Задание №3
Требуется построить линейный блочный (n,k)-код. Определить теоретический предел для этого кода – найти максимальную кратность исправляемых ошибок qи.
Определить вероятность ошибочного декодирования кодовой комбинации Pош, если ошибки в отдельных символах в канале передачи происходят с вероятностью p, а ошибки в разных символах независимы. В ответе для величины Pош оставить 6 знаков после десятичной точки.
Исходные данные:
n |
k |
p |
43 |
15 |
0.179 |
Код Хэмминга имеет кодовое расстояние, равное трем, и полностью характеризуется числом проверочных символов r. В нашем случае имеем:
(3.1)
Определим число q-кратных ошибок выражением:
(3.2)
А общее количество ошибок определится как :
(3.3)
Чтобы любая из ошибок могла быть исправлена, различным ошибкам должны соответствовать различные значения синдрома c. Вектор c состоит из r двоичных символов, максимальное количество различных ненулевых комбинаций равно . Отсюда получаем неравенство Хэмминга:
(3.4)
(3.5)
Найдем значение - максимальную кратность исправляемых ошибок:
При :
А при :
, что не соответствует условию , поэтому .
Так как возникновение ошибки в том или ином разряде по условию задачи– события независимые, каждое из них совершаются с вероятностью p, то по биномиальной формуле определим вероятность того, что ошибка имеет кратность q как:
(3.6)
Вероятность ошибочного приема определяется теми ошибками, которые мы не сможем исправить, т.е. ошибки с кратностями qmax q n:
(3.7)
Подсчитаем , подставив данные в вышеприведенную формулу:
Таблица ответов для проверки:
qи |
Pош |
S |
8 |
0.360 |
8.360 |
Глава 4. Расчётное задание №4. Задача №1.
1) Вероятность битовой ошибки при передаче цифрового сигнала
Источник информации создает цифровой поток B мегабит в секунду. На вход радиолинии с выхода передатчика подается последовательность двоичных радиоимпульсов, модулированных по закону М (М=1 для АМ, М=2 для ЧМ с ортогональными сигналами, М=3 для ФМ). Задана требуемая вероятность битовой ошибки Рош на выходе оптимального когерентного демодулятора Рош и величина ослабления в линии F. На входе приемника присутствует аддитивный белый гауссовский шум со спектральной плотностью No.
Определить требуемую среднюю мощность W передаваемых сигналов обоих видов (0 и 1) без использования корректирующего кода (W1) и при использовании (n,k)-кода Хэмминга в режиме исправления ошибки (W2). Определить в каждом из режимов вероятность битовой ошибки на выходе линии связи (декодера) (PБ1, PБ2 )
Примечания:
1) 1пВт=10-12 Вт.
2) При вычислении отношения сигнал/шум необходимо учитывать, что длительность передаваемых импульсов должна уменьшаться при увеличении избыточности, чтобы обеспечить заданную скорость передачи В информационных символов.
3) Вероятность битовой ошибки при демодуляции двоичного сигнала в когерентной системе определяется по формуле
,
где – интеграл вероятности,– отношение энергии разностного сигнала (импульса) к спектральной плотности мощности белого шума, зависящее не только от средней мощности сигнала (Pc) на выходе линии, но и от вида модуляции, q2=Е/ No
при .
Обратите внимание, что энергия сигнала зависит не только от его мощности, но и от длительности, E=WT.
Исходные данные:
N |
M |
F,дБ |
n |
k |
B,Мбит/с |
Рош*10^2 |
N0,пВт/Гц |
22 |
1 |
54 |
63 |
57 |
0,3 |
0,3 |
0,3 |
Ф(q/2)=0.997; (1)
где отношение энергии разностного сигнала к спектральной плотности шума,
интеграл вероятности (значение интеграла можно определить из приложения№3
учебника Акулиничева).
; (2)
; (3)
При амплитудной модуляции величины связаны следующим соотношением:
, ; (4)
. (5)
где отношение средней энергии импульса на входе демодулятора к спектральной
плотности шума.
. (6)
Известно, что , гдесредняя энергия одного импульса (так как появления 0 и 1 равновероятно).
, (7)
Мощность сигнала на входе приёмника можно рассчитать по формуле:
, (8)
где время длительности сигнала;
бодовая скорость.
, (9)
Необходимо также учесть, что в линии происходит затухание сигнала, поэтому мощность, дошедшая до приёмника, в раз меньше, чем на передатчике.
В таком случае мощность на передатчике:
(10)
2) Необходимо найти среднюю мощность W передаваемых сигналов обоих видов (0 и 1) при использовании кода Хэмминга ().
В этом случае в результате избыточности кода необходимо за один и тот же промежуток времени передать больше сигналов, следовательно, при использовании корректирующего кода бодовая скорость увеличивается в раз.
(11)
где заданная бодовая скорость;
число информационных символов;
длина кодовой последовательности.
. (12)
. (13)
Учтём затухание в линии передачи:
(14)
Таблица результатов:
W1 ^ |
W2^ |
S | ||
16.605 |
(Если учитывать степень и суммиовать в одной и той же степени то сумма ответов S=13.87062)