Математика

9

Контрольная работа №1

Задание 1. Даны четыре вектора a, b, c, e . Показать, что век-

торы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора e в этом

базисе.

1.1.

1,1,1 ;

6,9,14 .

a

b 1,1,2 ; c

1,2,3 ; e

1.2.

b 3,3,2 ;

8,1,3 ;

1, 6, 2 .

a 6,4,3 ;

c

e

1.3.

b 2, 3,1 ;

2, 1,0 ;

2, 5,3 .

a 4, 4,2 ;

c

e

1.4.

b 3, 3,1 ;

2, 1,2 ;

6, 8,1 .

a 2, 3,1 ;

c

e

1.5.

b 3,0,1 ;

1,4,2 ;

5,7,8 .

a 4,5,2 ;

c

e

1.6.

b 1,5, 4 ;

a 2, 3,1 ;

c 4,1, 3 ;

e 6, 15,7 .

1.7.

3, 5,2 ;

b 4,5,1 ;

3,0, 4 ;

a

c

e 4, 10, 3 .

1.8.

2,3,5 ;

b 1, 3,4 ;

1,2, 3 ;

1,20,7 .

a

c

e

1.9.

b 4, 2, 1 ;

1,3,2 .

a 2,1,3 ;

c 3,4,5 ;

e

1.10.

1,3,5 ;

b 0,2,0 ;

5,7,9 ;

0,4,16 .

a

c

e

Задание 2. Найти пределы.

x

2

2

2x

2.1. а).

lim

1

;

б). lim

x

1

;

x3 x

x x2 1

x 1

cos 3x 1

x 2 x 3

в).

lim

;

г).

lim

.

x tg2x

x 0

x x 5

2

x

5x 7

x 1

2 x

2.2. а). lim

;

б).

lim

;

x2

1

x 3x2 4x 1

x 1

1

x 1

x

в). lim x ctg3x ;

г).

lim 1

.

x 0

x

x

x3 5x 7

1

3

2.3. а). lim

;

б). lim

;

7x2

8

x

1 x

x

x 1 1

3

sin 6x

x 1

2x 1

в).

lim

;

г).

lim

.

9x

x 0

x x 2

10

2.4. а). lim 2x 3 3 ; x 4 5x3

sin2 x

в). lim

3

;

x2

x 0

2.5. а). lim

2x

3

;

x x

x

в). lim

sin 2x

;

x 0

x

2.6. а). lim

x3 8

;

5

x x4 3x2

в). lim

sin x cos x

;

x 0

7x

2.7. а). lim

4x3 x2

1

;

8x3 3

x

в). lim

sin 4x

;

x 0 sin 5x

2.8. а). lim

10x5 5x2 5

;

5x5 2x3

1

x

в). lim x2ctg3x ;

x 0

б). lim 2 x 2 ;

x 0

x

x 2

2x

г).

lim

.

x

x

;

б).

lim

x 12

4 x

x 4

x2 2x 8

г). lim

ln 1 2x

.

x 0

x

2

б).

lim

x 1

;

x

x 5

5

7

4x

г).

lim

1

.

x

x

1

;

б). lim

1 x

x

x 0

x 3 x 1

г). lim . x x 1

	б). lim	1 x 1		;
		x2
	x 0

г). lim x ln x 3 ln x .

x

2.9. а). lim

2x2 3x 4

lim

8x3 1

;

б).

;

x

x2 3 x

x

1

6x

2 5x 1

1

cos 3x

2

x

в). lim

г). lim 9 4x

;

2 x

.

x2

x 0

x 2

2.10. а). lim x 4 2

;

б).

lim

x4 x

;

x 3x2 7

x 1 x 1

1

cos 3x

2 x 1

в). lim

;

г). lim 1

.

cos 5x

x 0 1

x

x

Задание 3. Задана функция y f x и два значения аргумента x1 и x2 . Требуется: 1) установить, является ли данная

11

функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.

1

3.1. f x 2 x 5

1

3.2.f x 5 x 4

1

3.3.f x 6 x 3

1

3.4.f x 7 x 5

1

3.5. f x 10 x 6

1

3.6. f x 25 x 8

1

3.7. f x 9 x 7

1

3.8. f x 4 x 1

1

3.9. f x 16 x 4

1

3.10. f x 8 x 2

,	x1 3 ,	x2 5
,	x1 2 ,	x2 4
,	x1 4 ,	x2 3
,	x1 7 ,	x2 5
,	x1 8 ,	x2 6
,	x1 10 ,	x2 8
,	x1 9 ,	x2 7
,	x1 3 ,	x2 1
,	x1 6 ,	x2 4
,	x1 4 ,	x2 2

Задание 4. Решить задачу линейного программирования графическим методом.

4.1. f(x) = x1 – x2 max

3x1 + 2 x2 14 x1 – 4 x2 0

3x1 – x2 0

– x1 + x2 2 x1 0, x2 0

4.3. f(x) = – x1 – 2 x2 min x1 + x2 1

2 x1 – x2 – 1 x1 – 2 x2 0 x1 0, x2 0

4.5. f(x) = 4x1 – 2x2 max

3x1 + 2 x2 14 x1 – 4 x2 0

3x1 – 4x2 0

– x1 + x2 2 x1 0, x2 0

4.7.f(x) = –8x1 +2 x2 min

4x1 + 3x2 1 x1 – 7 x2 0 x1 0, x2 0

4.9. f(x) = x1 – x2 max

x1 + x2 14

12

4.2. f(x) = – x1 – 2 x2 min x1 + 2 x2 7

2 x1 + x2 8 x2 3

x1 0, x2 0

4.4. f(x) = 6 x1 – 2 x2 max 2 x1 – x2 2

x1 0, x2 0

4.6. f(x) = – 7x1 – 2 x2 min 3x1 + 2 x2 7

2 x1 + 5x2 8 x2 4

x1 0, x2 0

4.8. f(x) = 3x1 – 2 x2 max x1 – 6x2 2

x1 0, x2 0

4.10. f(x) = x1 – 2 x2 max

x1 + x2 7

x1 – 4 x2 0

2 x1 + x2 8

	13
x1 – x2 0	x2 6
– x1 + x2 2	x1 0, x2 0
x1 0, x2 0

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №2

Задание 1.

При непосредственном вычислении вероятности Р(А) события А, как отношения числа результатов испытания, благоприятствующих событию А, к числу всех возможных результатов ис-

пытания, пользуются формулой P( A) k , где n – записывается n

по сформулированному испытанию (действию) I, а k – по сформулированному событию A.

Задача 1. Для проверки магазинов нужны три ревизора, каждый из которых должен проверить два магазина. Чему равна вероятность того, что при случайном распределении объектов первому ревизору попадут данные два магазина?

Решение. Из условия задачи формулируем испытание I – ревизор должен проверить два магазина из шести.

Событие A – первому ревизору попадут данные два магазина n – число способов выбора двух магазинов из шести, что оп-

ределяется числом сочетаний из шести по два, т.е.

C62 6 5 15. 1 2

k – число способов выбора двух магазинов из двух данных, что может быть осуществлено единственным способом, т.е. k = 1.

Тогда, искомая вероятность будет равна P( A) 1 0,0667 . 15

Если испытание формулируется как простое однократное действие, а событие формулируется как сложное (в эквивалентной формулировке события присутствуют союзы žи¤ и žили¤), то задачу удобнее решать с применением теорем теории вероятностей, предварительно выделив элементарные события. При этом, если рассматривается сумма простых событий, следует указать

14

совместные или несовместные эти события, если же рассматривается произведение событий, то объяснить зависимые или независимые они.

Задача 2. Стрелок выстрелил 3 раза по удаляющейся от него мишени, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела она уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность попасть в мишень один раз и два раза промахнуться.

Решение. Из условия задачи формулируем испытание: I – стрелок стреляет три раза по мишени.

Событие A – стрелок попадет в мишень один раз и два раза промахнется.

Следует сказать, что когда в условии задачи идет речь про несколько объектов, в формулировке события следует сказать про каждый объект. С этой целью часто бывает удобно интерпретировать событие посредством графической схемы. Так, в этой

задаче:			.

Здесь ž+¤ означает попадание в мишень, а ž–¤ – промах. Между элементами в строке предусматривается наличие союза žи¤ (для событий осуществляется операция умножения), а между строками – наличие союза žили¤ (для событий выполняется операция сложения).

Таким образом, дадим эквивалентную формулировку события A – стрелок первым выстрелом попадет в мишень (событие A1) и вторым – промажет ( A2 ) и третьим – промажет ( A3 ) или

первым – промажет ( A1 ) и вторым – попадет ( A2 ) и третьим –

промажет ( A3 ) или промажет первым ( A1 ) и вторым ( A2 ) и попа-

дет третьим выстрелом ( A3 ), т.е. A A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 . Каждый вариант трех выстрелов не может совмещаться с

другим вариантом, так как производится всего только три выстрела, поэтому слагаемые являются несовместными событиями и применима теорема сложения несовместных событий, так что:

P( A) P( A1 A2 A3 ) P( A1A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) .

15

В свою очередь, в каждом произведении события являются независимыми, так как выстрелы производятся независимо друг от друга. Следовательно, применима теорема умножения вероятностей независимых событий. Тогда,

P( A) P( A1)P( A2 )P( A3 ) P( A1)P( A2 )P( A3 ) P( A1)P( A2 )P( A3 ) . По условию задачи P(A1) = 0,7, P( A1 ) = 1 – P(A1) = 0,3 (как

противоположного события), P( A2 ) = 0,6, P( A2 ) = 0,4, P( A3 ) = 0,5,

P( A3 ) = 0,5. Подставляя эти вероятности в основную формулу, окончательно получим:

P( A) 0,7 0,4 0,5 0,3 0,6 0,5 0,3 0,4 0,5 0,29 .

В тех случаях, когда однократное действие является составным, т.е. предусматривается выполнение предварительного действия, а за ним – основного, то задача должна решаться с применением формулы полной вероятности. При этом, главным событием является результат основного действия, а возможные результаты предварительного действия составляют гипотезы, сопутствующие появлению главного события.

Контрольная работа №2

Задание 1. Решить задачи 1-3.

Вариант 1

1.Студентам, едущим на практику, предоставили 7 мест в Ленинград, 8 – в Омск и 10 – в Воронеж. Какова вероятность того, что три определенных студента попадут на практику в Воронеж?

2.Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появятся хотя бы один раз?

3.При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна 0,9. Вероятность принять здорового человека за больного равна 0,01. Пусть доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна 0,001. Найти условную вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.

16

Вариант 2

1.Из букв разрезной азбуки составлено слово “воздух”. Перемешаем карточки, затем, вынимая их наудачу, кладем по порядку. Какова вероятность того, что получится слово “ход”?

2.При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что для ввода двигателя в работу придется включить зажигание не более двух раз.

3.Партия состоит из вентиляторов рижского и московского заводов. В партии 70% вентиляторов рижского завода. Для вентилятора московского завода надежность в течение времени t равна 0,95, рижского – 0,92. Найти вероятность безотказной работы вентилятора в течение времени t.

Вариант 3

1.На сборку поступил ящик с 30 деталями, из которых 3 нестандартных, а детали высшего и первого сортов находятся в отношении 2:7. Рабочий взял 4 детали из ящика. Найти вероятность того, что взяты две детали первого сорта и по одной детали высшего сорта и нестандартной.

2.Подбрасываются две монеты. Какова вероятность того, что на обеих выпадет герб?

3.При разрыве снаряда образуются крупные, средние и мелкие осколки в отношении 1:3:6. При попадании в танк крупный осколок пробивает броню с вероятностью 0,9, средний - 0,3, мелкий - 0,1. Какова вероятность того, что попавший в броню осколок и пробивший ее был крупный?

Вариант 4

1.В партии из пяти деталей имеются две дефектных. Наудачу отобраны три детали. Найти вероятность того, что будут отобраны две стандартных и одна дефектная детали.

2.В лотерее 1000 билетов, из них на 1 билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов – по 100 руб., на 50 билетов – по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает 1 билет. Найти вероятность выигрыша не менее 20 рублей.

17

3. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 0,3% брака, второй – 0,2%, третий – 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступает 1000 деталей, со второго – 2000, а с третьего

– 2500.

Вариант 5

1.Группа состоит из 4 студентов горного, 8 – механического, 6 – химического и 7 - электротехнического факультетов. Какова вероятность того, что 3 первых студента, явившихся на экзамен, окажутся студентами химического факультета?

2.Имеется четыре различных ключа, из которых только один подходит к замку. Определить вероятность трех опробований при открывании замка, если испробованный ключ, в последующих попытках открыть замок не участвует.

3.Наборщик пользуется двумя кассами. в первой кассе – 90%, а во второй – 80% отличного шрифта. Извлеченная литера из наудачу взятой кассы оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что она взята из первой кассы.

Вариант 6

1.На экзамене студенту предлагаются 25 билетов. В каждом билете 3 вопроса. Из 75 вопросов, вошедших в билеты, студент знает 60. Какова вероятность того, что взятый студентом билет будет содержать только один не известный ему вопрос?

2.В двух ящиках находятся детали: в 1ом – 10 (из них 3 стандартных), во 2ом – 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

3.В двух ящиках содержится по 20 деталей, причем из них в 1ом – 17, а во 2ом – 15 стандартных деталей. Из 2го ящика наудачу извлечена одна деталь и переложена в 1ый ящик. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из 1го ящика будет стандартной.

18

Вариант 7

1.Какова вероятность того, что квадрат выбранного наудачу целого числа будет оканчиваться цифрой 6?

2.Стрелок выстрелил 3 раза по удаляющейся от него мишени, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела она уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность попасть в мишень два раза и один раз промахнуться.

3.Имеется 5 урн: две из них содержат по 2 белых и 3 черных шара, две – по 1 белому и 4 черных и одна урна – 4 белых и 1 черный шар. Из одной наудачу выбранной урны взяли шар. Он оказался белым. Чему равна вероятность того, что шар вынули из урны с 4 белыми и 1 черным шарами?

Вариант 8

1.В коробке находятся 2 черных, 3 красных и 5 белых шаров. Три человека вынимают по шару. Найти вероятность того, что вынутые шары будут разных цветов.

2.При одном цикле обзора радиолокационной станции, следящей за космическим объектом, объект обнаруживается с вероятностью 0,7. Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других. Найти вероятность того, что при 4 циклах объект будет обнаружен.

3.При передаче сообщения сигналами “точка” и “тире” эти сигналы встречаются в отношении 5:3. Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений “точка”

и1/3 сообщений “тире”. Найти вероятность того, что произвольный из принятых сигналов не искажен.

Вариант 9

1.На столе лежат 36 экзаменационных карточек с номерами 1,2,...,36. Преподаватель берет 2 любые карточки. Какова вероятность того, что они из первых 6?

2.Стрелок выстрелил три раза по удаляющейся от него мишени, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы