1224-osn_electrodinam_zadachi

				40
Ответ: E	F		5q	[В/м].
	q		2 a2
	0		a
2.2.8 Заряженная частица движется в направлении						в пространстве,
					x

где имеется электрическое поле Еy и перпендикулярное к нему магнитное по-

ле с индукцией Bz со скоростью x. При каком условии результирующая сила

F, действующая на эту частицу равняется нулю. Показать векторы , E, B на

рисунке. Какова должна быть величина x, если Еy = 3 103 В /м , a Bz = 3 102 Тл .

Решение.
1) Запишем формулу для определения вектора силы Лоренца					F , дей-
ствующей на частицу с зарядом q, движущуюся со скоростью					Л
				при наличии
электрического поля E	и магнитного поля с индукцией B :
	FЛ qE q B .
Покажем векторы , E, B на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 – Иллюстрация к решению задач 2.2.8

2) Запишем условие, при котором результирующая сила F, действую-

щая на частицу, равняется нулю:
F	qE q B 0		или B E .
Л

В матричной форме это условие для нашей задачи принимает вид:

x0	y0	z0		x0	y0	z0
x	y	z
				x	0	0		Ey y0 .
Bx	By	Bz		0	0	Bz

3) Раскрываем определитель и получаем:

x Bz y0	Ey y0 .

Откуда получаем в простом виде условие, при котором результирующая сила F, действующая на частицу, равняется нулю:

			Ey		3 103	105 м / с .
	x				3 10 2
			Bz

41

Ответ: условие, при котором результирующая сила F, действующая на частицу, равняется нулю – x = 105 м/с.

2.2.9 Пусть плоское силовое поле имеет потенциал = x y ( постоянная). Найти само поле и его силовые линии.

Решение.

Подставим заданное выражение для потенциала в формулу для опреде-

ления напряжённости электрического поля E и произведём операцию дифференцирования:

														) .
E			x		y	0			z	0		( yx	xy
		x	0		y			z				0	0

В полученном выражении имеются две проекции вектора напряжённости

электрического поля E :

Ex y и Ey x .
Подставим их в уравнение силовых линий E					для двухмерного поля:
	dx		dy	.
	Ex		E y

Тогда получим:

dx dy или x dx = y dy. y x

Проинтегрировав правую и левую части последнего выражения, нахо-

дим:

		x2		y2	A или x2	= y2	+ C,
	2		2
где А и С = 2А – постоянные интегрирования.
Ответ: поле E	описывается выражением E ( yx0							xy0 ), а его сило-

вые линии – гиперболы, описываемые выражением x2 = y2 + C.

2.2.10 Бесконечно тонкий кольцевой проводник радиусом а несет полный заряд q. Определить скалярный потенциал φЭ и напряжённость электрического поля в точках на оси кольца. Исследовать характер зависимости напряжённости электрического поля от расстояния на оси кольца.

Решение.

Введем цилиндрическую систему координат, ось которой перпендикулярна плоскости кольца и проходит через центр окружности, образованной кольцом. Квадрат расстояния между точкой i на оси z и любой точкой кольца будет равен:

ri2 a2 z2 ,

42

а элементарный заряд dq, расположенный вблизи этой точки на элементарном отрезке в угловом секторе dφ равен:

dq q d .

2

На рисунке 2.4 показано кольцо в разрезе и силы dFi, действующие на единичный положительный заряд +q0, находящийся в произвольной точке на оси кольца, при взаимодействии с элементарными зарядами dq, расположенными в диаметрально противоположных точках кольца.

Рисунок 2.4 – Иллюстрация к решению задачи 2.2.10 для случая, когда электро-

статический заряд q на кольцевом проводнике является положительным (в

этом случае направления и численные значения силы F и напряжённости

электрического поля E совпадают)

Величина силы dFi определяется по закону Кулона:

dF	dq q0		q d			q0		.
i	4 r	2		82		(a2	z2 )
					a
	a i

Составляющие силы dFi, перпендикулярные оси z, при взаимодействии с элементарными зарядами dq, расположенными в диаметрально противоположных точках кольца, взаимно уничтожаются, так как они равны по величине и противоположны по направлению, а составляющие dFz, параллельные оси z, складываются. Из рисунка 2.4 видно, что:

	dFz dFi			z		qz d	q0	.
							8 2 a (a2 z2 )3 / 2
			a2	z2

Интегрируя последнее выражение в пределах от 0 до 2 , определяем величину силы Fz, действующей на единичный положительный заряд +q0, находящийся в произвольной точке на оси кольца:

43

Fz

qz

q0

.

4 (a2 z2 )3 / 2

a

Отсюда находим величину Еz

вектора напряжённости электрического

поля E

в Вольтах на метр [В/м]:

q z

.

E E Fz

z

q

4 (a2 z2 )3 / 2

0

a

Потенциал в любой точке на оси кольце определяется следующим обра-

зом:

E

dz

q

z

dz

q

d (a

2 z2 )

q

1

.

Э

4

(a2 z2 )3 / 2

z

(a2 z2 )3 / 2

4

4

(a2

z2 )1 / 2

a

a

a

Исследуем функцию Еz на экстремум, приравняв производную от неё к

нулю:

dEz

q (a2 z2 )3 / 2 3z2 (a2 z2 )1 / 2 0 .

dz

4 (a2 z2 )3

a

Числитель этой производной также равен нулю, а значит:

(a2 + z2)1/2[( a2 + z2) – 3z2] = 0.

Так как (a2 + z2) 0, то (a2 – 2z2) = 0.

Отсюда получим координаты точек экстремума:

z a 2 .

Из рисунка 2.4 видно, что при z = 0 сила dFz = 0, а, следовательно, и

напряжённость электрического поля

E 0 .

Для изображённого на рисунке

случая, когда электростатический заряд q на кольцевом проводнике является
положительным, направления и численные значения силы		F и напряжённо-
сти электрического поля E совпадают,	вектор напряжённости электрическо-
го E направлен параллельно оси z. При z < 0 вектор напряжённости электри-
ческого поля E направлен антипараллельно оси z, то есть E		Ez z0 0 . Таким

образом, из анализа рисунка 2.4 следует, что для случая, когда электростатический заряд q на кольцевом проводнике является положительным, максимум

будет при z > 0 (z a2) , а минимум – при z < 0 (z a2) . К такому же вы-

	воду можно было бы прийти, исследовав вторую производную			d 2 Ez		в точках
				dz2
	экстремума. В точке максимума	d 2 Ez	0 , а в точке минимума			d 2 Ez	0 .
						dz2
		dz2

График зависимости напряжённости электрического поля E от расстояния Z от центра кольца для случая, когда электростатический заряд q на кольцевом проводнике является положительным, изображён на рисунке 2.5.

44

Рисунок 2.5 – Иллюстрация к решению задачи 2.2.10: график зависимости

напряжённости электрического поля E от расстояния Z от центра кольца

для случая, когда электростатический заряд q на кольцевом проводнике является положительным

	Ответ: скалярный потенциал Э	q				1		; напряжённость
		4		(a2		z2 )1/ 2
		a
	электрического поля в точках на оси кольца Ez					q z			.
					4 (a2		z2 )3 / 2
						a

2.2.11 Постоянный ток I существует в бесконечно тонком линейном

проводнике, неограниченно простирающемся вдоль оси z. Найти электриче-
ский векторный потенциал A , удовлетворяющий соотношению	B rotA и

напряженность магнитного поля во всем пространстве.

Указание: Решение проводить удобно в цилиндрической системе координат, ось z которой совпадает с направлением тока.

Решение.

Первый вариант.

Запишем закон полного тока (первое уравнение Максвелла в интегральной форме):

H dl		I .

	В силу угловой симметрии силовых линий напряжённости магнитного
	поля H и их замкнутости, эти линии представляют собой окружности, распо-
	ложенные в плоскостях, перпендикулярных оси z. По этой причине:
	Hr = Hz = 0,	H = const 0,
	а первое уравнения Максвелла приводится к выражению:
	2 r		B 2 r
	I H dl H 2 r			.
			a
	0

Откуда:

45

B I a (rotA)

Ar Az .

2 r

z

r

Второй вариант.

Электрический векторный потенциал

A линейного тока определяется

известным выражением:

I

dl

A

a

.

4

r

Вектор магнитной индукции

B

связан с векторным потенциалом A :

I

I

dl

dl

r

B

rotA

a

rot

rot

a

.

4

r

4

r3

Величина В вектора магнитной индукции B

связана с величиной А век-

торного потенциала A выражением (см. рисунок 2.6):

B

I a

dl r sin

.

4

r3

Рисунок 2.6 – Геометрические построения в задаче 2.2.11

С учётом того, что:

		r		R
			sin
	и
	dl	r d			R d		,
		sin			sin 2

выражение для В примет окончательный вид:

B

I a

sin 3 R2d

I a

( cos )

I a

( 1 1)

I a

.

4

sin 2 R3

4R

0

4R

2R

Здесь R – радиальная точка наблюдения.

Из окончательного вида выражения для величины В вектора магнитной

индукции B легко находим выражение для определения величины Н напряженности магнитного поля:

46

H

B

I

.

0

2R

Ответ: величина напряжённости магнитного поля H

I

. Выражения

2 R

I

A

A

a

dl

для векторного потенциала A : A

и B

r

z

.

4

r

z

r

2.2.12 Индуктивная катушка представляет собой одиночный виток, размещенный на кольцевом сердечнике из ферромагнитного материала (μ >> 1) с размерами: внутренний диаметр равен 2 а , внешний 2 b , высота h (рисунок 2.7). Найти индуктивность катушки.

Рисунок 2.7 - Иллюстрация к решению задачи 2.2.12

Решение.
Согласно закону полного тока:
H dl		I .

Для длинного линейного провода в силу угловой симметрии силовых

линий напряжённости магнитного поля H и их замкнутости, эти линии представляют собой окружности. По этой причине:

Hr = Hz = 0, H = const 0 = H,

а закон полного тока приводится к выражению:

H2R = I		H	I
	и			.
			2 R

Поскольку μ >> 1, то потоком рассеяния можно пренебречь, силовые

линии магнитного поля H в кольцевом магнитопроводе близки по форме к окружности, и можно считать, что последнее приведённое выражение для Н

применимо и к нашей задаче. Запишем выражения для величины В вектора маг-

нитной индукции B и для магнитного потока Ф (потока вектора магнитной индукции) сквозь конечную поверхность S:

	B 0 H 0	I	,
		2 R

47

Ф		B dS I h				b	dR
					2		R
				0
	S					a

		I h	b
0			ln		.
		2
			a

Так как по условию виток один (n = 1), то индуктивность катушки L и магнитный поток Ф витка связаны соотношением:

nФ

Ф

h

b

L

0

ln

.

I

I

2

a

h

b

Ответ: величина индуктивности L 0 L 0

ln

.

2

a

2.2.13 Пространство между двумя металлическими сферами с радиусами r1 = a и r2 = b заполнено однородным проводящим веществом с удельной электрической проводимостью σ (сферический конденсатор). Определить электрическое сопротивление между обкладками такого конденсатора.

Решение.

Из закона Ома: когда площадь сечения тока S не зависит от длины пути тока l:

R	l		l	,
12	S		S

а, когда площадь сечения тока S зависит от длины пути тока l, но при фиксированном значении l плотность тока постоянна на поверхности S, то:

R b		dl		1	b	dl	.
		S
12						S
	a				a

В частности, сопротивление между обкладками сферического конденсато-

ра:

b

dr

b

dr

1/ a 1/ b

b a

1

1

1

b

R

.

12

S

4 r2

4 r

a

4

4 ab

a

a

b a

Ответ: сопротивление между обкладками конденсатора R

.

12

4 ab

2.2.14 Имеются два бесконечно длинных коаксиальных цилиндра с радиусами а = 2 см и b = 5 см, выполненные из металла (рисунок 2.8). Пространство между цилиндрами заполнено воздухом. Потенциал внутреннего цилиндра составляет 5 В, потенциал наружного цилиндра равен нулю. Определить напряженность электрического поля на окружности r = 4 см.

Решение.

Напряженность электрического поля E связана с потенциалом φ зависи-

мостью:

E grad .

48

Рисунок 2.8 – Иллюстрация к решению задачи 2.2.14

В силу симметрии цилиндров величина Е вектора напряженности элек-

трического поля E равна проекции Er в цилиндрической системе координат, а другие проекции равны нулю:

Er r .

Интегрируя эту формулу, получаем выражение для напряжения U (разности потенциалов):

U Er dr C1 .

Чтобы получить формулу для Е в явном виде, запишем закон Гаусса в интегральной форме:

EdS q .
S		a

В силу симметрии цилиндров Er не зависит от dS, поэтому:

q

EdS

Er S

2rlEr

,

S

a

E

q

C2

,

r

2 a rl r

где С2 – постоянная:

C2

q

.

2 al

Подставим полученное выражение для Er в формулу для U:

U Er dr C1 Cr2 dr C1 C2 ln( r) C1.

Используя начальные условия для U, найдём значение постоянной С1.

1)	При r = 0.05	м и U = 0 В:
	0 = C2ln(0.05) + C1		и	C1 = C2ln(0.05).
2)	При r = 0.02	м и U = 5 В:

					49
	5 = C2ln(0.02) + C1				и	5 = C2ln(0.02) + C2 ln(0.05).
		0.05				; C2	5	5.457
	5 C2 ln			C2 ln( 2.5)					;
		0.02					ln( 2.5)

C1 = C2ln(0.05) = 5.457 ln(0.05) = 16.347 В.

Запишем формулу для расчёта напряжения U и определим напряженность электрического поля Er на окружности радиуса r = 0.04 м:

U = 5.457 ln(r) 16.347 В; Er Cr2 5.4570.04 136.425 В/м.

Ответ: напряженность электрического поля на окружности радиуса r =

0.04м; Er = 136.425 В/м.

2.2.15Заряд q равномерно распределен по кольцу радиусом а. В центре кольца находится электрон, обладающий зарядом е и массой m. Электрон имеет возможность совершать малые колебания, перемещаясь вдоль оси кольца. Доказать, что движение электрона будет периодическим. Определить собственную частоту колебания электрона, считая, что его движение не сказывается на распределение зарядов по кольцу.

Решение.

В задаче 2.2.10 была получена формула для расчёта величины Ех вектора

напряжённости электрического поля Ex в Вольтах на метр (В/м):

Ex					q x	.
		E
				4	(a2 x2 )3/ 2
				a

Применим её. Поскольку а >> х, то можно пренебречь х2 по сравнению

с а2:

	Ex	q x	.
		4 a3
		a

Выразим величину силы F, действующей на электрон, через величину напряжённости электрического поля Ех:

	F eEx e	q x	kx ,
		4 a3
		a

где k e	q
		.
	4 a3
	a

С другой стороны, величина силы F по второму закону Ньютона равна:

F ma m d 2 x . dt 2

Приравняв правые части в найденных выражениях для величины силы F, получим: