9.2. Стационарная теплопроводность через плоскую стенку

1. Однородная плоская стенка (рис. 9.2).Температура поверхностей стенки t_ст1 и t_ст2.Плотность теплового потока:

q=-λ∙∂t/∂n=-λ∙∂t/∂x=-λ∙(t_cт2-t_cт1)/(x_cт2-x_cт1)

или

q = λ ∙Δt/Δx. (9.13)

Так как Δx=δ, то

q= (λ/δ)∙Δt. (9.14)

R=δ/λ - термическое сопротивление теплопроводности стенки [(м²∙К)/Вт]. Поэтому плотность теплового потока:

q=(t_ст1–t_ст2)/R. (9.15)

Общее количество теплоты, проходя-щее через поверхность F за время τ:

Q=q∙F∙τ=(t_ст1–t_ст2)/R·F∙τ. (9.16)

Температура тела в точке с координатой х:

t_x=t_ст1–(t_ст1–t_ст2)∙x/δ. (9.17)

2. Многослойная плоская стенка. Рассмотрим трёхслойную стенку (рис. 9.3). Температура наружных поверхностей стенок t_ст1 и t_ст2; коэффициенты теплопроводности слоев λ₁, λ₂, λ₃; толщина слоев δ₁, δ₂, δ₃.

Плотности тепловых потоков через каждый слой стенки:

q=λ₁/δ₁∙(t_ст1-t_сл1), (9.18) q=λ₂/δ₂∙(t_сл1–t_сл2), (9.19) q=λ₃/δ₃∙(t_сл2–t_ст2), (9.20)

Разрешая (9.18)-(9.20) относитель-но разности температур и складывая, получим:

q= (t_ст1-t_ст2)/R_o, (9.21)

где R_o=(δ₁/λ₁+δ₂/λ₂+δ₃/λ₃) - общее термическое сопротивление теплопроводности трёхслойной стенки.

Температура слоев определяется по формулам:

t_сл1=t_ст1-q∙(δ₁/λ₁). (9.22) t_сл2=t_сл1–q·(δ₂/λ₂). (9.23)

9.3. Стационарная теплопроводность через цилиндрическую стенку

1. Однородная цилиндрическая стенка. Рассмотрим однородный цилиндр длиной l, внутренним диаметром d₁и внешним диаметром d₂ (рис. 9.4). Температуры поверхностей стенки t_ст1 и t_ст2. Уравнение теплопроводности по закону Фурье в цилиндрических координатах:

Q = -λ∙2∙π∙r·l·∂t/∂r (9.24)

или, в интегральной форме,

Q = 2·π·λ·l·Δt/ln(d₂/d₁), (9.25)

где Δt=t_ст1–t_ст2 - температурный напор; λ - κоэффициент теплопроводности стенки.

Введём понятие теплового потока единицы длины цилиндрической поверхности (линейная плотность теплового потока):

q_l=Q/l=2·π·λ·Δt/ln(d₂/d₁), [Вт/м]. (9.26)

Температура тела внутри стенки в точке с координатой d_х:

t_x=t_ст1–(t_ст1–t_ст2)·ln(d_x/d₁)/ln(d₂/d₁). (9.27)

2. Многослойная цилиндрическая стенка. Допустим, цилиндрическая стенка состоит из трех плотно прилегающих слоев (рис. 9.5). Температура внутренней поверхности стенки t_ст1, наружной t_ст2, коэффициенты теплопроводности слоев λ₁, λ₂, λ₃, диаметры поверхностей слоев d₁, d₂, d₃, d₄.

Тепловые потоки в слоях: 1-й слой

Q=2·π·λ₁·l·(t_ст1–t_сл1)/ln(d₂/d₁), (9.28) 2-й слой

Q=2·π·λ₂·l·(t_сл1–t_сл2)/ln(d₃/d₂), (9.29) 3-й слой

Q=2·π·λ₃·l·(t_сл2–t_ст2)/ln(d₄/d₃). (9.30)

Решая совместно уравнения (9.28)-(9.30), получим для потока через трёхслойную стенку:

Q=2·π·l·(t_ст1–t_ст2)/[ln(d₂/d₁)/λ₁+ln(d₃/d₂)/λ₂+ln(d₄/d₃)/λ₃]. (9.31)

Для линейной плотности теплового потока:

q_l=Q/l=2·π·(t_ст1–t_ст2)/[ln(d₂/d₁)/λ₁+ln(d₃/d₂)/λ₂+ln(d₄/d₃)/λ₃]. (9.32)

Температуру между слоями находим из уравнений:

t_сл1=t_ст1–q_l·ln(d₂/d₁)/2·π·λ₁. (9.33) t_сл2=t_сл1–q_l·ln(d₃/d₂)/2·π·λ₂ . (9.34)

9.4. Стационарная теплопроводность через шаровую стенку

Пусть имеется полый шар (рис. 9.6), внутренним диаметром d₁ и внешним диаметром d₂. Температура внутренней поверхности стенки t_ст1, температура наружной поверхности стенки t_ст2, коэффициент теплопроводности стенки λ. Уравнение теплопроводности по закону Фурье в сферических координатах:

Q = -λ·4·π·r²· ∂t/∂r (9.35)

или, в интегральной форме,

Q=4πλ·Δt/(1/r₂-1/r₁)=2πλ·Δt/(1/d₁-1/d₂)=2πλd₁d₂·Δt/(d₂-d₁)=π·λ·d₁·d₂·Δt/δ, (9.36)

где Δt=t_ст1–t_ст2 - температурный напор; δ - толщина стенки.

Тема 10. Конвективный теплообмен

10.1. Факторы, влияющие на конвективный теплообмен

Конвективным теплообменом называется одновременный перенос теплоты конвекцией и теплопроводностью.

В инженерных расчетах часто определяют конвективный теплообмен между потоками жидкости или газа и поверхностью твердого тела. Этот процесс конвективного теплообмена называют конвективной теплоотдачей или просто теплоотдачей.

Основные факторы, влияющие на процесс теплоотдачи:

- природа возникновения движения жидкости вдоль стенки;

- самопроизвольное движение жидкости (газа) в поле тяжести, обусловленное разностью плотностей её горячих и холодных слоев. Его называют свободным движением (естественной конвекцией). Движение, порождаемое разностью давлений, которая создаётся насосом, вентилятором и другими устройствами, называется вынужденным (вынужденная конвекция);

- режим движения жидкости. Упорядоченное, слоистое, спокойное, без пульсаций движение называется ламинарным. Беспорядочное, хаотическое, вихревое движение называется турбулентным;

- физические свойства жидкостей и газов. Большое влияние на конвективный теплообмен оказывают физические параметры: коэффициент теплопроводности λ, удельная теплоемкость с, плотность ρ, коэффициент температуропроводности а=λ/(c_р·ρ), динамическая μ или кинематическая ν=μ/ρ вязкость, температурный коэффициент объемного расширения β=1/Т.

- форма (плоская, цилиндрическая), размеры и положение поверхности (горизонтальная, вертикальная).

10.2. Закон Ньютона-Рихмана

Процесс теплообмена между поверхностью тела (стенкой) и средой (жидкостью) описывается законом Ньютона-Рихмана, гласящим, что количество теплоты, передаваемое конвективным теплообменом пропорционально разности температур поверхности тела t_ст и окружающей среды t_ж:

Q=α∙(t_ст-t_ж)·F, (10.1)

или

q=α∙(t_ст-t_ж), (10.2)

где коэффициент теплоотдачи α [Вт/(м²К)] характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

Факторы, влияющие на процесс конвективного теплообмена, учитываются коэффициентом теплоотдачи. Коэффициент теплоотдачи является функцией этих факторов:

α=f₁(Х; Ф; l_o; x_c; y_c; z_c; w_o; θ; λ; а; с_р; ρ; ν; β). (10.3)

Здесь Х - характер движения среды (свободная, вынужденная); Ф - форма поверхности; l_o - характерный размер поверхности (длина, высота, диаметр и т.д.); x_c; y_c; z_c - координаты; w_o - скорость среды (жидкость, газ); θ=(t_ст-t_ж) - температурный напор; λ - коэффициент теплопроводности среды; а - коэффициент температуропроводности среды; с_р - изобарная удельная теплоемкость среды; ρ - плотность среды; ν - коэффициент кинематической вязкости среды; β - температурный коэффициент объемного расширения среды.

Уравнение (10.3) показывает, что коэффициент теплоотдачи - величина сложная и для её определения невозможно дать общую формулу. Поэтому для его определения применяют экспериментальный подход.

Достоинства экспериментального подхода: достоверность получаемых результатов; возможность сосредоточить основное внимание на изучении величин, представляющих наибольший практический интерес.

Недостаток экспериментального подхода: результаты данного эксперимента не могут быть использованы, применительно к другому явлению, которое в деталях отличается от изученного. Поэтому выводы, сделанные на основании анализа результатов одного экспериментального исследования, не допускают распространения их на другие явления. Следовательно, при экспериментальном исследовании каждый конкретный случай должен служить самостоятельным объектом изучения.