учеб реология Арет

4h2

P

1

n y ch

n x

vz

(x, y)

h

sin

n3

h

n b

3 z n 1,3,5

ch

(50)

2h

yP

y h 2 z

Двойным интегрирование получим объемный расход среды при течении в ци-

линдрическом канале прямоугольного сечения, предварительно перенося начало ко-

ординат в левый нижний угол сечения канала:

b

h

Q

vz (x, y)dxdy

0

0

4h2

P

1

n y ch

n (2x b)

b h

2h

sin

(51)

3

3

0 0

z n 1,3,5

n

h

ch

n b

2h

yP

y h dxdy

2 z

После преобразований получим формулу расхода

bh3

P

192h

1

n b

Q

1

th

12

5

b

n

5

2h

z

n 1,3,5

4.6 Течение в каналах произвольного сечения

(52)

4_3_2

171

4_5_1

4.5.1 Упрощенная линейная теория червячных нагнетателей

Упрощенная линейная теория использует модель движения пищевой среды меж-

ду параллельными пластинам. Предполагается, что среда обладает линейной вязко-

стью, несжимаема, процесс перекачки изотермический и ламинарный. Канал винто-

вого насоса схематизируется в виде горизонтального цилиндра прямоугольного в сечении с одной подвижной стенкой, при этом используется принцип обращенного относительного движения винта и винтового канала. (Рис.4-8-1). Полагаем также,

что внешний диаметр винта и внутренний диаметр винтового цилиндра совпадают,

172

т.е. отсутствует зазор, в котором может быть обратный поток материала. Поток в этом зазоре можно учесть отдельно. Тогда скорость верхней пластины в прямо-

угольном канале

V			Dn	cos ,	(1)
	z	60

где Vz- проекция скорости точек винта при y=h на ось z; n – угловая скорость винта в оборотах в минуту;

D – внешний диаметр винта;

f- угол подъема винтовой линии.

Уравнение движения в проекциях на ось z имеет вид :

v

z

v

v

z

v

v

z

v

v

z

P

x

y

z

t

x

y

z

z

(2)

xz

yz

zz

g

z

x

y

z

173

Рис.4_8_1

Реологические уравнения ньютоновской жидкости в прямоугольных координа-

тах имеют вид:

		v	z		v	x
xz								(3)
		x			z

vy

v

z

(4)

yz

z

y

v

z

2 v

x

vy

v

z

v

x

vy

v

z

(5)

zz

z

x

y

x

y

z

3

z

где xz , yz , zz

- компоненты тензора касательных напряжений (девиатора тензора

напряжений);

- коэффициент объемной вязкости (здесь равен 0 ).

174

Поставим выражения (3)-(5) в уравнение (2) и произведем следующие упрощения.

В силу стационарности потока vz 0;

t

в плоскопараллельной модели канала vx vy 0;геометрия канала по оси я не ме-

няется, откуда vz 0; жидкость несжимаема, откуда 0; const.; канал го-

z

ризонтальный, откуда gz 0. С учетом названных упрощений получим дифферен-

циальное уравнение движения для построения теории червячных нагнетателей вида

2v	z		2v	z		1		P
										(6)
			y2
x2						z

Пусть для неглубоких и широких каналов скорость течения мало зависит от коорди-

наты x. Тогда уравнение (6) еще больше упрощается и получим краевую задачу ви-

да:

d2v	z		1		P
						;v		(0) 0;v	(h) V		(7)
dy2
					z		z	z		z

Решением это краевой задачи получим выражение для распределения скоростей течения среды в винтовом канале, как функцию координаты y:

	V		z			yh y2		P
vz	(y) y									(8)
						2
		h						z

Интегрированием получим формулу для построения расходно-напорной характери-

стики червячного нагнетателя:

175

h	V bh			bh	3		P
Q b vz (y)dy	z								(9)
	2
0			12				z

Разумеется, при выводе формул(8) и (9) были сделаны существенные упрощения,

но основные закономерности червячных нагнетателей и нагнетателей червячных экструдеров в пищевой промышленности эти зависимости вполне удовлетвори-

тельно описывают, особенно, если вместо коэффициента динамической вязкости модели ньютоновской жидкости использовать коэффициент эффективной вязкости для неньютоновской пищевой среды при определенной эффективной скорости сдви-

га.

Для уточненной теории винтовых нагнетателей с глубокими каналами следует учесть тормозящее действие боковых стенок винтового канала и в краевой задаче вместо дифференциального уравнения ( 7) использовать уравнение (6). Тогда мате-

матически задача решения краевой задачи с дифференциальным уравнением в част-

ных производных (6) сводится к задаче Буссинеска [1], которая описывает не толь-

ко течение жидкости в цилиндрическом канале прямоугольного сечения, но и кру-

чение бруса прямоугольного сечения в теории упругости. Эта частная задача демон-

стрирует глубокую аналогию между математическим аппаратом гидродинамики и теории упругости, обусловленную сходством дифференциальных уравнений и ли-

нейностью законов упругости Гука и вязкости Ньютона.

4_5_2

4.5.2 Уточненная гидродинамическая теория червячных нагнетателей

Для построения уточненной теории червячных нагнетателей поставим следую-

щую краевую задачу, подобную решенной в линейной теории:

2v

z

2v

z

1

P

;v

(0, y) 0;v

(x,0) 0;v

(b, y) 0;

y2

x2

z

z

z

z

(10)

vz (x,h) Vz.

176

Задачу (10) преобразуем следующим образом:

vz (x, y) vz1 (x, y) vz2 (x, y);

2v

z1

2v

z1

2v

z2

2v

z2

1

P

x2

y2

x2

y2

z

2v	z1		2v	z1		1		P
x2			y2
						z

2vz2 2vz2 0x2 y2

vz1(0, y) vz1(x,0) vz1 (b, y) vz1 (x,h) 0 vz2 (0, y) vz2 (x,0) vz2 (b, y) 0;vz2 (x,h) Vz

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Физический смысл расщепления задачи (10) на две задачи :

(13)-(15) и (14)-(16) заключается в том, что первая задача определяет скорости час-

тиц жидкости в канале с неподвижными стенками, вызванная перепадом давления

Р, а вторая – скорости вызванная движением верхней стенки канала при отсутствии перепада давления. Рассмотрим решение второй задачи, поскольку первая уже ре-

шалась, при изучении течения жидкости в цилиндрическом канале прямоугольного сечения.

Пусть vz2 (x, y) X(x) Y(y) ,

(17)

Тогда из уравнения (14) получим

177

Y(y)	d2 X(x)	X(x)	d2Y(y)	0	(17)
	dx2
			dy2

Поскольку (17) должно быть удовлетворено при любых x и y, то можно записать следующее тождество:

d2 X(x)					d2Y(y)
						dy
	dx	2					2
									,	(18)
			X(x)					Y(y)

где к – некоторая константа, к > 0.

Из выражения (18) получим два однородных линейных дифференциальных урав-

нения в обычных производных:

d2 X(x)	X(x) 0	(19)
dx2

d2Y(y)	Y(y) 0	(20)
dy2

Для уравнения (19) из краевых условий (16) получим краевые условия:

vz2 (0, y) 0, X(0) 0;vz2 (b, y) 0, X(b) 0.

(21)

Отбросив тривиальное решение уравнения (19):

d2 X(x)	X(x) 0 ,	(22)
dx2

178

ищем решение уравнения (19) в виде экспоненциальной функции

X(x) e x ;	d2 X(x)	2e x .	(23)
	dx2

Далее находим характеристическое уравнение, имеющее комплексные корни и с помощью уравнений Эйлера перейдем к обычным тригонометрическим функциям :

2e x e x 0;e x 0; 2 0; 1,2

i;i

1; (24)

X Ce

ix C

e

ix ;C

A

B

;C

A

B

;

(25)

1

2

1

2 2i 1

2 2i

где С1 , С2 , А , В – константы интегрирования.

e ix

e ix

e ix

e ix

X A

B

.

(26)

2

2i

По уравнения Эйлера получим

X Acos

x Bsin

x

(27)

Теперь с помощью краевых условий (21) находим тривиальное решение А=0, В=0 и нетривиальное решение А=0; Bsin b 0.

В нетривиальном решении последнее выражение можно удовлетворить следующим образом:

sin b 0;

b n ;n 1,2,3...

(28)

179

		n			2		x Bsin	n
Тогда					;X				x.	(29)
			b
	n					n		b

Дифференциальное уравнение (20) превращается в систему дифференциальных уравнений вида:

	d2Yn (y)		Y (y) 0	(30)
	dy2
		n	n

или

	d2Y (y)	n 2			Y (y) 0
	n					(31)
	dy2		b
					n

Решение уравнения (31) аналогичное решению уравнения (19), однако из-за знака минус решение по формулам Эйлера представляется в гиперболических синусах и косинусах:

	Y (y) D ch		n y	E	sh	n y	(32)
			b			b
	n	n		n

С учетом выражений (17), (29) и (32) запишем

					n x		n y		n y
	vz2n	Xn	(x)Yn	(y) sin		Dnch		Ensh			(33)
					b		b		b

Согласно теории линейных дифференциальных уравнений, общее решение будет

суммой частных решений:

180