14.3 Интервальные оценки числовых характеристик

Пусть для параметра Q получена из опыта несмещенная оценка . Оценим возможную ошибку, возникающую при замене параметраQ его оценкой . Возьмем достаточно большую вероятностьγ, такую, что событие с вероятностью γ можно считать практически достоверным, и найдем такое значение ε, для которого

. (14.20)

Тогда диапазон практически возможных значении ошибки, возникающей при замене Q на , будет ±ε; большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью. Равенство (14.19) означает, что с вероятностьюγ неизвестное значение параметра Q попадает в интервал

. (14.21)

Доверительным называется интервал , в который с заданной вероятностью (надежностью) g попадают значения параметра Q. Вероятность g выбирается близкой к 1: 0,9; 0,95; 0,975; 0,99.

Очевидно, что для построения доверительного интервала должен быть известен закон распределения величины . Затруднение состоит в том, что закон распределения оценкизависит от закона распределения величиныX и, следовательно, от его неизвестных параметров (в частности, и от самого параметра Q ). Для решения этой проблемы воспользуемся тем, что величина представляет собой, как правило, суммуn независимых одинаково распределенных случайных величин и, согласно центральной предельной теореме, при достаточно большом n (), ее закон распределения можно считать асимптотически нормальным. В этом случае, приближенный, основанный на нормализации закона точечной оценки, доверительный интервал будет иметь вид:

где – значение аргумента функции Лапласа, т.е. Ф(z_) = .

Если закон распределения случайной величины является нормальным и это известно до опыта, то для построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии существуют точные формулы, которые могут быть использованы при любом объеме выборки.

14.3.1 Доверительный интервал для математического ожидания

Доверительный интервал для математического ожидания. Интервал для математического ожидания случайной величиныX с неизвестным законом распределения при достаточно большом объеме выборки имеет вид

, (14.22)

где - значение аргумента функции Лапласа, т.е. Ф(z_) =

Если случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами m_x и s_x , то величина распределена по закону Стьюдента с (n - 1) степенью свободы.

Распределение Стьюдента с k степенями свободы имеет следующую плотность распределения:

(14.23)

где - гамма-функция.

В этом случае точный доверительный интервал с надежностью  для математического ожидания нормальной случайной величины по имеет вид:

(14.24)

где - значение, взятое из таблицы распределения Стьюдента.

14.3.2 Доверительный интервал для дисперсии

Доверительный интервал для дисперсии. Интервал для дисперсии случайной величиныX с неизвестным законом распределения при достаточно большом объеме выборки имеет вид

, (14.25)

где – значение аргумента функции Лапласа, т.е. Ф(z_) = .

Если случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами m_x и s_x , то величина распределена по законус (n-1) степенью свободы и точный доверительный интервал с надежностью для дисперсии имеет вид

(14.26)

где – значения, взятые из таблицы распределения .

Формулы (14.24, 14.26) можно использовать при любом объеме выборки n, так как эти интервалы построены на основе знания точных законов распределения величин, связывающихQ и . Кроме этого, если случайная величинаX распределена по нормальному закону и ее дисперсия известна, то точный интервалдля математического ожидания при любом объеме выборкиn определяют по формуле (14.22), заменив в ней оценку СКО его точным значением.