1224-osn_electrodinam_zadachi

20

x0

y0

z0

С

A

B

Ax

Ay

Az

Bx

By

Bz

Az Bx Ax Bz

x0

x0 24 10 y0

5 18 z0 6 4 Ay Bz Az By

y0

z0

Ax By Ay Bx x0 24 10 y0 5

18 z0 6 4

34x0

13y0

10z0

и покажем,

что вектор C ортогонален векторам A и

B , то есть что

A C 0

и что B C 0. Действительно:

A C Ax Cx Ay Cy Az Cz 34

3 13 4 10 5 0

и

B y Cy Bz Cz 34 1 13 2 10 6 0 ,

B

C Bx Cx

а при этом вектор C ортогонален векторам A и

B .

1.7.8. Две материальные точки 1 и 2 движутся вдоль осей x и y соответ-

ственно со скоростями v1 2x0

см/с и v2

3y0 см/с. При t = 0 их координаты

равны x1 = 3см;

y1 = 0 см;

x2

= 0 см;

y2 = 3 см.

а)

Найдите вектор

r r2

r1

, выражающий положение материальной

точки 2 относительно точки 1 как функции времени.

б) Когда и где расстояние между этими точками является наименьшим?

Решение:

а) Запишем выражение для радиусов-векторов точек 1 и 2 как функцию

времени:

t

0

r1 t

r1

v1

t 3 2t x0 ,

где v1

2x0

, r1 t 0 3x0 ;

t

0

t 3

r2 t r2

v2

3t y0 ,

где v2

3y0

, r2 t 0 3y0 .

б) Расстояние между точками будет изменяться со временем, и его бу-

дет характеризовать длина вектора:

3

r t

r2

t r1

t 3 2t x0

3t y0 ,

которая равна

r t

2t 3 2 3t 3 2 13t 2 30t 18 .

r t

Чтобы найти в какой момент времени будет наименьшее расстояние между точками, продифференцируем выражение для r(t) и приравняем его к

	нулю:
	r t	0.5		26t 30		0 .
	t
			13t 2 30t 18

Откуда получим:

21

t

30

1.15c .

26

3 2t

3t

Ответ: r

x0

3 y0 см; t = 1.15 с.

1.7.9. Докажите, что

перпендикулярен

если

вектор a

к вектору b ,

.

a

b

a

b

Решение.

2

2

Из равенства

, то есть:

a

b

a b

следует, что a

b

a b

2 .

a 2 2 a

b

b 2

a

2 2 a

b

b

Откуда следует, что скалярное произведение

0 .

Поскольку по

a

b

cos ,

то в рассматриваемом случае cos = 0,

а сам

определению a

b a b

угол между векторами = 90 ,

то есть вектор a перпендикулярен к вектору

b .

1.7.10. Начало вектора в точке А(2; 3); конец его в точке В( 1; 4). Разложить этот вектор по единичным векторам координатных осей.

Решение.

			AB 1 2 x0			4 3 y0	3x0 y0 .
Ответ:	AB 3x0				y0 .

1.7.11. Доказать, что векторы, имеющие начало в точке А( 1; 1), а концы в точках В(1; 2) и С(0; 1) соответственно, ортогональны.

Решение.

Запишем выражения для векторов:

	AB 1 1 x0			2 1 y0	2x0	y0	;
AC 0 1 x0				1 1 y0 x0		2y0 .

Запишем выражение для скалярного произведения векторов:

AB BC 2 1 1 2 0 .

Ответ: векторы ортогональны, так как их скалярное произведение равно нулю.

1.7.12. Найти угол, который составляет винтовая линия x = R cost, y = R sint, z = t с ее осью (ось z). Здесь величина численно равна линейной скорости вращательного движения = r.

Решение.

	Запишем выражение для вектора касательной dr :
dr dx x0		dy y0	dz z0	R sin t x0	R cos t y0			v z0 .

22

Запишем выражения для косинуса угла , который составляет винтовая

и для

линия с осью z для

z0

, для

dr z0

dr

, а затем вычислим cos и :

dr z

0

cos

;

z

1;

dr z

dr

1 v ;

0

0

z

dr

z0

dr

r 2

cos2

t sin 2 t v2

r 2

v2

v2

v2 v

2 ;

dr

cos

z0

v

1

;

arccos

1

450 .

dr

z0

v

2

2

2

Ответ: =45 .

1.7.13. Вычислить лапласиан функции

1

r2 U

,

если функция U =

r

r

U(x, y, z) – гармоническая, а r 2 x2

y2

z2 .

Решение.

Запишем

выражения

для

комплексной

амплитуды гармонической

функции U = U(x, y, z) и для лапласиана функции

1

r 2

U

:

r

r

;

U

U0 exp j k r

1

r 2 U

exp

j k r

2 2

0

r

r

2

1

2

U

0

2 r exp j k r r

exp j k

r

j k

r

2 2

U

0

j k r

exp j k

r

.

Запишем выражения для векторов

и

и для скалярного произведе-

r

k

:

ния k

r

r

x x0

y

y0

z z0 ;

k

kx x0

ky y0

kz z0

;

kx x k y y kz z .

k

r

С учётом последнего выражения формула для лапласиана 2 примет

вид:

2 2 j k

z exp j k

x exp j k

y exp j k

z .

2 U

0

x

x k

y

y k

z

x

y

z

Лапласиан функции 2 в декартовой системе координат равен:

2

2

2

2

.

x2

y 2

z 2

Вычислим каждое слагаемое лапласиана функции отдельно:

23

x2 U0

x j kx exp

j k

r

2 j k

r

j kx exp j k

r

2

U0

x j kx exp j k

r 3

j k r

2

2

U0 j kx

exp j k r 3

j k

r

j kx

exp j k

r

U

k 2

0

exp j k r 4

j k r .

x

В силу симметрии функции относительно декартовой системы координат, имеем:

2 U 0y 2

2 U0z 2

k 2			4				;
	exp j k	r			j k	r
y
k 2			4				.
	exp j k	r			j k	r
z

Вычислим лапласиан, суммируя три последних выражения для его слагаемых:

2

2

2

2

U

exp

k 2

k 2 k 2

0

j k

r

4 j k

r

x2

y2

z2

x

y

z

U0

2

k

exp j k

r 4

j k r .

Ответ: 2 U

2

exp j

0

k

k

r

4 j k

r .

1.7.14.

В декартовой системе координат скалярное поле имеет вид

j

1 ;

exp j k

r ,

где

k

kx x0

ky y0 kz z0

; r

радиус-вектор;

x0

, y0

, z0 орты. Найти выражения для grad и 2 .

Решение.

Запишем выражения для векторов r

и k , для скалярного произведения

k и для скалярного поля

:

r

r

x x0 y y0

z

z0 ;

k

kx x0

k y y0 kz z0 ;

k y y kz z ;

k

r kx

x

exp j k

r exp j kx x k y y kz z .

Найдём выражение для grad :

grad x0 x y0 y

z0

z

j kx exp j k

r x0 j ky exp

j k r

y0 j kz exp j k

r

z0

j exp

j k

r kx x0

k y y0

kz z0 j k

.

24

Вычислим лапласиан:

2

2

2

2

x2

y2

z2

2

2

2

j k y

exp j

j kz

j kx

exp j k r

k r

k 2

k 2 k 2

.

exp j k

r

k

2

x

y

z

2 .

Ответ: grad j k

;

2 k

exp j k	r

1.7.15. В сферической системе

координат

векторное

поле A имеет

единственную r-ю составляющую, причем Ar =

f(r).

Какова должна быть

функция f(r) чтобы дивергенция поля

A обращалась тождественно в нуль?

Построить картину силовых линий поля.

Решение.

Запишем выражение для r-ой составляющей дивергенции поля A в

сферической системе координат и приравняем её к нулю:

0 .

divA Ar

2 A

1 r

Ar

1

r

f r

2

2

r

r

r

r

r

r 2

r 2

Откуда следует, что:

r 2 f r 0,

r2 f(r) = const = a

и

f r

a

.

r

r 2

Другой вариант решения. Из выражения:

divA Ar

2 A

0

r

r

r

получим равенство:

Ar

2 r

,

Ar

r

интегрирование которого даёт:

A r2

ln Ar = 2 ln r + ln C

или

r

0 .

ln

С

Это означает, что:

A r2

f r A

С

r

1

и

.

С

r

r

2

Картина силовых линий поля Ar = f(r) изображена на рисунке 1.1.

Ответ: f r Ar rС2 , где С – константа.

25

Рисунок 1.1 – Картина силовых линий поля

1.7.16. Определить дивергенцию и ротор векторного поля A , характеризуемого следующими составляющими в цилиндрической системе коорди-

нат: Ar 10r3 , A = 0, Az = 0.

Решение.

Запишем выражение для дивергенции и ротора векторного поля A в

цилиндрической системе координат при A

10

A = 0 и A = 0:

r

r3

z

A

1 A

A

1 10 3 10 10

1

10

r

3

20

divA

r

A

z

.

r

r

r

r

z

r

r r3

r 4

r 4

r 4

1

A

A

A

A

1

rA

A

rotA r

z

r

z

z

r

0

0

0

z

z

r

r

r

z

A

1

A

0

r

z0

r

0 .

z

r

Ответ: divA 20 ,

rotA 0 .

r4

1.7.17.

В сферической системе координат векторное поле

A r r0 .

Определить скалярное поле divA . Качественно построить картину силовых линий векторного поля.

Решение.

Запишем выражение для дивергенции векторного поля A в сфериче-

ской системе координат при A r r0		:

	divA Ar 2 A			r 2r 1 2 3.
			r
	r r			r r

26
Качественная картина силовых линий векторного поля	A r r0		изоб-

ражена на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 – Качественная картина силовых линий векторного поля

Ответ: divA 3 .

1.8 Задачи для самостоятельной работы

1.8.1 В декартовой системе координат векторное поле A имеет единственную составляющую Az. Установить является ли поле соленоидальным или потенциальным.

Данные для решения задачи приведены в таблице 1.1 и зависят от номера варианта.

Таблица 1.1 – Данные для решения задачи

Номер

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

варианта

Аz

5х+4

х+у2

6lnx

sin2x

cos2y

3tgx

ctgy

xy y

x y

xy

Номер

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

варианта

Аz

x y3

ln(x/y)

ln(xy)

х3+у2

ln(x3y)

ey

ey-x

1

tg2x

xy

cosx

Номер

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

варианта

tg(x2y)

cos2y

x2 1

yx

Аz

x2 y

tg(y/x)

ln(x/y)

tgx

x2 3

ln3x

x

1.8.2 Даны два векторных поля:

A

Ax x0 Ay y0 Az z0

; B

3x0

4y0

6z0 .

								27
	Рассчитать:
	а)	Длину каждого вектора.
	б)	Скалярное произведение.
	в)	Определить угол между векторами.
	г) Найти направляющие косинусы каждого из векторов.
	д)	Найти A	B	и разность A B .
	е)	Найти векторное поле C A							B . Показать, что вектор C ортогона-
лен векторам A и			B .
	Данные для решения задачи приведены в таблице 1.2 и зависят от номе-
ра варианта, представляющего трёхзначное число.
Таблица 1.2 – Данные для решения задачи
	Первая цифра				1	2		3		4	5	6	7		8		9	0
	номера варианта
		Ах			+3	+4		5		6	+7	2	+5		7		+2	1
	Вторая цифра				1	2		3		4	5	6	7		8		9	0
	номера варианта
		Ау			+5	+6		+7		8	1	3	+3		+4		+5	6
	Третья цифра номе-				1	2		3		4	5	6	7		8		9	0
	ра варианта
		Аz			+5	4		3		+2	+1	6	4		2		+3	7

1.8.3 Начало вектора в точке В(2; 3); конец его в точке А(Ах; Ау; Аz). Разложить этот вектор по единичным векторам координатных осей.

Данные для решения задачи приведены таблице 1.2 и зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число.

1.8.4 В декартовой системе координат скалярное поле задано выражением = Az. Данные для решения задачи приведены в таблице 1.1 и зависят

от номера варианта. Найти выражения для grad и 2.

1.8.5 В декартовой системе координат проекции векторного поля A постоянны в каждой точке пространства. Значения Ах и Ау приведены таблице 1.2 и зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число. Зна-

чение Аz = 0 для всех вариантов. Построить картину силовых линий поля.

1.8.6 Определить дивергенцию и ротор векторного поля A , имеющего единственную составляющую в цилиндрической системе координат:

Ar ar Nc . Значения постоянных а, с и N приведены в таблице 1.3 и зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число.

28

1.8.7 Определить дивергенцию и ротор векторного поля A , имеющего единственную составляющую в сферической системе координат: Ar ar Nc .

Значения постоянных а, с и N приведены в таблице 1.3 и зависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число.

Таблица 1.3 – Значения постоянных а, с и N

	Первая цифра	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	номера варианта
	а	+3	+4	5	6	+7	2	+5	7	+2	1
	Вторая цифра	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	номера варианта
	с	+5	+6	+7	8	1	3	+3	+4	+5	6
	Третья цифра но-	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
	мера варианта
	N	3	4	5	2.5	3.5	4.5	5.5	3.3	4.8	6

1.8.8Задан потенциал = x2 yz. Найти градиент потенциала в точке с координатами, значения которых (x = a, y = c, z = N) приведены в таблице 1.3

изависят от номера варианта, представляющего трёхзначное число.

1.8.9В декартовой системе координат плоское векторное поле описыва-

ется уравнением: A by x0		cx y0	. Найти уравнение силовых линий век-

торного поля и построить картину этого поля. Значения постоянных b и с приведены в таблице 1.4 и зависят от номера варианта, представляющего двухзначное число.

Таблица 1.4 – Значения постоянных b и с

Первая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
b	3	4	5	6	7	2	5	7	2	1
Вторая цифра номера варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
с	5	6	7	8	1	3	3	4	5	6

29

2ТЕМА 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА

2.1Основные формулы электромагнетизма

					F	напряженность электрического поля [В/м],
			1.	E
					q0
	где		сила, действующая на единичный положительный заряд q0.
		F
			2.	FЛ q E q B сила Лоренца,
				скорость переноса заряда q,							вектор магнитной индукции.
	где									B
			3.	F	q1 q2			закон Кулона,
							2
					4 r
						a 12

где r12 расстояние между зарядами q1 и q2, a абсолютная диэлектрическая проницаемость;

a = 0,

где 0 диэлектрическая проницаемость вакуума, а относительная диэлек-

	трическая проницаемость.
					q
	4.	jпр				плотность тока проводимости при переносе зарядов
					V
	в вакууме или в электролитах (плотность тока переноса),
		q
	где			объёмная плотность заряда, скорость переноса заряда.
	V				закон Ома в дифференциальной форме,
	5.	jпр E
	где удельная проводимость среды (См/м);						1	удельное сопротив-
							пр

ление среды (Ом∙м).

6.q divjпр 0 закон сохранения заряда.

t

			q
	7. EdS			;	divE			закон Гаусса в интегральной и дифференци-
			a			a
	S
	альной форме, соответственно.
	8. Hdl	j		dS I ;		rotH j закон полного тока в интегральной и
	L	S
	дифференциальной форме,					соответственно, где H вектор напряженности
	магнитного поля.
	Поток
		j dS			вектора j			плотности полного тока через замкнутую по-

S

верхность S равен полному току I через поверхность, а также равен циркуля-