Математика

31.а).

в).

32.а).

в).

33.а).

в).

34.а).

в).

35.а).

в).

36.а).

в).

37.а).

в).

2

lim

x

1

;

x x2 1

lim

cos 3x 1

;

x tg2x

x 0

lim

x2 5x 7

;

3x2

4x

x

1

lim x ctg3x;

x 0

lim

x3 5x 7

;

7x2 8

x

lim

sin 6x

;

9x

x 0

lim

2x 3 3

;

4 5x3

x

sin

2 x

lim

3

;

x2

x 0

lim

2x

3

;

x x

x

lim

sin 2x

;

x 0

x

lim

x3 8

;

x x4 3x2

5

lim

sin x cos x

;

x 0

7x

lim

4x3 x2 1

;

8x3 3

x

lim

sin 4x

;

x 0 sin 5x

18

б).	lim	x2	2x 1		;
			x3 x
	x 1

	x 2 x 3
г).	lim		.
	x x 5

б). lim x 1
						2 x			;
x 1		x2 1
					x 1
			1
						x
г). lim 1								.
x			x

	1		3
б). lim				;
	1 x
x 1			1 x3

x 1 2x 1

г). lim

.

x x

2

б).

lim

2 x

2

;

x

x 0

x 2 2x

г). lim

.

x

x

б).

lim

x 12

4 x

;

x2 2x 8

x 4

г). lim

ln 1 2x

.

x 0

x

2

б).

lim

x 1

;

x 5

x 5

1

7 4x

г). lim

.

x

x

б).

lim

1 x

1

;

x

x 0

г). lim x 3 x 1 .

x x 1

38.а).

в).

39.а).

в).

40.а).

в).

41.а).

в).

42.а).

в).

43.а).

в).

44.а).

в).

45.а).

lim 10x5 5x2 5 ; x 5x5 2x3 1

lim x2ctg3x ;

x 0

lim

2x2 3x 4

;

x2 3

x

x

lim

1 cos 3x

;

x 0

x2

lim

x 4 2

;

x

3x2 7

lim

1 cos 3x

;

x 0

1 cos 5x

lim

7x2 9x 3

;

x3 1

x

sin

3 x

lim

4

;

x 0

x3

lim

8x4 3x

2 4x 3

;

2x4 1

x

lim x ctgx ;

x 0

lim

x 5 3

;

x

x2 3

lim

cos x cos3 x

;

3x2

x 0

lim

x3 2x2 3x

;

9x3 6x

x

5

lim

1 cos 7x

;

x 0

x sin

7

x

2

lim

x3 x

;

1

x x4 3x2

19

1

б).

lim

1 x

;

x2

x 0

г). lim x ln x 3 ln x .

x

б).

lim

8x

3 1

;

6x2 5x

x

1

1

2

г). lim 9 4x

x

.

2 x

x 2

б).

lim

x4 x

;

x 1

x 1

1

2 x 1

г). lim

.

x

x

б).

lim

x2 x 12

;

x

2

4 x

x 3

x

г). lim 1 x 2 x 2 .

x 2

б).

lim

3

1 x

3

1 x

;

x

x 0

2x

г). lim 2 x 1 x .

x 1

б).

lim

x2 1

;

3x

x 1 x2

2

г). lim 1 ln a x ln a .

x 0 x

б).

lim

x 5

x

;

x

x x

г). lim

.

x x 1

б).

lim

8 x

8

;

x

x 0

в).

46.а).

в).

47.а).

в).

48.а).

в).

49.а).

в).

50.а).

в).

51.а).

в).

52.а).

1 cos2

5

x

lim

2

;

x2

x 0

lim

x 2x 3

2

;

8x3 7

x

3 1 cos2 x

lim

;

7x2

x 0

lim

x4 5x

;

x x2 3x

1

lim

1 cos 2x

;

3x sin x

x 0

lim

x3 x 2

;

x x3 x2 x 1

3x

sin2

lim

5

;

x2

x 0

lim

3x 2 3

;

9x3 5x2

x

8

lim

1 cos x

;

11x2

x 0

lim

5x4 2x2 7

;

x x 1

x

3

lim

cos x 1

;

x 0

x tgx

lim

2x 3 2

;

x x2 8x

5

lim

5 5 cos x

;

x 0

3x2

lim

14x2 3x

;

x

7x2 2x 8

20

	x 1 x
г).	lim				.
	x x 2
б).	lim	3 x 3 27				;
					x
	x 0
	x 3 2x
г).	lim				.
	x		x

б).	lim	x2		2x	;
			4x 4
	x 2 x2

x 1 x 2

г). lim

.

x x

3

lim

2

б).

x 3

;

x2 49

x 7

2x 3 x

1

2

г). lim

.

x

2x 1

б).

lim

x 10

4 x

;

2x2 x 21

x 3

г). lim x ln x 2 ln x .

x

2

б).

lim

x 4

;

x

x 0

x 7 2x

г). lim

.

x

x

б).

lim

x 8

;

x 8 3 x 2

г). lim

ln 1 x

.

x 0

x

б).

lim

4 x x

2 2

;

x 1

x 1

в).

53.а).

в).

54.а).

в).

55.а).

в).

56.а).

в).

57.а).

в).

58.а).

в).

59.а).

в).

lim

cos 2x cos2 x

;

5x2

x 0

lim

x3

2x

2 3x 1

;

3x2

2x 1

x 4x3

lim

cos x cos5 x

;

x2

x 0

lim

3x4 2

;

2x4

x

x

lim

cos x cos3 x

;

x

sin 2x

x 0

lim

3x2

4x 2

;

2x 4

x 6x2

lim

sin2 5x

;

4x2

x 0

lim

2x 5

2

;

x x

1

x

lim

x

;

x 0 sin x

lim

3x5

x 2

;

x4 8

x

lim

sin x tgx

;

x 0

3x2

x2 3x 2 lim ; x x 2 x 1

lim 1 cos x ; x 0 x sin x

lim		x3	2		;
				2
x		x2
			1

lim 1 cos2 x ;

x 0 3x2

21

3

x 1

г). lim

1

.

x

x 2

x

3

б).

lim

3

x 1

x

;

1 x

г).

lim

1

.

x

x

б).

lim

x2 5x 14

;

x2 4

x 2

x 5 3x

г). lim

.

x

x

б).

lim

3x2 4x 1

;

x 3

x 1

5 3x

1

x 5

г).

lim

1

.

2x

x

3

3

б).

lim

a x

3 a

;

x

x 0

г). lim 3 2x

x

.

1 x

x 1

б).

lim

x2 2x 1

;

x3 1 2

x 1

г). lim 1 x

x 3

x .

x 0

б).

lim

2x2 9x 4

;

5 x

x 3

x 4

г). lim

ln 4 x ln 4

.

x 0

x

б).

lim

2 x

x 6

;

x2 x 6

x 2

г). lim

1

ln 1 2 x 1 .

x 1 x

1

22

60. а). lim			x 5				;
x		x	2	3x	1

в). lim 1 cos 4x ; x 0 1 cos 8x

№ 61 – 90. Найти dy и d2y dx dx2

	61.	y x ex 2 ,											x 0 .
	62.	y ln 3 1 x2 ,													x 1.
	63.	y x6 4x3											4,					x 1.
	64.	y 1 x2 x4 ,														x 2 .
	65.	y		x	2					3 3 ,					x 1.
	66.	y x3				ln x,								x 1.
	67.	y		1						,			x 1.
			1 x
	68.	y arctgx,												x 2.
	69.	y ex x2 ,											x 1.
	70.	y ln ln x ,													x e .
	71.	y 1 x2 cos x,																x 0 .
	72.	y	1 x							,			x 1.
						x
	73.	y	x2 1									,	x			1		.
			x2 1													2

б).	lim	x2	5x 6	;
			x2 9
	x 3

	x 1			2x 3
г).	lim			.
	x	x

при заданном значении x.

76. y arcsin x,

x

1

.

4

77. y sin ax cosbx,

x 0.

78.

y ln ctgx,

x .

4

.

79.

y x2 sin 2x,

x

4

80.

y x ex 2 ,

x 1.

x

a

.

81.

y

a2 x2 ,

2

82.

y

1

,

x a.

a x

83. y ln x

,

1 x2

x 1.

84. y

1

,

x 0 .

x2

3x 2

85. y x3 sin x,

x .

2

86. y 5x7 4x2

7x,

x 1.

87.

y

2x2 4x,

x 1.

88. y x 3x 1 ,

x 1.

					23
74.	y x3 2x 6,			x 3.	89. y ln tg	x		, x .
					3
75.	y 3	1 x 2	,	x 1.	90. y 6x5 2x3			3x 4,	x 0

№91 – 120. Провести полное исследование данной функции

иначертить её график.

91.y x4 3 . x

92.y x2 x12 .

93.	y			x3					.
				3 x2
94.	y				x		.
				x2		1
95.	y		4x 12									.
					2		2
				x
	y x
96.						x 3					.
97.	y				8					.
		x2 4
98.	y			x2				.
				x2		1

99.y x2 1 3 .

100.y x3 x2 .

3

	y	x2
101.			.
		x2 2

102.y x 1 2 .

x2 1

106. y x 1 2 x 2 .

107. y	1					.
	x2 4
108. y		4x
					.
	9 x2
109. y		x3		.
		x	1

110.y x2 x 6 .

x2

	16
111.	y		.
		x2 x 4

				3 .
112. y		x2	1
113. y		x4		.
	1 x 3

114.y 3x5 5x3 .

115.y x3 x 5 .

116.y x x1 .

117.y x4 x3 .

4

								24
103.	y	x	2 2x 3				.	118.	y			2x	2 1			.
				x								x4
104.	y x3			x4	.			119.	y			x4	2x2 .
			4							4
	y x3		3x2 .						y	3 x2
105.								120.						.
											x 2

№ 121 – 150. Вычислить неопределённые интегралы.

121.

a)

dx

,

3

3x

1

122. a)

dx

,

x ln2 x

123.

xdx

a)

,

x4 1

124.

dx

a)

,

4x2 7

125.

a)

x cos x2 dx,

126. a)

sinx cosxdx,

127. a)

x2

x3 5 dx,

128. a)

2ln x 3 3

dx,

x

129. a)

xdx

,

4x2 7

130.

a)

e2xdx

,

e4x 5

131.

a)

e

2x 1dx

,

2x 1

3

132.

x x2

1

dx,

a)

2

b) arccosx dx.

b)x 1 dx.

x5

b)

ln

x

dx.

3 x

b)

1

dx

x 3 1

b)

1 x

dx.

1

x

b)

1

dx.

x

12 x

3

b)

x 1

dx .

1

x 1 3

b)

arcsinx dx.

b)

x arctgx dx .

1

b)

x

dx .

x 3 x

b)

1

x 2

dx .

x

2

2 x 2

sin2

b)

x

dx .

x

25

133. a) cos sin x cos xdx,

134.

sinxdx

a)

,

4 cosx

135.

a)

3 ln 2x dx

,

x

136.

a) x ex2 3dx,

137.

a)

2dx

,

4x xlnx

138.

a)

dx

,

1 cos6x

139.

sin 2x dx

a)

,

1 cos 2x

140.

a)

x2dx

,

x3 5

141.

a)

4dx

,

2 6x2

142.

a)

cosx dx

,

3 sin2 x

143.

a)

x e x 2 dx,

dx

144.

a)

sin

x

,

x

145.

a)

x2dx

,

x6 1

146.

a)

cosx dx

,

3 3 5sinx

147.

a)

dx

,

x ln3 x

148. a)

dx

,

arccos x 5

1 x2

149.

a)

dx

,

arctg3x 1 x2

b)

1

x 4

dx .

x 5

b)

x 2 lnx dx .

b)

x2 arcsinx dx .

b)

arctg

x dx .

b)

x2 e3x

dx.

b)

x

dx .

sin2 x

b)

x sinx

dx .

cos2 x

b)

4 x

dx .

x 1 7

b)x 2 dx .

x11

b)			1		dx .
			ex
3

b)ln2 x dx .

x2

b)			e3x		dx .
			1 ex
b)	x2 e 2x dx .
b)						1 x	2		dx .
	ln x

b)x2 cosx dx .

b)x ln2 x dx .

		x2
b)				dx .
		x 1

26

dx

x

2

sin 2x

dx .

150. a)

arcsin

3

x

b)

,

1 x2

№ 151 – 180. Задачи на геометрические приложения определённого интеграла

151.Найти площади частей, на которые круг x2 y2 8 делится параболой y 12 x2 .

152.Найти площадь фигуры, ограниченной линией y x x 1 2 и

осью абсцисс Ox .
153. Найти длину дуги параболы y x2 от точки	x 0 до точки
x 1.

154.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y 12 x2 и 2x 2y 3 0 .

155.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox

фигуры, ограниченной линиями y 0		и y sin2 x, 0 x .
156. Найти	площадь фигуры,	ограниченной параболами
x2 8y 8 и x2	24y 40 .

157. Найти площадь фигуры, ограниченной линией y lnx и пря-

	мыми x e, x e2 ,	y 0 .
	158. Найти длину дуги кривой		y	1	3 x		между точками её
						x
				3
	пересечения с осью	Ox .

159. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси

Ox фигуры, ограниченной линиями y		4x, y 0,		x 1.
160. Найти длину дуги кривой y lnx
	от точки x 3 до точки

x 8 .

161. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной

3

линией y x x 2 и осью абсцисс Ox .

162. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y x ex , x 1, y 0 .

27

163.Найти площади фигур, на которые парабола y2 6x делит круг x2 y2 16 .

164.Вычислить площадь фигуры, заключённой между линией

y		1	и параболой	y 0,5x2 .
		x2
1

165.	Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Oy
фигуры, ограниченной линиями y 0,5 x 2 2 и y 2 .
166. Найти длину дуги кривой x		1	t6 ,	y 4		1	t4 между точками
	6				4
её пересечения с осями координат.
167.	Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox
фигуры, ограниченной линиями y e2x				1,	y e x 1,			x 0 .
168. Найти длину дуги кривой y ln 1 x2					от точки x 0 до точ-

ки x 0,5 .

169.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y lnx

и y ln2 x .

170.Найти площадь фигуры, ограниченной линией y arcsinx и

прямыми x 0,				y .
					2
171.	Найти длину дуги кривой x et cost,								y et sin t от t 0 до
точки t 1.
172.	Найти объём тела, образованного вращением параболиче-
ского сегмента с основанием 2a и высотой									h вокруг высоты.
173.	Вычислить				площадь		фигуры,	ограниченной		линиями
y2 x 1 и y2 9 x .
174.	Вычислить				площадь		фигуры,	ограниченной		линиями
y sinx,		y cosx,			y 0,	x 0,	x .
							2
175.			Найти			длину			дуги	астроиды
x a cos3 t,			y a sin3 t,			0 t .
							2

176. Найти длину дуги полукубической параболы y2 x3 от начала координат до точки M 4,8 .