1.3 Двоичная арифметика.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения.

Таблица двоичного сложения	Таблица двоичного вычитания	Таблица двоичного умножения
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10	0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1	00=0 01=0 10=0 11=1

При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и переноса из соседнего младшего разряда, если он имеется. При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий.

Пример. Выполнить сложение двоичных чисел: а) X=1101, Y=101;

    

Результат 1101+101=10010.

б) X=1101, Y=101, Z=111;

    

Результат 1101+101+111=11001.

При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда. Эта занимаемая 1 равна двум 1 данного разряда.

Пример. Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X-Y.

    

Результат 10010 - 101=1101.

Умножение двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных с помощью таблиц двоичного умножения и сложения.

Пример. 1001101=?

    

Результат 1001101=101101.

Деление двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных. При этом используются таблицы двоичного умножения и вычитания.

Пример. 1100.011 : 10.01=?

Результат 1100.011 : 10.01=101.1.

Упражнения 1.

1. Перевести следующие числа в десятичную систему счисления:

а) 110111₂; б) 10110111.1011₂; в) 563.44₈; г) 721.35₈; д) 1C4.A₁₆; е) 9A2F.B5₂.

2. Перевести следующие числа из "10" с.с в "2", "8", "16" с.с.:

а) 463; б) 1209; в) 362; г) 3925; д) 11355.

3. Перевести следующие числа из "10" с.с в "2", "8", "16" с.с. (точность вычислений - 5 знаков после точки):

а) 0.0625; б) 0.345; в) 0.225; г) 0.725; д) 217.375; е) 31.2375; ж) 725.03125; з) 8846.04.

4. Перевести следующие числа в двоичную систему счисления:

а) 1725.326₈; б) 341.34₈; в) 7BF.52A₁₆; г) 3D2.C₁₆.

5. Перевести следующие числа из одной системы счисления в другую:

а) 11011001.01011₂"8" с.с.; б) 1011110.1101₂"8" с.с.; в) 1101111101.0101101₂"16" с.с.; г) 110101000.100101₂"16" с.с.

6. Перевести следующие числа из одной системы счисления в другую:

а) 312.7₈"16" с.с.;      б) 51.43₈"16" с.с.; в) 5B.F₁₆"8" с.с.;        г) D4.19₁₆"8" с.с.

7. Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X+Y и X-Y , если:

а) X=1101001; Y=101111; б) X=101110110; Y=10111001; в) X=100011001; Y=101011.

8. Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X*Y и X/Y , если:

а) X=1000010011; Y=1011; б) X=110010101; Y=1001; в) X=100101.011; Y=110.1; г) X=100000.1101; Y=101.01.

Основные понятия алгебры высказываний

Основное понятие булевой алгебры – это высказывание.

Высказывание – является умозаключением, которое может принимать значение либо истинно, либо ложно (третьего не дано). Высказывания обычно обозначают большими буквами латинского алфавита. Значение истинно принято обозначать одним из следующих символов: «1», «И», «TRUE». Ложно: «0», «Л», «FALSE».

Например, А = «Идёт снег»

Из простых высказываний при помощи логических операций можно получить высказывание сложное.

Логические операции

1. Конъюнкция (&, ^, AND, И) двух высказыванийA иB это новое высказывание C, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба входящих высказывания. Конъюнкция – это логическое умножение.

Таблица истинности для данной операции имеет вид:

2. Дизъюнкция (, OR, ИЛИ) – это логическая сума, в результате которой образуется новое высказывание, имеющее значение истина, если истинно хотя бы одно из входящих высказываний.

Таблица истинности дизъюнкции:

3. Импликация (, следование) двух высказыванийA иB (А именуется посылкой, аB заключением) - это новое высказываниеC, которое ложно только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно.

Таблица истинности такой операции следующая:

4. Эквиваленцией (, , равносильность) двух высказыванийA иB является новое высказываниеC, которое истинно только тогда, когда оба входящих высказывания имеют одинаковое значение истинности.

Таблица истинности:

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №1

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	100111
б)		777
в)			251,5
г)				5С

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 100111,11

b = 100

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Определить истинность составного выражения

(2х2=4 или 3х3=10) и (2х2=5 или 3х3=9)

а)ложно б) истинно в)не ложно и не истинно

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №2

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	100011
б)		711
в)			159,25
г)				6D

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 110111,11

b = 101

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Определить истинность составного выражения

(2х2=4 или 3х3=9) или (2х2=5 и 3х3=6)

а)ложно б) истинно в)не ложно и не истинно

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №3

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	1011100
б)		123
в)			92,25
г)				6D4

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 101011,11

b = 110

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Определить истинность составного выражения

(2х2=4 и 3х3=10) или (2х2=4 или 3х3=9)

а)ложно б) истинно в)не ложно и не истинно

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №4

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	1111100
б)		465
в)			48,31
г)				3C8

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 101010,11

b = 111

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Определить истинность составного выражения

(2х2=4 и 3х3=9) или (2х2=4 или 3х3=7)

а)ложно б) истинно в)не ложно и не истинно

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №5

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	1111100
б)		54,5
в)			334
г)				F67

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 110011,11

b = 110

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Определить, верно ли тождество

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №6

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	1000101
б)		745,2
в)			987
г)				A3E

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 110101,11

b = 101

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Определить, верно ли тождество

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №7

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	1011101
б)		567
в)			224
г)				4A,E

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 110100,11

b = 111

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Определить, верно ли тождество

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №8

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	1001,01
б)		332
в)			451
г)				FA7

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 111011,11

b = 100

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Упростить логическое выражение

1) 2) В 3) А 4)

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №9

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	1110,01
б)		173
в)			925
г)				4CF

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 111010,11

b = 101

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Упростить логическое выражение

1) 2) В 3) А 4)

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №10

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	1111,01
б)		332
в)			555
г)				BA7

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 111100,11

b = 110

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Упростить логическое выражение

1) 2) В 3) А 4)

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №11

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	1000,11
б)		232
в)			476
г)				DE5

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 111101,11

b = 110

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Логическое выражение

1) 1 2) 0 3) А 4)

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №12

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	101001
б)		422
в)			956
г)				4F,B

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 111001,11

b = 100

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Логическое выражение

1) 1 2) 0 3) А 4)

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №13

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	100001
б)		773
в)			276
г)				8F,8

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 111110,11

b = 111

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Определить, верно ли тождество

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №14

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	1111011
б)		167
в)			912
г)				AA,F

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 111000,11

b = 100

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Построить таблицу истинности высказывания

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №15

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	10100111
б)		56,5
в)			559
г)				8CA

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 110001,11

b = 101

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Определить истинность составного выражения

(8х8=64 или 3х3=9) или (2х2=5 и 3х3=6)

а)ложно б) истинно в)не ложно и не истинно

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №16

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	10100101
б)		53,24
в)			876
г)				6DA

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 100001,11

b = 101,01

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Определить истинность составного выражения

(8х8=64 и 3х3=9) или (2х2=4 и 3х3=6)

а)ложно б) истинно в)не ложно и не истинно

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №17

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	101001,11
б)		342
в)			398
г)				1D5

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 100001,1

b = 110,1

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Определить истинность составного выражения

(8х7=64 или 3х3=9) или (2х2=4 и 3х3=6)

а)ложно б) истинно в)не ложно и не истинно

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №18

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	101111
б)		775
в)			221,25
г)				55С

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 10111,11

b = 100,1

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Определить истинность составного выражения

(2х2=4 или 3х3=10) и (2х3=6 и 3х3=9)

а)ложно б) истинно в)не ложно и не истинно

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №19

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	100111
б)		761
в)			253,25
г)				A6D

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 110101,11

b = 101

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Определить истинность составного выражения

(2х2=7 или 3х3=9) или (2х2=7 и 3х3=6)

а)ложно б) истинно в)не ложно и не истинно

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №20

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	101100
б)		126
в)			392,25
г)				6DF

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 101010,11

b = 110

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Определить истинность составного выражения

(2х4=8 и 3х3=10) или (2х2=4 или 3х3=9)

а)ложно б) истинно в)не ложно и не истинно

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №21

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	1101100
б)		467
в)			48,36
г)				DC8

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 101011,11

b = 101

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Определить истинность составного выражения

(2х2=4 и 3х3=9) или (2х2=7 или 3х3=8)

а)ложно б) истинно в)не ложно и не истинно

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №22

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	1001100
б)		34,5
в)			394
г)				F37

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 110101,11

b = 110

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Определить, верно ли тождество

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №23

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	1001001
б)		743,2
в)			917
г)				A44

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 110001,11

b = 101

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Определить, верно ли тождество

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №24

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	1010101
б)		547
в)			294
г)				4A,E

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 110101,11

b = 111

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Определить, верно ли тождество

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №25

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	10011,01
б)		333
в)			481
г)				6A7

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 111001,11

b = 100,1

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Упростить логическое выражение

1) 2) В 3) А 4)

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №26

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	11101,01
б)		177
в)			924
г)				4C1

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 111011,11

b = 101

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Упростить логическое выражение

1) 2) В 3) А 4)

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №27

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	11101,01
б)		362
в)			545
г)				B17

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 110000,11

b = 110

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Упростить логическое выражение

1) 2) В 3) А 4)

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №28

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	10100,11
б)		237
в)			479
г)				8E5

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 111101,11

b = 110

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Логическое выражение

1) 1 2) 0 3) А 4)

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №29

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	101101
б)		427
в)			957
г)				4D,B

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 111001,11

b = 100

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Логическое выражение

1) 1 2) 0 3) А 4)

Практическая работа №1 – Системы счисления

Вариант №30

1)

	2-ичная с.с.	8-ричная с.с.	10-тичная с.с.	16-ричная с.с.
а)	100111
б)		753
в)			279
г)				83,8

2)

a+b	a-b	a*b	a/b

a = 110010,11

b = 111

Заполните результатами вычислений приведенные выше таблицы.

3) Определить, верно ли тождество

19