Раздел 2

1. Являются ли компланарными (т.е. лежат ли в одной плоскости) три вектора: ?

2. Являются ли линейно зависимыми три вектора: ?

3. Пусть . Найти координаты вектора.

4. Две прямые на плоскости задаются уравнениями и. Параллельны ли эти прямые? Каково между ними расстояние?

5. Пусть . Найти матрицу.

6. Дана матрица . Вычислить ее определитель. Найти миноры элементови алгебраические дополнения элементов.

7. Найти ранг матрицы .

8. Решить методом обратной матрицы и методом Крамера систему линейных алгебраических уравнений:

9. Решить методом Гаусса систему линейных алгебраических уравнений:

10. Решить методом Гаусса систему линейных алгебраических уравнений:

11. Найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных алгебраических уравнений , а также ее общее решение.

12. Найти нормальное относительно вектора псевдорешение системы линейных алгебраических уравнений:.

13. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей

14. В коробке 12 шаров: 3 белых, 4 черных, 5 красных. Какова вероятность вынуть из коробки черный шар?

15. В коробке 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность того, что оба шара ‑ белые?

16. В лотерее 2000 билетов. Из них выигрышные:

1 – 100 руб., 4 по 50 руб., 10 по 20 руб., 20 по 10 руб.,

165 по 5 руб., 400 по 1 руб.

Какова вероятность выиграть по одному билету не менее 10 руб.?

17. Монета подброшена два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет герб?

18. В лотерее 1000 билетов. Из них 500 – выигрышные и 500 – невыигрышные. Куплено два билета. Какова вероятность того, что оба билета выигрышные?

19. На экзамене из 30 студентов некоторой группы 6 получили «отлично», 10 – «хорошо», 9 –«удовлетворительно», остальные – «неуд». Какова вероятность того, что все трое студентов этой группы, встреченные деканом в буфете, получили на экзамене «неуд»?

20. В лотерее выпущено n билетов, m из которых выигрывают. Гражданин купил k билетов. Какова вероятность того, что по крайней мере один из купленных билетов выигрышный?

21. Из колоды, содержащей 52 карты, наугад вынимают 4 карты. Какова вероятность того, что все эти карты разных мастей?

22. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?

23. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Какова вероятность того, что оба шара белые?

24. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.75, для второго – 0.8, для третьего – 0.9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

25. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.

26. На экзамен пришли студенты из двух групп: 60% пришедших – из 101-й группы, 40% ‑ из 102-й. По прогнозам в 101-й группе будет 20% неуспевающих, а в 102-й – 15%. Какова вероятность того, что наугад вызванный студент не получит двойку?

27. В поликлинике работают два врача. Вероятность попасть на прием к врачу А равна 0.6, а к врачу Б – 0.4. Вероятность ошибочного диагноза у А равна 0.03, а у Б – 0.08. Больной побывал в поликлинике и ему поставили неверный диагноз. Определить вероятность того, что диагноз поставлен врачом А? Врачом Б?

15. В коробке 10 белых и 5 черных шаров. Вынули 4 шара. Какова вероятность того, что среди них оказалось 3 белых?

28. В группе 25 человек. Какова вероятность того, что хотя бы двое из них празднуют свой день рождения в один и тот же день?

29. В автобусе 40 пассажиров, среди которых 5 преступников. На допрос пригласили шестерых наугад выбранных пассажиров. Какова вероятность того, что среди них окажется хотя бы один преступник?

30. Двое по очереди бросают монету. Выигрывает тот, у кого первого выпадет орел. Число бросков не ограничивается. а) Какова вероятность выигрыша бросавшего первым? Вторым? б) Какими станут вероятности выигрыша, если бросающий вторым делает по два броска?

31. В контрольной работе 3 задачи, для каждой указано 5 вариантов ответов, один из которых правильный. Для положительной оценки достаточно решить 2 задачи. Какова вероятность положительной оценки, если отвечать наугад?

32. В тесте 25 вопросов. На каждый приведено 3 ответа, один из которых верный. Для зачета достаточно правильно ответить на 15 вопросов. Какова вероятность получить зачет, отвечая наугад?

33. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятность рождения мальчика и девочки одинакова.

34. Что вероятнее выиграть у равносильного шахматиста (ничейный исход партии исключен): больше 1 партии из 4 или больше 2 партий из 5?

35. В помещении 4 лампы. Вероятность работы в течение года для каждой лампы 0.8. Найти вероятность того, что к концу года останутся гореть 3 лампы.

36. Два баскетболиста делают по три броска в корзину. Вероятность попадания мяча при каждом броске равна соответственно 0.6 и 0.7. Найти вероятность того, что у обоих будет равное количество попаданий.

37. В страховой конторе застраховано 10 000 клиентов одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти клиента в течение года равна 0,006. Каждый клиент 1 января вносит 12 долларов. Если в течение года он умрет, то контора обязана выплатить его родственникам 1000 долларов. Чему равна вероятность того, что: а) контора разорится; б) контора получит не менее 40000 долларов прибыли?

38. Банк выдал 1000 кредитов на год по 500 т.р. под 10% годовых (возврат 550 т.р.). Вероятность возврата кредита каждым клиентом 90%. Какой будет прибыль банка, гарантированная с вероятностью 95% ?

39. В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей 1 руб. Найти распределение случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

40. Кубик брошен 3 раза. Написать распределение числа появлений шестерки. Построить функцию распределения.

41. Стрелок трижды стреляет по мишени. Число попаданий – случайная величина Х. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0.3. Построить распределение случайной величины Х, рассчитать ее математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение. Проверить выполнение «правила трех стандартных отклонений».

42. В коробке 4 шара с номерами от 1 до 4. Вынимают 2 шара. Случайная величина Х – сумма номеров вынутых шаров. Построить распределение случайной величины Х, рассчитать ее математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение. Проверить выполнение «правила трех стандартных отклонений».

43. Дана функция плотности вероятности некоторой случайной величины:

Определить и функцию распределения.

44. Случайная величина , принимающая значения на отрезке [0,1], имеет плотность вероятности. Какова функция распределенияэтой случайной величины? Нарисуйте графикии. Рассчитайте математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

45. Случайная величина , принимающая значения на промежутке (0,2), имеет плотность вероятностиприипри. Какова функция распределенияэтой случайной величины? Нарисуйте графикии. Рассчитайте математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

46. Случайная величина , принимающая значения на отрезке, имеет равномерное распределение. Какова плотность распределенияи функция распределенияэтой случайной величины? Нарисуйте графикии. Рассчитайте математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

47. Случайная величина , принимающая значения на отрезке, имеет плотность вероятности. Найдите функцию распределенияэтой случайной величины. Нарисуйте графикии. Рассчитайте математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

48. Радиус круга измерен приближенно на интервале (a,b). Полагая, что радиус является случайной величиной, распределенной равномерно на этом интервале, найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

49. Случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием и дисперсией, соответственно равными 10 и 25. Найти вероятность того, что при испытании эта случайная величина примет значение: а) из промежутка (20, 30); б) большее 15?

50. Стрельба из орудия ведется вдоль определенного направления. Средняя дальность полета снаряда 10 000 м. Предполагая, что дальность полета распределена по нормальному закону с дисперсией 1600 м², найдите, какой процент выпускаемых снарядов дает перелет от 100 до 200 м.

51. При средней длине некоторой детали в 20 см найдено, что отклонения, превосходящие см, встречаются в среднем 4 раза на 100 деталей. Считая, что длина детали распределена по нормальному закону, определите ее стандартное отклонение.