

yz

z

y

v

z

2 v

x

vy

v

z

v

x

vy

v

z

(4)

zz

z

x

y

x

y

z

3

z

где xz , yz , zz

- компоненты тензора касательных напряжений (девиатора тензора

напряжений);

- коэффициент объемной вязкости (здесь равен 0 ).

Поставим выражения (3)-(5) в уравнение (2) и произведем следующие упрощения.

В силу стационарности потока vz 0;

t

в плоскопараллельной модели канала vx vy 0;геометрия канала по оси я не ме-

няется, откуда vz 0; жидкость несжимаема, откуда 0; const.; канал го-

z

ризонтальный, откуда gz 0. С учетом названных упрощений получим дифферен-

циальное уравнение движения вида

	xz		yz		P
						(5)
			y
x					z

163

vy

v

z

(7)

yz

z

y

2v

z

2v

z

1

P

xz

v

v

(6)

z

x

x

z

x2 y2 z

v

(x,0) 0;v

(x,h)

0;v

(

b

, y) 0

(8)

z

z

z

2

vz (x, y) vz1 (x, y) vz2 (y)

(9)

2v

z1

2v

z1

2v

z2

1

P

(10)

x2

y2

y2

z

d

2v

z2

1 P

(11)

dy2

z

2vz1

2vz1

0

(12)

x2

y2

v

y2

P

C y C

(13)

z

2

2 z

1

2

164

h P

C

;C

0

2

1

z

2

y

P

v

y h

z2

2 z

vz1(x,0) vz1 (x,h) 0;

b

y2

P

v

(

, y)

h y

2

2

z1

z

Пусть vz1(x, y)

X(x) Y(y)

,

Тогда из уравнения (14) получим

Y(y)d2 X(x) X(x)d2Y(y) 0 dx2 dy2

(14)

(16)

(17)

(17)

(17)

Поскольку (17) должно быть удовлетворено при любых x и y, то можно записать следующее тождество:

	d2 X(x)					d2Y(y)
							dy
		dx	2					2
											,	(18)
				X(x)						Y(y)

где к – некоторая константа, к > 0.

Из выражения (18) получим два однородных линейных дифференциальных урав-

нения в обычных производных :

d2 X(x)	X(x) 0	(19)
dx2

165

d2Y(y)	Y(y) 0	(20)
dy2

Для уравнения (19) из краевых условий (16) получим краевые условия:

vz1(x,0) 0,Y(0) 0;vz1 (x,h) 0,Y(h) 0.

(21)

Отбросив тривиальной решение уравнения (19):

d2Y(y)	Y(y) 0 ,	(22)
dy2

ищем решение уравнения (19) в виде экспоненциальной функции

Y(y) e y ;	d2Y(y)	2e y .	(23)
	dy2

Далее находим характеристическое уравнение, имеющее комплексные корни и с помощью уравнений Эйлера перейдем к обычным тригонометрическим функциям :

2e y e y 0;e y 0; 2 0; 1,2

i;i

1; (24)

Y Ce

iy C

e

iy ;C

A

B

;C

A

B

;

(25)

1

2

1

2 2i 1

2 2i

где С1

, С2 , А , В – константы интегрирования.

166

e iy

e iy

e iy

e iy

Y A

B

.

(26)

2

2i

По уравнения Эйлера получим

Y Acos

y Bsin

y

(27)

Теперь с помощью краевых условий (21) находим тривиальное

решение А=0, В=0 и нетривиальное решение А=0; Bsin h 0.

В нетривиальном решении последнее выражение можно удовлетворить следующим образом:

sin h 0;				h n ;n 1,2,3...						(28)
		n				2		n
Тогда						;Y y B sin			y.	(29)
	n			h		n	n	h

Дифференциальное уравнение (20) превращается в систему дифференциальных уравнений вида:

d2 Xn (x)

dx2

или

d2 Xn (x)

dx2

n Xn (x) 0

n 2

Xn (x) 0h

(30)

(31)

Решение уравнения (31) аналогичное решению уравнения (19), однако из-за знака минус решение по формулам Эйлера представляется в гиперболических синусах и косинусах:

167

	Xn	(x) D'nch	n x	E'nsh	n x	(32)
			h		h

С учетом выражений (17), (29) и (32) запишем

				n x		'	n x	'	n y
	vz1n	Xn (x)Yn (y) Bn	sin		Dnch			E nsh			(33)
				h			h		b

Согласно теории линейных дифференциальных уравнений, общее решение будет

суммой частных решений:

n y

n x

n x

vz1(x, y)

sin

Dnch

Ensh

(34)

h

h

h

n 1,2,3

vz (x, y) vz1 (x, y) vz2 (y)

n x

y

P

n y

n x

(35)

sin

Dnch

Ensh

y h

h

h

n 1,2,3

h

2 z

Запишем на основании краевых условий систему уравнений для нахождения кон-

стант интегрирования:

v

(

b

, y) 0

(36)

z

2

n y

n b

n b

y P

0

sin

Dnch

Ensh

y h (37)

h

2h

2h

n 1,2,3

2 z

168

n y

n b

n b

y P

0

sin

Dnch

Ensh

y h (38)

h

2h

2h

n 1,2,3

2 z

Из разности уравнений (37) и (38) получим

n y

n b

0

sin

2Ensh

;

En

0

(39)

2h

n 1,2,3

h

Из суммы уравнений (37 и (38) получим

y

P

n b

n y

h y

Dnch

sin

(40)

2h

h

2

z

n 1,2,3

Используем далее ряд Фурье :

		a0	m	m
	S(y)		n	sinn y n cosn y	(41)
	2		1	1

где коэффициенты ряда определяются интегралами

	n		2			T	f (y)sinn y dy
								(42)
		T			0
				2		T
	n					f (y)cosn y dy		(43)
			T		0

Тогда, применительно к выражению (40), получим

		D ch	n b	(44)
			2h
	n	n

169

	n b		2 h		y		P		n y
Dnch								h y sin		dy	(45)
	2h		h
				0	2 z				h

Проведем интегрирование по частям или, использовав три табличных интеграла ви-

да

ysinaydy		1			ycosay						1				sinay		(46)
		a								a			2
ycosaydy	1		ysinay				1					cosay					(47)
	a							a	2
y2 sinaydy				1		y2 cosay								2		ycosaydy	(48)
														a
				a

После преобразований получим

Dn		2h2		P		1 cosn
										(49)
								n b
		n3 3		z			ch
								2h

Поскольку четные n=2,4,6… дают тривиальное решение Dn 0, следовательно бу-

дем учитывать только нечетные слагаемые n=1,3,5…, при которых числитель в пра-

вой части формулы (49) равен 2. Теперь распределение скоростей течения в канале определяется формулой вида:

170