Эвольвента и ее свойства

Эвольвента (предложена Эйлером) – кривая, описываемая любой точкой прямой линии при перекатывании этой прямой по окружности без скольжения.

Рассмотрим построение эвольвенты.

К окружности с центром в т.О (рис.16) проведена касательная в т.А. Будем перекатывать прямую по окружности без скольжения. Для этого от т.А отложим по прямой ряд одинаковых по длине отрезков А-1, 1-2,2-3,3-4… По окружности от т.А отложим дуги А-1’, 1’-2’ и т.д., равные этим отрезкам. При перекатывании прямой по окружности без скольжения т.1 совпадет с т.1’ и т.д. Проведем в точках 1’, 2’,… касательные к окружности (проводим радиус, а затем перпендикуляр) и отложим на них от точек касания отрезки 1’А₁, 2’А₂,…, равные, соответственно, отрезкам прямой А1, А2, А3… Соединяя точки А, А₁, А₂, А₃, А₄ плавной кривой получим эвольвенту.

Рис. 16 Построение эвольвенты

Прямая, перекатывающаяся по окружности, называется производящей прямой, а окружность, по которой перекатывается производящая прямая, называется основной и ей присваивается индекс b. Точка А, лежащая на основной окружности, является начальной точкой эвольвенты. Следовательно, внутри основной окружности эвольвента находиться не может. Для точки А радиус-вектор равен радиусу основной окружности, радиус кривизны  равен 0, эвольвентный и профильный угол тоже равны 0.

Эвольвента обладает следующими свойствами:

1. Производящая прямая является нормалью к эвольвенте в любой ее точке и является касательной для основной окружности;

2. Эвольвента начинается на основной окружности и всегда находится вне ее;

3. Форма эвольвенты зависит только от радиуса основной окружности; при увеличении радиуса r_b радиус кривизны эвольвентного профиля постепенно увеличивается, при r_b= эвольвента преобразуется в прямую (этот случай имеет место при реечном зацеплении);

4. Эвольвента является кривой без перегибов;

5. Центр кривизны эвольвенты лежит в точке касания нормали с основной окружностью.

Выведем уравнение эвольвенты.

Пусть координатами какой-либо точки А₄ эвольвенты будут: R – радиус-вектор и  - эвольвентный угол – угол между радиусом-вектором начальной точки эвольвенты и радиусом-вектором т.А₄ (текущей точки),  - профильный угол, т.е. угол профиля текущей точки эвольвенты.

Из треугольника ОМА₄ имеем R=r_b/cos (1) – радиус-вектор профиля.

Т.к. перекатывание происходит без скольжения, то А₄М=АМ;

А₄М= r_btg; АМ= r_b(+);

tg=+  =tg-=inv (2) - эвольвентная функция угла , или инволюта. Составлены таблицы инволютных значений углов. Уравнения (1) и (2) – уравнения эвольвенты окружности в полярных координатах в параметрической форме.

Геометрические параметры зубчатого колеса. Построение эвольвентного зацепления

Геометрический расчет зубчатой передачи производится при условии, что заданы числа зубьев z₁ и z₂, и известен модуль зубчатых колес m (получен из расчета зубьев на прочность).

r=mz/2 - радиус делительной окружности (для нулевых колес начальные окружности совпадают с делительными).

Делительной называется окружность, для которой модуль имеет стандартное значение. Профильный угол для точки пересечения бокового профиля зуба с делительной окружностью у нас по ГОСТ равен 20. Делительная окружность является базой для измерения всех геометрических параметров зубчатого колеса. Делительная и начальная окружности могут совпадать, но они имеют принципиальное отличие. У отдельно взятого колеса есть делительная окружность, но нет начальных окружностей. Делительная окружность характеризует одно зубчатое колесо, с которым она связана; диаметр делительной окружности данного колеса неизменен. Диаметры начальных окружностей зависят от межцентрового расстояния; их можно определить только тогда, когда рассматривается зацепление двух колес.

р=m - шаг по делительной окружности (расстояние между одноименными точками двух соседних зубьев; общий для обоих колес).

S=р/2=m/2 - толщина зуба по делит. окружности (для нормального зубчатого колеса).

r_a=r+h_a=mz/2+fm=m/2(z+2) - радиус окружности выступов,

где h_а – высота головки зуба, h_а=fm, где f – коэффициент высоты головки зуба, f=1 – для нормальных колес; f=0,8 – для укороченных колес).

r_f=r-h_f=mz/2–1,25m=m/2(z-2,5) - радиус окружности впадин,

где h_f – высота ножки зуба, h_f=fm+c₀m=1,25m, где c₀ =0,25– коэффициент радиального зазора.

h=h_a+h_f=2,25m – высота зуба (при любом числе зубьев для данного модуля высота зуба будет одна и та же, т.к. не зависит от числа зубьев, а зависит от модуля).

r_b=rcos=rcos20=0.94r – радиус основной окружности, где =20- угол профиля рейки.

Основные параметры нормального зубчатого зацепления (нарезанного без сдвига инструментальной рейки) z_i17: a=r₁+r₂ =(m/2)(z₁+z₂) – межцентровое расстояние.

Рис.17 Параметры зубчатых колес

Подрезание, или интерференция, будет иметь место тогда, когда действительная линия зацепления выходит за пределы теоретической. Это зависит от числа зубьев нарезаемого колеса (при z17).

x=(17-z)/17 - коэффициент смещения рейки.

c=xm – величина абсолютного сдвига рейки.

a_w=a cos/ cos_w=0,5m(z₁+z₂)cos20/ cos_w.

Величину угла зацепления в сборке с использованием формулы инволюты угла зацепления:

inv_w= inv20+2((x₁+x₂)/(z₁+z₂))tg20.

r_i=mz_i/2 - радиусы делительных окружностей;

r_bi=r_icos - радиусы основных окружностей;

r_w1=r_b1 /cos_w; r_w2= a_w - r_w1 - радиусы начальных окружностей;

r_fi=r_i-1,25m+x_im – радиусы окружностей впадин;

r_ai= a_w- r_fi-0,25m – радиусы окружностей вершин;

S_i=p/2+2x_imtg - толщины зубьев по делительной окружности

h=2.25m – высота зуба.